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初中数学中考复习 考点20 等腰三角形（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 考点20 等腰三角形（解析版），共33页。
考点二十 等腰三角形
【命题趋势】
在中考中，等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查，经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】
一、 等腰三角形
二、 等边三角形
考点一：等腰三角形的性质与判定
性质
1. 等腰三角形的两个底角度数相等
2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）
3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴
判定
1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积公式
，其中a是底边常，hs是底边上的高
1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（ ）
A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm
【答案】D
【解答】解：当相等的两边是4cm时，4+4＞5，能够组成三角形，则它的周长是4+4+5＝13（cm）；
当相等的两边是5cm时，4+5＞5，能够组成三角形，则它的周长是5+5+4＝14（cm）．
故选：D．
2．（2021秋•延边州期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，且AD＝AC，若∠BAC＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．50° C．52° D．58°
【答案】A
【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝＝75°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．
故选：A．
3．（2021秋•和平区校级期中）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ 5 cm．
【答案】5
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3cm，FE＝CE＝2cm，
∴DE＝DF+CE＝5（cm）．
故答案为：5．
4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．50°或130° B．130° C．80° D．50°或80°
【答案】A
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：A．
5．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1） BE＝DE （2）∠BDE的度数为30°
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
6．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）略 （2）∠DEF＝70°
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
7．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）△OCD是等边三角形 （2） △AOD是直角三角形
（3）α＝110°或125°或140°
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
考点二： 等边三角形的性质与判定
性质
1. 三条边相等
2. 三个内角相等，且每个内角都等于60°
3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
判定
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形
2. 三个角相等的三角形是等边三角形
3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形
面积公式
是等边三角形的边长，h是任意边上的高
8．（2021秋•浦城县期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1＝AP，∠CAP1＝∠BAP，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAP1＝60°，
即∠PAP1＝60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P＝PA＝4，
故选：A．
9．（2020秋•紫阳县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得CD＝CE．延长DE交AB于点F，若∠A＝60°，EF＝4cm，则DF的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∵EF＝4cm，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴由勾股定理得：x2+42＝4x2，
∴x＝，
∴AF＝，AE＝，
∴BF＝AB﹣AF＝2AE﹣AF＝，
∵∠D＝30°，
∴BD＝2BF＝，
∴DF2＝BD2﹣BF2＝3BF2，
∴DF＝BF＝×＝12．
故选：A．
10．（2021春•张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
11．（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
【答案】略
【解答】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，
又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，
∴∠AQN＝∠ACB，
∵∠BQM＝∠AQN，
∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°
1．（2021秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一点，且AD＝BD，∠A＝40°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．（2021秋•九台区期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：连接AD，
则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
即：×8•DF+8•DE＝24，
可得：DE+DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故选：A．
5．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5
5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
6．（2021•滨州）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 ．
【答案】34°
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝44°，
∴∠ADB＝＝68°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，
故答案为：34°．
7．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【答案】（1） 48° （2）AE＝FE
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，
∴AE＝FE．
8．（2021秋•长春期末）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【答案】（1）30° （2）CD＝CF
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
9．（2020秋•淮南期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】（1）＝；（2）＝ （3）3
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
1．（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B．
2．（2021•青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
3．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴OD＝OC＝2，
故选：C．
4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
5．（2021•康巴什一模）如图所示，已知m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：过C点作CD∥m，
∴∠ACD＝∠1＝25°，
∵m∥n，
∴CD∥n，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠2＝∠ACB﹣25°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故选：B．
6．（2021•荆门一模）如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BO＝CO＝4，
∵AN＝CN，
∴ON＝AB＝4，ON∥AB，
∵AB∥DE，
∴ON∥DE，
∴，
∴＝2，
∴OD＝AO，
∴tan∠ABO＝，即，
∴AO＝4，
∴OD＝2，
在Rt△BOD中，
BD＝＝2．
故选：B．
7．（2021•丹东模拟）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故选：B．
8．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【答案】6
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
9．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
10．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】（，4）或（，4）或（10，4）
【解答】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．
1.（2021•贵港模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝10，∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝10，
故选：C．
2．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
3．（2021•陕西模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
4．（2021•西陵区模拟）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图，在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．
故选：D．
5．（2021•成都模拟）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
【答案】C
【解答】解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°
∵△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
故选：C．
6．（2021•中山区一模）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
7．（2021•饶平县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝6+4＝10．
故选：B．
8．（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【答案】C
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故选：C．
9．（2021•甘谷县一模）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．128
【答案】A
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°
∴A1B1＝OA1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64，
故选：A．
10．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
【答案】（1） 略 （2）EF＝．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴＝，即＝，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵△FAE∽△ACE，
∴＝，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
考点二十 等腰三角形
【命题趋势】
在中考中，等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查，经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】
一、 等腰三角形
二、 等边三角形
考点一：等腰三角形的性质与判定
性质
1. 等腰三角形的两个底角度数相等
2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）
3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴
判定
1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积公式
，其中a是底边常，hs是底边上的高
1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（ ）
A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm
【答案】D
【解答】解：当相等的两边是4cm时，4+4＞5，能够组成三角形，则它的周长是4+4+5＝13（cm）；
当相等的两边是5cm时，4+5＞5，能够组成三角形，则它的周长是5+5+4＝14（cm）．
故选：D．
2．（2021秋•延边州期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，且AD＝AC，若∠BAC＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．50° C．52° D．58°
【答案】A
【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝＝75°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．
故选：A．
3．（2021秋•和平区校级期中）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，BD＝3cm，EC＝2cm，则DE＝ 5 cm．
【答案】5
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3cm，FE＝CE＝2cm，
∴DE＝DF+CE＝5（cm）．
故答案为：5．
4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．50°或130° B．130° C．80° D．50°或80°
【答案】A
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：A．
5．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1） BE＝DE （2）∠BDE的度数为30°
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
6．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）略 （2）∠DEF＝70°
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
7．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）△OCD是等边三角形 （2） △AOD是直角三角形
（3）α＝110°或125°或140°
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
考点二： 等边三角形的性质与判定
性质
1. 三条边相等
2. 三个内角相等，且每个内角都等于60°
3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
判定
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形
2. 三个角相等的三角形是等边三角形
3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形
面积公式
是等边三角形的边长，h是任意边上的高
8．（2021秋•浦城县期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1＝AP，∠CAP1＝∠BAP，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAP1＝60°，
即∠PAP1＝60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P＝PA＝4，
故选：A．
9．（2020秋•紫阳县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得CD＝CE．延长DE交AB于点F，若∠A＝60°，EF＝4cm，则DF的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∵EF＝4cm，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴由勾股定理得：x2+42＝4x2，
∴x＝，
∴AF＝，AE＝，
∴BF＝AB﹣AF＝2AE﹣AF＝，
∵∠D＝30°，
∴BD＝2BF＝，
∴DF2＝BD2﹣BF2＝3BF2，
∴DF＝BF＝×＝12．
故选：A．
10．（2021春•张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
11．（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
【答案】略
【解答】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，
又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，
∴∠AQN＝∠ACB，
∵∠BQM＝∠AQN，
∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°
1．（2021秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一点，且AD＝BD，∠A＝40°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．（2021秋•九台区期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：连接AD，
则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
即：×8•DF+8•DE＝24，
可得：DE+DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故选：A．
5．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5
5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
6．（2021•滨州）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 ．
【答案】34°
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝44°，
∴∠ADB＝＝68°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，
故答案为：34°．
7．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【答案】（1） 48° （2）AE＝FE
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，
∴AE＝FE．
8．（2021秋•长春期末）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【答案】（1）30° （2）CD＝CF
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
9．（2020秋•淮南期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】（1）＝；（2）＝ （3）3
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
1．（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B．
2．（2021•青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
3．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴OD＝OC＝2，
故选：C．
4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
5．（2021•康巴什一模）如图所示，已知m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：过C点作CD∥m，
∴∠ACD＝∠1＝25°，
∵m∥n，
∴CD∥n，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠2＝∠ACB﹣25°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故选：B．
6．（2021•荆门一模）如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BO＝CO＝4，
∵AN＝CN，
∴ON＝AB＝4，ON∥AB，
∵AB∥DE，
∴ON∥DE，
∴，
∴＝2，
∴OD＝AO，
∴tan∠ABO＝，即，
∴AO＝4，
∴OD＝2，
在Rt△BOD中，
BD＝＝2．
故选：B．
7．（2021•丹东模拟）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故选：B．
8．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【答案】6
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
9．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC＝＝2
∴BC＝＝2
10．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】（，4）或（，4）或（10，4）
【解答】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．
1.（2021•贵港模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝10，∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝10，
故选：C．
2．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
3．（2021•陕西模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
4．（2021•西陵区模拟）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图，在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．
故选：D．
5．（2021•成都模拟）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
【答案】C
【解答】解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°
∵△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
故选：C．
6．（2021•中山区一模）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
7．（2021•饶平县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝6+4＝10．
故选：B．
8．（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【答案】C
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故选：C．
9．（2021•甘谷县一模）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．128
【答案】A
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°
∴A1B1＝OA1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64，
故选：A．
10．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
【答案】（1） 略 （2）EF＝．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴＝，即＝，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵△FAE∽△ACE，
∴＝，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
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