初中数学中考复习 考点14 二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点14 二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版），共19页。
考点十四 二次函数图像与性质及与a、b、c的关系
【命题趋势】
在中考中，二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a、b、c的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。


【中考考查重点】
一、 会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；
二、 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴。


考点一：二次函数的概念及三种解析式
概念
形如的函数叫二次函数
三种解析式
1. 一般式：；
2. 顶点式：（a≠0）其中（h,k）为二次函数的顶点坐标
3. 交点式：，其中为抛物线与x轴交点的横坐标

图像画法
列表、描点、连线

1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝4x+2 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝
【答案】C
【解答】解：A．y＝4x+2，是一次函数，故A不符合题意；
B．y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故B不符合题意；
C．y＝3x2+5﹣4x＝3x2﹣4x+5，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．

考点二：二次函数的图像与性质
解析式

对称轴
直线（还可以利用，其中为y值相等的两个点对应的横坐标）求解）
顶点坐标


增减性
当时，在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大

当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少

最值
当时，y有最小值
当时，有最小值．

当a＜0时，y有最大值

当时，有最大值


2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，则该二次函数图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
【答案】B
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，
∴x＝﹣＝﹣＝2，y＝＝＝1，
二次函数图象的顶点坐标为（2，1），
故选：B．

3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x＝1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x＝1，故C错误；
顶点坐标为（1，2），故D正确．
故选：D．
4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A，直线下降a＜0，抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．
选项B，直线下降，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，不符合题意．
选项C，直线上升，a＞0，抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，符合题意．
选项D，直线上升，a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．
故选：C．


5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＝y2＞y3 D．y1＞y2＝y3
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），
∵1＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选：C

6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h，当x＞2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　）
A．k≥2 B．k≤2 C．k＝2 D．k≤﹣2
【答案】B
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k，
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞2时，y的值随x值的增大而减小，
所以k≤2．
故选：B．










考点三：二次函数图像与a、b、c的关系
1.根据a、b、c的正负数判断二次函数图像
二次项系数a
决定抛物线的开口方向及开口大小
⑴ 当时，抛物线开口向上

⑵ 当时，抛物线开口向下

一次项系数b
决定对称轴的位置
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为对称轴为y轴）

常数项系数c
决定抛物线与y轴的交点的位置

⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方

⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方

决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
决定抛物线与x轴的交点个数

2.根据二次函数图像判断a、b、c关系式与0的关系
关系式
实质

2a+b

实质式结合a的正负比较与1关系
2a+b

实质式结合a的正负比较与-1关系
a+b+c
实质是令x=1，看纵坐标正负
a-b+c
实质是令x=-1，看纵坐标正负
4a+2b+c
实质是令x=2，看纵坐标正负
4a-2b+c
实质是令x=-2，看纵坐标正负

7．（2021秋•新抚区期末）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（　　）

A．﹣1≤c≤0 B．﹣1≤c≤ C．﹣1≤c≤ D．0≤c≤
【答案】C
【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b，
将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得，
∴y＝x+，
如图，当抛物线与线段AB相切时，

令x+＝x2+c，整理得x2﹣x﹣+c＝0，
∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0，
解得c＝，
c减小，抛物线向下移动，
当抛物线经过点A（﹣1，0）时，

将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，
解得c＝﹣1，
∴﹣1≤c≤满足题意．
故选：C．

8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a﹣b＜0；
②abc＜0；
③a+b+c＜0；
④a﹣b+c＞0；
⑤4a+2b+c＞0．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵0＜﹣＜1，
∴b＜0，2a﹣b＞0，①不正确，不符合题意．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，②不正确，不符合题意．
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，③正确，符合题意．
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，④正确，符合题意．
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，⑤正确，符合题意．
故选：C


1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
故选：B．
2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）
D．图象的对称轴在y轴的右侧
【答案】C
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，
图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项C正确，
图象的对称轴在y轴的左侧，故选项D错误，
故选：C．
3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（　　）
A．0＜y2＜y1 B．0＜y1＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，0），
∵A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），
∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|，
∴y1＜y2＜0，
故选：C．
4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（1，5） C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣5）
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴该抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣5），
∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1，5），
故选：C．
5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③3a+c＞0，④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确．
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
由图象可得x＝﹣1时y＞0，
∴a+2a+c＝3a+c＞0，③正确．
∵c＜0，
∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0，
∵x＝﹣1时y＞0，
∴a﹣b+c＞0，④正确．
故选：C．



1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．
故选：C．
2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【答案】A
【解答】解：如图

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．



4．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）

A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴A点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2，所以b＝﹣4a，所以b＞0，故A正确．
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B正确．
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（5，0）和（﹣1，0），所以方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1，故C正确．
由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故D错误．
故选：D．
7．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．

∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
8．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；
∴当x＝1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
9．（2021•徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　 　个．
【答案】（1） y＝+2 （2） 6 （3）4
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．


1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1
【答案】A
【解答】解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，A的坐标为（1，﹣2），B的坐标为（﹣1，﹣5），若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB的下方，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣3 B．m＞2 C．m＜﹣2或m＞2 D．m＜﹣3或m＞2
【答案】D
【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1，
∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点为（m，﹣1），
当﹣1≤m≤1时，
∵﹣1＞﹣2＞﹣5，
∴顶点在线段AB的上方，不符合题意；
当m＜﹣1时，
若二次函数的图象与线段AB交于点B，
则当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，
解得：m1＝﹣3，m2＝1（舍去），
∴要使二次函数的图象在线段AB的下方，
则需要将图象向左平移，
∴m＜﹣3，
当m＞1时，若二次函数图象与线段AB交于点A，
则当x＝1时，
y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2，
解得：m1＝2，m2＝0（舍去），
∴而要使二次函数始终在线段AB下方，则需要将图象向右平移，
∴m＞2，
综上所述：m＜﹣3或m＞2．
故选：D．
3．（2021•陕西模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1，0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（　　）

A．I B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a，
∵B（﹣1，0），
∴A（3，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；
①当x＝1时，函数的最大值是a+b+c，
故①不正确；
②当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
故②不正确；
③∵函数与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④由图象可知当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，
故④正确；
故选：B．