初中数学中考复习 考点08 一元一次方程（组）及一元一次不等式的应用（解析版）

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考点八 一元一次方程（组）及一元一次不等式的应用
【命题趋势】
在中考，不等式的性质常在选择题中考查；一元一次不等式的解法及其数轴上的表示常在选择题、填空题和计算题中考查；一元一次不等式的应用常结合二元一次方程、分式方程或一元二次方程在解答题形式中考查。


【中考考查重点】
一、 掌握不等式的基本性质
二、 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
三、 会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；
四、 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。


考点一：不等式的基本性质
性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c
性质2
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）
性质3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）

1．（2021秋•肇源县期末）若a＜b，则下列变形正确的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B．＞ C．﹣3a＞﹣3b D．＞
【答案】C
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意；
D、∵a＜b，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＝0时，a2＝ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
当|a|＝|b|时，a2＝b2，
当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，故④结论正确；
∴正确的个数是1个．
故选：A．




考点二：一元一次不不等式的解法及解集表示
解法步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1

x＜a

x＞a

x≤a

x≥a

总结
在数轴上表示解集时，“≥”或“≤”用实心圆点，“＞”或“＜”用空心圆点；小于向左，大于向右。

3．（2020秋•天元区期末）如图，数轴上表示的解集是（　　）

A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x＞﹣3 D．x≤2
【答案】A
【解答】解：由图可得，x＞﹣3且x≤2
∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2，
故选：A．
4.（2020•毕节市）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（　　）
A．14 B．7 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解答】解：≤﹣2，
m﹣2x≤﹣6，
﹣2x≤﹣m﹣6，
x≥m+3，
∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，
∴m+3＝4，
解得m＝2．
故选：D

考点三：一元一次不等式组的解集类型及表示
不等式组（a＞b)
解集
在数轴上表示
口诀


x＞a

同大取大


x＜b

同小取小

b＜x＜a

大小、小大中间找

无解

大大、小小取不小
【提分要点】
解一元一次不等式组的一般解答步骤
分别求出不等式组中各个不等式的解集、再在数轴上表示出不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集
5．（2021•温州模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A

【解答】解：∵，
解①得x＜1；
解②x≥﹣1，表示到数轴上如下：

故选：A．
6．（2021春•金山区期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（　　）
A． B．0 C．﹣0.7 D．1
【答案】C
【解答】解：∵不等式组的解集是，
∴a≤﹣，
而﹣＞﹣，0＞﹣，1＞﹣，﹣0.7＜﹣，
故选：C．
7．（2021春•海珠区校级期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：∵关于x的不等式组有解，
∴a＜3，
∴a的取值可能是0、1或2，不可能是3．
故选：D．
8．（2021春•乐亭县期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】D
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a≥3，
故选：D．

考点四：列不等式解应用题的步骤
找
找出题目当中的不等关系（正确理解表示不等关系的关键词的意义：例如“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不低于”（≥）、“不高于”（≤）、“不大于”（≤）、“不小于”（≥）等）
设

设未知数

列
根据不等关系、列出不等式
解
解不等式
答
根据题意作答（要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥时，则x咋最小值为4，即至少有4人）
【提分要点】
题干中至少，设未知数时需注意；不能设至少要x，而应明确设为x，如求甲至少要购买多少件，则设购买甲x件，再根据题目条件列不等式求解。

9．（2021•栾川县三模）某水果批发店销售粑粑柑和苹果，均按整箱出售，粑粑柑比苹果每箱贵30元．某天粑粑柑销售额为1800元，苹果销售额为3600元，该日苹果销售量恰好是粑粑柑销售量的3倍．
（1）求粑粑柑、苹果每箱各是多少元？
（2）某单位决定去该水果批发店购买粑粑柑、苹果共30箱，恰逢批发店对售价进行调整，苹果单价提高了5%，粑粑柑按九折销售，本次购买预算总费用不超过2100元，那么可最多购买多少箱粑粑柑？
【答案】(1) 苹果每箱60元，粑粑柑每箱90元． (2)最多可购买11箱粑粑柑
【解答】解：（1）设苹果每箱x元，则粑粑柑每箱（x+30）元，
依题意得：＝3×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝60+30＝90．
答：苹果每箱60元，粑粑柑每箱90元．
（2）设可以购买m箱粑粑柑，则购买（30﹣m）箱苹果，
依题意得：90×0.9m+60×（1+5%）（30﹣m）≤2100，
解得：m≤11，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为11．
答：最多可购买11箱粑粑柑．

10.（2021春•博兴县期末）如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B地．已知公路的运价为2元/（吨•千米），铁路的运价为1.5元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元．

（1）求从A地购买的原料和运到B地的产品各多少吨？
（2）如果购买这批原料的价格为每吨1千元，且这家工厂希望这批产品全部售出后获得不低于20万元的利润（利润＝销售额﹣原料费﹣运输费），那么每吨产品的最低售价应定为多少元（结果取整数）？
【答案】(1) 从A地购买的原料为600吨和运到B地的产品为400吨
(2)最低售价应定2638元
【解答】解：（1）设从A地购买的原料为a吨和运到B地的产品为b吨，
由题意可得，，
解得，
答：从A地购买的原料为600吨和运到B地的产品为400吨；
（2）设每吨产品的售价为x元，
由题意可得，400x﹣600×1000﹣48000﹣207000≥200000，
解得x≥2637.5，
∵x为整数，
∴x的最小值是2638，
答：每吨产品的最低售价应定2638元．


1．（2021秋•衢江区月考）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（　　）
A．﹣x+2＜﹣y+2 B．4x＞4y C．﹣3x＜﹣3y D．x﹣2＜y﹣2
【答案】D
【解答】解：A、不等式x＜y的两边都乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣x＞﹣y，不等式﹣x＞﹣y的两边都加上2，不等号的方向不变，即﹣x+2＞﹣y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式x＜y的两边都乘4，不等号的方向不变，即4x＜4y，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式x＜y的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，即﹣3x＞﹣3y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式x＜y的两边都减去2，不等号的方向不变，即x﹣2＜y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．

2．（2021秋•雨花区校级月考）如图在数轴上表示是哪一个不等式的解（　　）

A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥﹣2.5 D．x≤﹣2.5
【答案】A
【解答】解：∵﹣1处是实心原点且折线向右，
∴不等式的解集是x≥﹣1．
故选：A．
3．（2021•南明区模拟）如果有一个数不超过a，那么这个数的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设这个数是x，
∵这个数不超过a，
∴x≤a．
故选：B．
4．（2021•襄州区模拟）已知点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，
∴，
解得a＜2，
故选：C．

5．（2020•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
【答案】A
【解答】解：∵不等式组的解集是x≥1，
∴a＜1，
故选：A．
6．（2021秋•龙凤区期末）若不等式组无解，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【答案】D
【解答】解：
由①得，x＞2，
又因为不等式组无解，
所以m≤2．
故选：D．
7．（2021秋•瓯海区月考）解不等式组，并把解集表示在数轴上．

【答案】略

【解答】解：，
由①得 x≥﹣2，
由②得 x＜3，
∴原不等式组的解为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
8．（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；
（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？
（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？
【答案】（1） 甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元 （2）20
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元．
（2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，
依题意得：20m+10（30﹣m）≤500，
解得：m≤20．
答：至多需要购买20个甲种文具．
9．（2021春•德惠市期末）某超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表：
蔬菜品种
西红柿
西兰花
批发价格（元/千克）
3.6
8
零售价格（元/千克）
5.4
14
请解答下列问题：
（1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用了1520元钱，这两种蔬菜当天全部销售后一共赚多少元钱？
（2）第二天，该超市用了1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元，该超市最多能批发西红柿多少千克？
【答案】（1） 西红柿200kg，西兰花100kg （2） 100kg
【解答】解：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，
由题意得，
解得：，
故批发西红柿200kg，西兰花100kg，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：200×1.8+100×6＝960（元），
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；
（2）设批发西红柿akg，
由题意得，（5.4﹣3.6）a+（14﹣8）×≥1050，
解得：a≤100．
答：该经营户最多能批发西红柿100kg．


1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＜﹣5b C．＞ D．a+c＞b+c
【答案】C
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣5＞b﹣5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣5b，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴当c＞0时，；当c＜0时，，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故本选项不符合题意；
故选：C
2．（2020•百色）不等式﹣2x+4＜0的解集是（　　）
A．x＞ B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x＞2
【答案】D

【解答】解：移项得：﹣2x＜﹣4，
解得：x＞2，
故选：D．
3．（2021•重庆）不等式x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示为：
，
故选：D．
4．（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解∵a⊗b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
5．（2021•阜新）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：解不等式2﹣2x≤4，得：x≥﹣1，
解不等式x+1＞3，得：x＞2，
则不等式组的解集在数轴上的表示如下：

故选：C
6．（2016•聊城）不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
【答案】D
【解答】解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，
解得：m≤0，
故选：D．
7．（2021•西藏）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】略
【解答】解：解不等式2x+3＞1，得：x＞﹣1，
解不等式≤，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：


8．（2021•抚顺）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
【答案】（1） A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元； （2）80
【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，
由题意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．
9．（2021•赤峰）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？
【答案】（1） 《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元
（2）88
【解答】解：（1）设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元．
（2）《三国演义》每本售价为60﹣10＝50（元），
《红楼梦》每本售价为60+10＝70（元）．
设这次购买《西游记》m本，则购买《水浒传》（50+40+m﹣60﹣30）＝m本，《三国演义》（50+40+m）＝（90+m）本，《红楼梦》（50+40+m）＝（90+m）本，
依题意得：60m+60m+50（90+m）+70（90+m）≤32000，
解得：m≤88．
又∵m为整数，
∴m可以取的最大值为88．
答：这次最多购买《西游记》88本．


1．（2021•潮阳区模拟）把某个关于x的不等式的解集表示在数轴上如图所示，则该不等式的解集是（　　）

A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【答案】B
【解答】解：x＞﹣2在数轴上表示如图：

故选：B．

2．（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（　　）
A．﹣3 B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：2（x﹣3）+3＜0，
去括号得，2x﹣6+3＜0，
移项得，2x＜6﹣3，
合并同类项得，2x＜3，
把x的系数化为1得，x＜．
∵，
∴2不是不等式2（x﹣3）+3＜0的解．
故选：D．
3．（2021•永嘉县校级模拟）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【答案】A
【解答】解：∵等式组的解集是x＞4，
∴m≤4，
故选：A．
4．（2020•和平区校级一模）如果不等式组有解，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤5
【答案】C
【解答】解：，
由①得x＜5，
由②得x≥m，
∵不等式组有解，
∴m＜5．
故选：C．
5．（2021•阳东区模拟）2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造成口罩紧缺，为满足社会需求，某工厂现需购买一批材料，用于生产甲、乙两种型号的口罩，已知生产乙型口罩所需的材料费比生产甲型口罩所需的材料费每件多100元，且生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同．
（1）求生产甲、乙两种型号口罩所需的材料费每件各多少元？
（2）若工厂购买这批材料的资金不超过135000元，且需生产两种口罩共400件，求至
少能生产甲种口罩多少件？
【答案】（1）甲为300元，乙为400元．（2）250件
【解答】解：（1）设生产每件甲型口罩所需的材料费为x元，则生产每件乙型口罩所需的材料费为（x+100）元，
依题意得：40x＝30（x+10），
解得：x＝300，
∴x+100＝300+100＝400．
答：生产每件甲型口罩所需的材料费为300元，生产每件乙型口罩所需的材料费为400元．
（2）设生产甲型口罩m件，则生产乙型口罩（400﹣m）件，
依题意得：300m+400（400﹣m）≤135000，
解得：m≥250．
答：至少能生产甲型口罩250件．
6．（2021•深圳模拟）南山荔枝，广东省深圳市南山区特产，中国国家地理标志产品，品种多样．共有6个品种，“糯米糍”和“妃子笑”是其中两个品种．某水果商从批发市场用8000元购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克，“糯米糍”的进价比“妃子笑”的进价每千克多20元．“糯米糍”售价为每千克40元，“妃子笑”售价为每千克16元．
（1）“糯米糍”和“妃子笑”的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克，进价不变，但在运输过程中“妃子笑”损耗了20%．若“妃子笑”的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚的钱，“糯米糍”的售价最少应为多少？
【答案】（1） “糯米糍”的进价是30元/千克，“妃子笑”的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元钱．
（2）43.2元/千克
【解答】解：（1）设“糯米糍”的进价是x元/千克，则“妃子笑”的进价是（x﹣20）元/千克，
依题意得：200x+200（x﹣20）＝8000，
解得：x＝30，
∴x﹣20＝10．
200×40+200×16﹣8000＝3200（元）．
答：“糯米糍”的进价是30元/千克，“妃子笑”的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元钱．
（2）设“糯米糍”的售价应为m元/千克，
依题意得：200m+200×（1﹣20%）×16﹣8000≥3200，
解得：m≥43.2，
答：“糯米糍”的售价最少应为43.2元/千克．