初中数学中考复习 考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系-中考数学考点一遍过

这是一份初中数学中考复习 考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系-中考数学考点一遍过，共33页。试卷主要包含了圆的有关概念，垂径定理及其推论，圆心角，圆周角定理及其推论，与圆有关的位置关系，切线的性质与判定，三角形与圆等内容，欢迎下载使用。

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系

一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．学-科网
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d (2)d=r⇔点在⊙O上；
(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点．
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一 圆的基本认识
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例1 下列命题中正确的有
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．

1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的
A． B．
C． D．
2．半径为5的圆的一条弦长不可能是
A．3 B．5 C．10 D．12
考向二 垂径定理
1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．
2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例2 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16 cm，则球的半径为

A．10 cm B．10 cm
C．10cm D．8 cm
【答案】B

【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题．
典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

A．2 cm B． cm
C． D．
【答案】C
【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
作OD⊥AB于D，连接OA．

根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，
根据垂径定理得AB=2cm．
故选C．

3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是

A．3 B．6
C．4 D．8
4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2．3米．
（1）求该圆弧形所在圆的半径；
（2）若该菜农的身高为1．70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？

考向三 弧、弦、圆心角、圆周角
1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．
2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例4 如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°的弧，则∠BOC=

A．110° B．80°
C．40° D．70°
【答案】A
【解析】连接OE，如图所示：

∵弧DE为40°的弧，∴∠DOE=40°．∵OD=OE，∴∠ODE==70°．
∵弦DE∥AB，∴∠AOC=∠ODE=70°，∴∠BOC=180°–∠AOC=180°–70°=110°．故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
典例5　如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是

A．100° B．110°
C．120° D．130°
【答案】C
【解析】如图，在优弧AB上取点C，连接AC、BC，

由圆周角定理得，
由圆内接四边形的性质得到，故选C．
【点睛】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为

A．π B．π C．π D．π
6．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

A．52° B．57° C．66° D．78°
考向四 点、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．
2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．故选C．
【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD==1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．

7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是

A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．以上都有可能
8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．学_科网

考向五 切线的性质与判定
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例8　如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是

A．40° B．50°
C．25° D．115°
【答案】C
【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，

∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

A． B．
C． D．1
【答案】B

9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD A．大于 B．等于
C．小于 D．不能确定
10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于．

求证：（1）；（2）为⊙的切线．






1．下列关于圆的叙述正确的有
圆内接四边形的对角互补；
相等的圆周角所对的弧相等；
正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；
同圆中的平行弦所夹的弧相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E=

A．220° B．230°
C．240° D．250°
3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD=180°，则弦BC的长等于

A． B．
C．8 D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是

A．点（1，0） B．点（2，1）
C．点（2，0） D．点(2．5，1)
5．如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=

A．59° B．31°
C．124° D．121°
6．如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为

A．32 B．34
C．36 D．38
7．已知在⊙O中，AB=BC，且，则∠AOC=__________．

8．如图，A、B、C、D都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是__________．

9．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于D、C．已知△PCD的周长等于14cm，则PA=__________cm．

10．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，的度数为__________．

11．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是__________°．

12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；学_科网
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．


13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．








14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．







1．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=

A．8cm B．5cm
C．3cm D．2cm
2．（2018•甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是

A．AC=AB B．∠C=∠BOD
C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
3．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是

A．13寸 B．20寸
C．26寸 D．28寸
4．（2018•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于

A． B．
C．2 D．
5．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是

A． B．
C． D．
6．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为

A．4 B．2
C． D．2
7．（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是

A．80° B．120°
C．100° D．90°
8．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为

A． B．
C．34 D．10
9．（2018•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为

A．3 B．6
C．4 D．2
10．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
11．（2018•常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为

A．76° B．56°
C．54° D．52°
12．（2018•广元）如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB=8cm、点C与的中点D的距离CD=2cm．则此圆环形士片的外圆半径为__________cm．

13．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为__________．

14．（2018•牡丹江）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

15．（2018•湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．




16．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．


17．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．



变式训练

1．【答案】D
【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，
∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积，
∴.故选D．
2．【答案】D
【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，
又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度.故选D．
3．【答案】B
【解析】如图，连接OA，∵的直径为10，，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，
由垂径定理知，点M是AB的中点，
由勾股定理可得，所以故选B．

4．【解析】（1）如图所示：

CO⊥AB于点D，
设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，
则（x–2．3）2+（×）2=x2，解得x=3．
答：圆弧形所在圆的半径为3米；
（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，
可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，
故FN==1.8（米），
故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．
5．【答案】B
【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为：，故选B．

7．【答案】A
【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．

8．【答案】2
【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．
∴需要平移5–3=2（cm）．故答案是：2．
【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．
9．【答案】B
【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．
∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，
∵S△AOB=•OB•AH=•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，
∴AB+CD=BC，故选B．

【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键．
10．【解析】（1）如图，连，

∵是直径，∴，，
又，∴为中点，；
（2）连，
∵为中点，，
∴为中位线，，
又于∴，
∴为⊙的切线．学科_网
考点冲关

1．【答案】B
【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；
正确的有2个，故选B．
2．【答案】B
【解析】如图，连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC=100°，得出∠AOB+∠AOC=260°，由圆周角定理得出∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），即可得出∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选B．

3．【答案】C
【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，

∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，
∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，
∴BC=．故选C．
4．【答案】C
【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．
5．【答案】D
【解析】∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°–62°=118°，
∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×118°=59°，
∴∠BOC=180°–59°=121°．故选D．
6．【答案】B
【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．
7．【答案】144°
【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC=144°．
8．【答案】100°
【解析】∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故答案为100°．
9．【答案】7
【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；

∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；
∴PA=PB=7cm，故答案是：7．
10．【答案】
【解析】如图，连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴是正三角形，∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴，
∴，∴的度数为84°．故答案为：84°．

11．【答案】120
【解析】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°–60°=120°．故答案为：120．


13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，
∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，
则DE=4.75．

14．【解析】（1）∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
（2）如图，连接CD．
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴=，∴BD=CD，
∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．

直通中考

1．【答案】A
【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选A．
2．【答案】B
【解析】A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，∴=，∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；
故选B．
3．【答案】C
【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r–1，OA=r，则有r2=52+（r–1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．
4．【答案】D
【解析】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=．故选D．
5．【答案】D
【解析】如图，连接AD．

∵OD是直径，∴∠OAD=90°，
∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选D．
6．【答案】D
【解析】如图，∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选D．

7．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°–∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．
8．【答案】D
【解析】如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN–MP=EF–MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选D．

9．【答案】A
【解析】如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D

∵OB=OC，OD⊥BC，∴CD=BC，∠COD=∠BOC，
又∵∠BOC=2∠A，BC=2，∴∠COD=∠A，CD=，
∵sin∠BAC=，∴sin∠COD==，∴OC=3，故选A．
10．【答案】B
【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选B．
11．【答案】A
【解析】∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°–∠MNB=90°–52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选A．
12．【答案】5
【解析】如图，连接OA，∵CD=2cm，AB=8cm，
∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC=AB=4cm，∴设半径为r，则OD=r–2，
根据题意得：r2=（r–2）2+42，解得：r=5．
∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．

13．【答案】30°
【解析】如图，连接OC．

∵AB是直径，==，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°–60°=30°．故答案为30°．
14．【解析】如图，延长AD交⊙O于E，

∵OC⊥AD，∴=2，AE=2AD，
∵=2，∴=，
∴AB=AE，∴AB=2AD．
15．【解析】（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，

∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，
∵OB=OC，∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；

16．【解析】（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°–120°=60°，
∵BE为直径，∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）连接EA，如图，
∵BE为直径，∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．

17．【解析】（1）∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，
∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，∴DF==4，
∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，
∴△AOB的面积是：=27．