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初中数学中考复习 考点31 与圆有关的计算（解析版）
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考点三十一 与圆有关的计算
【命题趋势】
在中考中，圆有关的计算常以弧长，扇形面积，阴影部分面积，圆锥有关计算为主，占分值6分左右。
【中考考查重点】
一、弧长、扇形面积的有关计算
二、圆锥的有关计算
三、阴影部分面积的计算
考点：弧长，扇形与圆锥的有关计算
设的半径为R，圆心角所对弧长为l，
弧长公式：l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
1.（2020秋•涟源市期末）若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A． π B．π C．π D．3π
【答案】B
【解答】解：弧长l＝＝π，
故选：B
2.（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解答】解：弧长：＝4π（cm），
圆锥底面圆的半径：r＝＝2（cm）．
故选：C．
3.（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A．4cm B．cm C．2cm D．2cm
【答案】A
【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6cm，
可知扇形的弧长为＝4πcm，
即圆锥的底面圆周长为4πcm，
则底面圆半径为2cm，
已知OA＝6cm，
由勾股定理得圆锥的高是4cm．
故选：A．
4.（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
lAB＝＝＝πcm，
故点B所经过的路程为πcm．
故选：C
考点：阴影部分面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
5.（2019•太原）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．
故选：A．
6.（2021•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝2．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
＝
＝．
故选：A．
7.（2020•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 ．
【答案】2π﹣4
【解答】解：
由题意得，阴影部分面积＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）＝2（﹣×2×2）＝2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．
8.（2020•绥化）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π﹣1
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．
故答案为π﹣1
考点： 正多边形与圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
10．（2021秋•大连期末）正六边形的边心距是，则它的面积是（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA•cos 30°，
∴OA＝＝2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝6××2×＝6．
故选：B．
11．（2021秋•中山区期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：B．
12．（2021·四川成都·中考真题）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
13．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：连接BD、AC，
∵四边形是正方形，且面积为18，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为；
故选C．
14．（2021秋•南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2，2 B．4，4 C．4，2 D．4，
【答案】B
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OC，OB，AB，AB与OC交于G，
则∠AOC＝＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝4cm，
即这个正六边形半径R为4cm；
∵△AOC是等边三角形，
同理△BOC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形ACBO是菱形，
∴AB⊥OC，∠CAG＝CAO＝30°，
∵AC＝4cm，
∴CG＝2cm，
∴AG＝＝2（cm），
∴a＝AB＝4（cm），
即a的值是4cm，
故选：B．
15．（2021秋•沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（ ）
A．2π B．π C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则的长＝＝π．
故选：B．
2.（2020•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
【答案】D
【解答】解：＝20πcm，
故选：D．
3.（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）
A． cm B．cm C．3cm D．cm
【答案】A
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr＝，
r＝cm．
故选：A．
4.（2020•港南区二模）现有一圆心角为90°，半径为12cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：＝2πR，
解得R＝3cm，
再利用勾股定理可知，
高＝3cm．
故选：C．
5.（2021•丹东）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．
则扇形FDE的面积是：＝．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（ASA），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．
则阴影部分的面积是：﹣．
故选：D．
6.（2021•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
【答案】B
【解答】解：∵S阴影＝S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆
＝S扇形ABA′
＝
＝2π．
故选：B．
7．（2021秋•自贡期末）如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OE，OC，过O作OH⊥CE于H，
在正六边形ABCDEF中，AF＝FE＝DE＝DC＝CB＝AB，
∴，
∴，
∴AE＝AC，
同理，AE＝CE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠OEH＝30°，
∵OE＝2，
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝2EH＝2，
∴阴影部分的面积＝3×S△OEC＝3，
故选：A．
8．（2021秋•宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（﹣2，﹣） D．（﹣，2）
【答案】A
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OBcos∠OBH＝×2＝，
∴B（﹣，1），
故选：A．
9.（2019•邓州市一模）如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】4﹣π
【解答】解：连接AD．
∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴∠C＝60°，AB＝4，
∵AD＝AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
10.（2021•乐山）如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【解答】解：连接CD、OC、OD，
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴CD∥AB，
∴△OCD，△PCD是等底等高的三角形，
阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积．
扇形OCD的面积＝＝．
所以，阴影部分的面积为．
1． （2021•德阳）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【解答】解：，解得r＝．
故答案为：．
2． （2020•西藏）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 ．
【答案】6
【解答】解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l＝，
即2π＝，
则扇形的半径R＝6．
故答案为：6
3．（2020•天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是 ．
【答案】4π
【解答】解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π，
则曲线CDEF的长是：++2π＝4π．
故答案为：4π．
4．（2021•台州）如图，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 （结果保留π）．
【答案】2π
【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′＝60°即旋转角为60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴点B转过的路径长是：＝2π．
故答案为：2π．
5．（2019•盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】B
【解答】解：的展直长度为：＝6π（m）．
故选：B．
6．（2019•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则S阴影＝（ ）
A．π B．2π C． D．π
【答案】D
【解答】解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝，
又∵∠CDB＝30°
∴∠COE＝60°，
∴OE＝1，OC＝2，
∴BE＝1，
∴S△BED＝S△OEC，
∴S阴影＝S扇形BOC＝＝．
故选：D．
7．（2019•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【答案】A
【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，
∴∠COD＝45°，
∴OC＝＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
＝×π×42﹣×（2）2
＝2π﹣4．
故选：A．
8．（2020•安顺）如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】3﹣π
【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
9．（2021•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】+
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
故答案为：+．
10．（2021•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】4π
【解答】解：∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，
∴BC＝2，AC＝2，∠A′BA＝120°，∠CBC′＝120°，
∴阴影部分面积＝（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC＝×（42﹣22）＝4πcm2．
故答案为：4π．
11．（2020•嘉兴）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长．
【答案】（1）略 （2）
【解答】解：
（1）如图．
（2）旋转过程中动点B所经过的路径为一段圆弧．
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．
又∵∠BAB1＝90°，
∴动点B所经过的路径长为：＝．
12．（2021•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴．
13．（2021•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）⊙O的半径为3
（2）阴影部分的面积为S阴影＝SRt△OBC﹣S扇形OCD＝OC•CB﹣π＝﹣π．
【解答】解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝×6＝3．（2分）
在Rt△AOC中，OC＝＝3，
∴⊙O的半径为3；（4分）
（2）∵OC＝，
∴∠B＝30°，∠COD＝60°（5分）
∴扇形OCD的面积为S扇形OCD＝＝π，（7分）
∴阴影部分的面积为S阴影＝SRt△OBC﹣S扇形OCD＝OC•CB﹣π＝﹣π．（8分）
1．（2021•陆良县一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴＝＝2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，
故选：C．
2．（2021•甘肃模拟）平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术的宝贵实物资料，图①是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，呈六角六面四级阶状尖顶塔，图②是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象为正六边形，则a的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
【答案】C
【解答】解：a的度数为＝60°，
故选：C．
3．（2021•闽侯县模拟）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：A．
4．（2021•凉山州模拟）西昌市“北环线“是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程，如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是的中点，OC与AB相交于点D．经测量AB＝120m，CD＝20m，那么这段弯道的半径为（ ）
A．100m B．90m C．100m D．90m
【答案】A
【解答】解：连接OA，
∵C是的中点，OC与AB相交于点D，
∴AB⊥OC，
∴AD＝AB，
∵AB＝120m，
∴AD＝×120＝60m，
设OA＝r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣CD，
∵CD＝20m，
∴OD＝r﹣20m，
在Rt△AOD中，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝602+（r﹣20）2，
解得r＝100m．
故选：A．
5．（2021•上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
6．（2022•贵阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分面积为（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF，
则BF＝BC＝4，
在Rt△ABF中，AB＝2、BF＝4，
∴∠AFB＝∠FBC＝30°，AF＝＝＝2，
则阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABF﹣S扇形BCF
＝2×4﹣﹣
＝8﹣2﹣π，
故选：A．
7．（2021•兴庆区校级三模）如图．已知扇形BOD，DE⊥OB于点E，若ED＝OE＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣8 C．4π﹣8 D．4π﹣2
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥OB于点E，ED＝OE＝4，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠BOD＝45°，
设扇形BOD的半径为r，
∴r＝OE＝4，
阴影部分的面积＝S扇形AOD﹣S△ODE＝﹣×4×4＝4π﹣8．
故选：C．
8．（2022•禅城区校级模拟）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”，是指云南以江鞭草、山锅盖草、斑茅草和嫩竹篾片、篾丝编织成锅盖，形似斗笠，用斗笠锅盖做饭煮菜，透气保温，做出来的饭菜清香可口．如图，斗笠锅盖可以近似看为一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为60cm，高度为40cm，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A．725πcm2 B．1500πcm2 C．300πcm2 D．600πcm2
【答案】B
【解答】解：∵斗笠锅盖的底面直径为60cm，
∴底面圆的半径为30cm，
∴圆锥的母线长为＝50（cm），
∴该斗笠锅盖的表面积＝×60π×50＝1500π（cm2）．
故选：B．
9．（2021•武汉模拟）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．m B．m C．m D．2m
【答案】B
【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°，
∴AB＝2m，
设圆锥的底面圆的半径为rm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
即圆锥的底面圆的半径为m．
故选：B．
9．（2021•金华模拟）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【解答】解：扇形的弧长＝＝10π，
设圆锥的底面半径为R，则2πR＝10π，
所以R＝5．
故选：B．
10．（2022•泉州模拟）如图，在正六边形ABCDE的内部以CD为边作正方形CDGT，连接BT，则tan∠ABT的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：由题意可知，∠BCD＝∠ABC＝＝120°，
∵∠TCD＝90°，
∴BCT＝120°﹣90°＝30°，
∵BC＝CT，
∴∠CBT＝＝75°，
∴∠ABT＝∠ABC﹣∠CBT＝120°﹣75°＝45°，
∴tan∠ABT＝tan45°＝1．
故选：D．
11．（2021•乌鲁木齐模拟）已知每个正方形网格中正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解答】解：观察图形可知，阴影部分的面积＝1×2﹣＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．（2021•康巴什一模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，∠OAC＝∠ACO＝30°．
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝60°，
又∵OA＝OD＝OB＝OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．
∴AB＝AD＝CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴OB＝OC＝AB＝AD＝DC＝2（cm）．
∴阴影部分的面积＝S梯形﹣S△ABC＝（2+4）×﹣×4×＝3﹣2＝．
故答案为．
考点三十一 与圆有关的计算
【命题趋势】
在中考中，圆有关的计算常以弧长，扇形面积，阴影部分面积，圆锥有关计算为主，占分值6分左右。
【中考考查重点】
一、弧长、扇形面积的有关计算
二、圆锥的有关计算
三、阴影部分面积的计算
考点：弧长，扇形与圆锥的有关计算
设的半径为R，圆心角所对弧长为l，
弧长公式：l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
1.（2020秋•涟源市期末）若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A． π B．π C．π D．3π
【答案】B
【解答】解：弧长l＝＝π，
故选：B
2.（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解答】解：弧长：＝4π（cm），
圆锥底面圆的半径：r＝＝2（cm）．
故选：C．
3.（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A．4cm B．cm C．2cm D．2cm
【答案】A
【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6cm，
可知扇形的弧长为＝4πcm，
即圆锥的底面圆周长为4πcm，
则底面圆半径为2cm，
已知OA＝6cm，
由勾股定理得圆锥的高是4cm．
故选：A．
4.（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
lAB＝＝＝πcm，
故点B所经过的路程为πcm．
故选：C
考点：阴影部分面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
5.（2019•太原）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．
故选：A．
6.（2021•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝2．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
＝
＝．
故选：A．
7.（2020•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 ．
【答案】2π﹣4
【解答】解：
由题意得，阴影部分面积＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）＝2（﹣×2×2）＝2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．
8.（2020•绥化）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π﹣1
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．
故答案为π﹣1
考点： 正多边形与圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
10．（2021秋•大连期末）正六边形的边心距是，则它的面积是（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA•cos 30°，
∴OA＝＝2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝6××2×＝6．
故选：B．
11．（2021秋•中山区期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：B．
12．（2021·四川成都·中考真题）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
13．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：连接BD、AC，
∵四边形是正方形，且面积为18，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为；
故选C．
14．（2021秋•南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2，2 B．4，4 C．4，2 D．4，
【答案】B
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OC，OB，AB，AB与OC交于G，
则∠AOC＝＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝4cm，
即这个正六边形半径R为4cm；
∵△AOC是等边三角形，
同理△BOC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形ACBO是菱形，
∴AB⊥OC，∠CAG＝CAO＝30°，
∵AC＝4cm，
∴CG＝2cm，
∴AG＝＝2（cm），
∴a＝AB＝4（cm），
即a的值是4cm，
故选：B．
15．（2021秋•沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（ ）
A．2π B．π C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则的长＝＝π．
故选：B．
2.（2020•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
【答案】D
【解答】解：＝20πcm，
故选：D．
3.（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）
A． cm B．cm C．3cm D．cm
【答案】A
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr＝，
r＝cm．
故选：A．
4.（2020•港南区二模）现有一圆心角为90°，半径为12cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：＝2πR，
解得R＝3cm，
再利用勾股定理可知，
高＝3cm．
故选：C．
5.（2021•丹东）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．
则扇形FDE的面积是：＝．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（ASA），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．
则阴影部分的面积是：﹣．
故选：D．
6.（2021•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
【答案】B
【解答】解：∵S阴影＝S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆
＝S扇形ABA′
＝
＝2π．
故选：B．
7．（2021秋•自贡期末）如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OE，OC，过O作OH⊥CE于H，
在正六边形ABCDEF中，AF＝FE＝DE＝DC＝CB＝AB，
∴，
∴，
∴AE＝AC，
同理，AE＝CE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠OEH＝30°，
∵OE＝2，
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝2EH＝2，
∴阴影部分的面积＝3×S△OEC＝3，
故选：A．
8．（2021秋•宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（﹣2，﹣） D．（﹣，2）
【答案】A
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OBcos∠OBH＝×2＝，
∴B（﹣，1），
故选：A．
9.（2019•邓州市一模）如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】4﹣π
【解答】解：连接AD．
∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴∠C＝60°，AB＝4，
∵AD＝AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
10.（2021•乐山）如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【解答】解：连接CD、OC、OD，
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴CD∥AB，
∴△OCD，△PCD是等底等高的三角形，
阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积．
扇形OCD的面积＝＝．
所以，阴影部分的面积为．
1． （2021•德阳）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【解答】解：，解得r＝．
故答案为：．
2． （2020•西藏）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 ．
【答案】6
【解答】解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l＝，
即2π＝，
则扇形的半径R＝6．
故答案为：6
3．（2020•天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是 ．
【答案】4π
【解答】解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π，
则曲线CDEF的长是：++2π＝4π．
故答案为：4π．
4．（2021•台州）如图，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为 （结果保留π）．
【答案】2π
【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′＝60°即旋转角为60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴点B转过的路径长是：＝2π．
故答案为：2π．
5．（2019•盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】B
【解答】解：的展直长度为：＝6π（m）．
故选：B．
6．（2019•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则S阴影＝（ ）
A．π B．2π C． D．π
【答案】D
【解答】解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝，
又∵∠CDB＝30°
∴∠COE＝60°，
∴OE＝1，OC＝2，
∴BE＝1，
∴S△BED＝S△OEC，
∴S阴影＝S扇形BOC＝＝．
故选：D．
7．（2019•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【答案】A
【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，
∴∠COD＝45°，
∴OC＝＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
＝×π×42﹣×（2）2
＝2π﹣4．
故选：A．
8．（2020•安顺）如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】3﹣π
【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
9．（2021•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】+
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
故答案为：+．
10．（2021•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】4π
【解答】解：∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，
∴BC＝2，AC＝2，∠A′BA＝120°，∠CBC′＝120°，
∴阴影部分面积＝（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC＝×（42﹣22）＝4πcm2．
故答案为：4π．
11．（2020•嘉兴）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长．
【答案】（1）略 （2）
【解答】解：
（1）如图．
（2）旋转过程中动点B所经过的路径为一段圆弧．
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．
又∵∠BAB1＝90°，
∴动点B所经过的路径长为：＝．
12．（2021•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴．
13．（2021•呼伦贝尔）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）⊙O的半径为3
（2）阴影部分的面积为S阴影＝SRt△OBC﹣S扇形OCD＝OC•CB﹣π＝﹣π．
【解答】解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝×6＝3．（2分）
在Rt△AOC中，OC＝＝3，
∴⊙O的半径为3；（4分）
（2）∵OC＝，
∴∠B＝30°，∠COD＝60°（5分）
∴扇形OCD的面积为S扇形OCD＝＝π，（7分）
∴阴影部分的面积为S阴影＝SRt△OBC﹣S扇形OCD＝OC•CB﹣π＝﹣π．（8分）
1．（2021•陆良县一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴＝＝2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，
故选：C．
2．（2021•甘肃模拟）平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术的宝贵实物资料，图①是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，呈六角六面四级阶状尖顶塔，图②是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象为正六边形，则a的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
【答案】C
【解答】解：a的度数为＝60°，
故选：C．
3．（2021•闽侯县模拟）如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：A．
4．（2021•凉山州模拟）西昌市“北环线“是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程，如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是的中点，OC与AB相交于点D．经测量AB＝120m，CD＝20m，那么这段弯道的半径为（ ）
A．100m B．90m C．100m D．90m
【答案】A
【解答】解：连接OA，
∵C是的中点，OC与AB相交于点D，
∴AB⊥OC，
∴AD＝AB，
∵AB＝120m，
∴AD＝×120＝60m，
设OA＝r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣CD，
∵CD＝20m，
∴OD＝r﹣20m，
在Rt△AOD中，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝602+（r﹣20）2，
解得r＝100m．
故选：A．
5．（2021•上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
6．（2022•贵阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分面积为（ ）（结果保留π）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF，
则BF＝BC＝4，
在Rt△ABF中，AB＝2、BF＝4，
∴∠AFB＝∠FBC＝30°，AF＝＝＝2，
则阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABF﹣S扇形BCF
＝2×4﹣﹣
＝8﹣2﹣π，
故选：A．
7．（2021•兴庆区校级三模）如图．已知扇形BOD，DE⊥OB于点E，若ED＝OE＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣8 C．4π﹣8 D．4π﹣2
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥OB于点E，ED＝OE＝4，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠BOD＝45°，
设扇形BOD的半径为r，
∴r＝OE＝4，
阴影部分的面积＝S扇形AOD﹣S△ODE＝﹣×4×4＝4π﹣8．
故选：C．
8．（2022•禅城区校级模拟）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”，是指云南以江鞭草、山锅盖草、斑茅草和嫩竹篾片、篾丝编织成锅盖，形似斗笠，用斗笠锅盖做饭煮菜，透气保温，做出来的饭菜清香可口．如图，斗笠锅盖可以近似看为一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为60cm，高度为40cm，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A．725πcm2 B．1500πcm2 C．300πcm2 D．600πcm2
【答案】B
【解答】解：∵斗笠锅盖的底面直径为60cm，
∴底面圆的半径为30cm，
∴圆锥的母线长为＝50（cm），
∴该斗笠锅盖的表面积＝×60π×50＝1500π（cm2）．
故选：B．
9．（2021•武汉模拟）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．m B．m C．m D．2m
【答案】B
【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°，
∴AB＝2m，
设圆锥的底面圆的半径为rm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
即圆锥的底面圆的半径为m．
故选：B．
9．（2021•金华模拟）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【解答】解：扇形的弧长＝＝10π，
设圆锥的底面半径为R，则2πR＝10π，
所以R＝5．
故选：B．
10．（2022•泉州模拟）如图，在正六边形ABCDE的内部以CD为边作正方形CDGT，连接BT，则tan∠ABT的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：由题意可知，∠BCD＝∠ABC＝＝120°，
∵∠TCD＝90°，
∴BCT＝120°﹣90°＝30°，
∵BC＝CT，
∴∠CBT＝＝75°，
∴∠ABT＝∠ABC﹣∠CBT＝120°﹣75°＝45°，
∴tan∠ABT＝tan45°＝1．
故选：D．
11．（2021•乌鲁木齐模拟）已知每个正方形网格中正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解答】解：观察图形可知，阴影部分的面积＝1×2﹣＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．（2021•康巴什一模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，∠OAC＝∠ACO＝30°．
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝60°，
又∵OA＝OD＝OB＝OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．
∴AB＝AD＝CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴OB＝OC＝AB＝AD＝DC＝2（cm）．
∴阴影部分的面积＝S梯形﹣S△ABC＝（2+4）×﹣×4×＝3﹣2＝．
故答案为．
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