初中数学中考复习 考点17 特殊的平行四边形-中考数学考点一遍过

这是一份初中数学中考复习 考点17 特殊的平行四边形-中考数学考点一遍过，共25页。试卷主要包含了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，联系，中点四边形等内容，欢迎下载使用。

考点17 特殊的平行四边形

一、矩形的性质与判定
1．矩形的性质：
（1）四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相平分；
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角；
（3）对角线相等的平行四边形．
二、菱形的性质与判定
1．菱形的性质：
（1）四边相等；
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；
（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．
2．菱形的判定：
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形；
（3）四条边都相等的四边形．
三、正方形的性质与判定
1．正方形的性质：
（1）四条边都相等，四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相垂直平分；
（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；
（2）一组邻边相等的矩形；
（3）一个角是直角的菱形；学科+网
（4）对角线相等且互相垂直、平分．
四、联系

（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；
（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．
五、中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考向一 矩形的性质与判定
1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

典例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是

A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=OD
C．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC
【答案】B
【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．
典例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是

A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3 cm，故选C．
【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．

1．能判断四边形是矩形的条件是
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
2．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是

A．18° B．36°
C．45° D．72°
考向二 菱形的性质与判定
1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

典例3　菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．
【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
典例4　如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）

【答案】BO=DO（答案不唯一）
【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．学科-网

3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为
A．45°，135° B．60°，120°
C．90°，90° D．30°，150°
4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．








考向三 正方形的性质与判定
1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．
2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．

典例5　如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE=BC，则∠BEC的度数是

A．45° B．60° C．67.5° D．82.5°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=×（180°−45°）=67.5°．故选C．
典例6　下列命题正确的是
A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】A
【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．

5．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为

A． B．2
C．5 D．10
6．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明

A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD
C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分
考向四 中点四边形
1．中点四边形一定是平行四边形；
2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．

典例7　如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【答案】D
【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D．


7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是

A．S1=3S2 B．2S1=3S2
C．S1=2S2 D．3S1=4S2


1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=

A．5 B．4 C．3.5 D．3
2．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是

A．18° B．36° C．45° D．72°
3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为

A． B． C． D．15
4．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为

A．cm B．cm C．cm D．cm
5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是

A．30 B．24 C．18 D．6
6．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是

A．75° B．60° C．54° D．67.5°
7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.

8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．

9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．







10．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；学!科网
（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．








11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．








1．（2018·台州）下列命题正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（2018·淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是

A．20 B．24 C．40 D．48
3．（2018·烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为

A．7 B．6 C．5 D．4
4．（2018·内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知
∠BDC=62°，则∠DFE的度数为

A．31° B．28° C．62° D．56°
5．（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于

A．1 B． C． D．
6．（2018·牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为

A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2018·贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是

A．6 B．3 C．2 D．4.5
8．（2018·湘潭）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是

A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
9．（2018·嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是
A． B．
C． D．
10．（2018·甘孜州）如图，在菱形中，对角线与相交于点
于点，交于点，则的长为__________．

11．（2018·锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．

12．（2018·攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．

13．（2018·葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．

14．（2018·广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．




15．（2018·郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．




16．（2018·沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．








变式拓展

1．【答案】C
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误；
B、等腰梯形的对角线也相等，故错误；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选C．

3．【答案】B
【解析】如图，由题意知AB=BC=AC，

∵AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，即根据平行四边形的性质，故选B．
4．【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠FAD=∠EDA，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，∴四边形AEDF是菱形．
5．【答案】D
【解析】设，∵，∴，根据勾股定理，，
∴，∴，故选D．
6．【答案】B
【解析】A．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形； B．根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形； C．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形； D．根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．
7．【答案】C
【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，
当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C．

∵四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2．故选C．

考点冲关

1．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°， ∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故选B．
2．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠DAE∶∠BAE=3∶1，∴∠BAE=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠OAB=∠OBA=90°–22.5°=67.5°，
∴∠EAC=67.5°–22.5°=45°．故选C．
3．【答案】B
【解析】如图，连接AF．根据折叠的性质，得EF垂直平分AC，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得．
在中，根据勾股定理，得AC=5，则AO=2.5．
在中，根据勾股定理，得
根据全等三角形的性质，可以证明则故选B．

4．【答案】B
【解析】∵菱形ABCD的对角线∴AC⊥BD，OA=AC=4 cm，OB=BD=
3 cm，根据勾股定理，（cm）．设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm．故选B．
5．【答案】B
【解析】∵P、Q分别是AD、AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6．
又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24．故选B．
6．【答案】B
【解析】如图，连接BD，由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=（180°–∠BCE）=15°，∵∠BCM=∠BCD=45°，∴∠BMC=180°–（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°–∠BMC=60°，∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B．

7．【答案】50°
【解析】如图所示，

由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，
∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案为：50°．
8．【答案】
【解析】∵正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，
∴正方形ABCD的边长为，正方形BEFG的边长为2，∴CE=–2，
△GCE的面积=CE·BG=×（–2）×2=–2．故答案为：–2．
9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.
10．【解析】（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF=AC，
同理有GH∥AC，且GH=AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
（2）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
依题意可证得EH∥BD且EH=BD，
若AC=BD，则有EH=EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是正方形．

直通中考

1．【答案】C
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选C．
2．【答案】A
【解析】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，
故这个菱形的周长L=4AB=20．故选A．
3．【答案】D
【解析】连接AC、BD，如图，

∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD==5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，，
∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，
∴DN=1，∴CN=CD-DN=5-1=4．故选D．
4．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．学-科网
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选B．
6．【答案】B
【解析】由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，∵ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF，在△AED与△FDC中有AD=CF，∠A=∠DFC=，∠AED=∠CDF，∴△AED≌△FDC，∴ED=CD，设CD的长为x，在Rt△EAD中，有，即，解得x=5，故选B．
7．【答案】C
【解析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，

则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，∵AC=6，BD=6，∴AB=，由S菱形ABCD=AC·BD=AB·E′M得×6×6=3·E′M，解得E′M=2，即PE+PM的最小值是2，故选C．
8．【答案】B
【解析】如图，连接AC、BD交于点O，AC交FG于L．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，，同理可得：，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，同理可证：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．

10．【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=AC=×8=4，DO=BD=×6=3，
∴AD==5，∵S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF，∴×8×6=5EF，∴EF=，故答案为：．
11．【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8．∵S菱形ABCD=24，∴AC=6．∵AH⊥
BC，OA=OC，∴OH=AC=3．故答案为：3．
12．【答案】4
【解析】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB·h=AB·AD，∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=，即PA+PB的最小值为4．故答案为：4．学科网
13．【答案】（2，-3）
【解析】∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB（x轴）对称，∵A（2，3），∴C（2，-3），
故答案为：（2，-3）．
14．【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
15．【解析】∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，
又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
16．【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：AC·BD=×4×2=4，故答案为：4．