初中数学中考复习 考点34 图形的对称、平移与位似（解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点34 图形的对称、平移与位似（解析版），共37页。
考点三十四 图形的对称、平移与位似
【命题趋势】
在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。

【中考考查重点】
一、轴对称图形与中心对称图形
二、图形的平移
三、图形的旋转
四、位似


考点：轴对称图形与轴对称

轴对称图形
轴对称
图
形


定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴


性
质
对应线段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
对应角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分

区
别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；
(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；
(2)只有一条对称轴

关
系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形

1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
1．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形
【答案】 B
【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（2021•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）

A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，

故选：B．


考点：图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．

4.（2021•金华）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离
为 　　cm．

【答案】2
【解答】解：如图，连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，BD⊥AC，
∵∠BAD＝60°，
∴三角形ABD是等边三角形，
∵菱形ABCD的边长为6cm，
∴AD＝AB＝BD＝6cm，
∴AG＝GC＝3（cm），
∴AC＝6（cm），
∵AA′＝2（cm），
∴A′C＝4（cm），
∵AD∥A′E，
∴＝，
∴＝，
∴A′E＝4（cm），
∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°，
∴EF＝A′E＝2（cm）．
故答案为：2．

考点：图形的旋转
1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
5．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
6．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】B
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
7．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．

【答案】（1）矩形AFHE是正方 （2）DH＝12+5＝17
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
考点：中心对称图形与中心对称

中心对称图形
中心对称
图
形


定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应线段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形

常见的中心对称图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.

8．（2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．

【答案】B
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
9．（2021•广安）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
故选：B．


考点：图形的位似

（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

10．（2021•东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）

A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【答案】A
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．

11．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

【答案】（1）略 （2）4+π．
【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．

（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．





1．（2021•渭南模拟）下列关于“健康防疫“标志的图中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2022•重庆模拟）在平面直角坐标系中，将点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点A1，再将A1向上平移1个单位得点A2，若点A2落在第三象限，则a的取值范围是（　　）
A．2＜a＜3 B．a＜3 C．a＞2 D．a＜2或a＞3
【答案】A
【解答】解：点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点A1，再将A1向上平移1个单位得点A2（a﹣3，1﹣a+1），
∵点A′位于第三象限，
∴，
解得：2＜a＜3，
故选：A．
3．（2021•烟台模拟）如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝99米，宽AD＝41米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　）

A．3783米2 B．3880米2 C．3920米2 D．4000米2
【答案】B
【解答】解：由题意得：
（99﹣2）×（41﹣1）
＝97×40
＝3880（平方米），
∴种植草坪面积为3880平方米，
故选：B．
4．（2022•贵阳模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）

A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB∥ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝2，
∴＝（）2＝4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1．
故选：C．
5．（2021•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣2，） C．（﹣2，） D．（﹣2，）
【答案】B
【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3×（﹣），﹣2×（﹣）]，即B′的坐标是（﹣2，）．
故选：B．
6．（2022•遵义模拟）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．

7．（2022•平凉模拟）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　）

A．36° B．144° C．108° D．126°
【答案】D
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
8．（2022•平凉模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝　　．

【答案】
【解答】解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC＝9，∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴BD＝．
故答案为：．

9．（2022•灞桥区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，当BD长最大时，△ABC的面积为　　．

【答案】
【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．

∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，
∵AD＝3，DE＝CD＝2，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5，
∴BD的最大值为5，
此时点D在AE上，
如图2，过点A作AF⊥BD于F，

∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝，AF＝DF＝，
∴BF＝，
∴AB2＝AF2+BF2＝19，
∴△ABC的面积＝AB2＝，
故答案为：．



1.（2021•枣庄）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2021•济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（　　）

A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
【答案】A
【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：A．
3．（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．不是轴对称图形，没有对称轴；
C．不是轴对称图形，没有对称轴；
D．是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：D．
4．（2021•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
5．（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　　）

A．（36）cm2 B．（36）cm2
C．24cm2 D．36cm2

【答案】A
【解答】解：根据翻折可知，
∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠PAC）＝180°＝90°，
∵∠α＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴AB＝＝6（cm），
AC＝＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝S长方形﹣S△ABC＝12×3﹣6×＝（36﹣6）（cm2），
故选：A．
6．（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　 　．

【答案】4a+2b
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
7．（2021•重庆）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为　 　．

【答案】5
【解答】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD＝DF，AE＝EF．
∵DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝（BF+CF）＝×（4+6）＝5．
∵AF＝EF，
∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC＝60°．
在Rt△AFC中，
∵tan∠FAC＝，
∴AF＝＝2．
∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝×5×2＝5．
故答案为：5．
8．（2021•天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD
【答案】D
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故选：D．
9．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 　 　．

【答案】（7，4）
【解答】解：作A'C⊥x轴于点C，

由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴点A'坐标为（7，4）．
故答案为：（7，4）．
10．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 　 　．

【答案】2﹣≤d≤1
【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，

如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OE＝1，
∵OP＝2，
∴d＝PE＝1；
如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OA＝，
∵OP＝2，
∴d＝PA＝2﹣；
∴d的取值范围为2﹣≤d≤1．
故答案为：2﹣≤d≤1．
11．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．

由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M＝，
∴AM＝＝，
∵S△ABB′＝＝，
∴××1＝•BN×3，则BN＝，
∴AN＝＝＝，
∵AB∥DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴＝＝＝，
设CG＝a，则EG＝a，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴＝＝＝，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴＝，解得a＝．
∴CG＝，EG＝，
∴EC＝＝＝．
故答案为：．
法二、如图，连接DD'，
由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′＝，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，
∴DC′＝，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，
设CE＝x，B'E＝y，
∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，
∴x＝．
故答案为：．
法三、构造相似，如图，延长B′C到点G，使B′G＝B′E，连接EG，

∴∠B′EG＝∠B′GE，
由旋转可知，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠EB′G，
∴∠B＝∠G，
又AB∥CD，
∴∠ECG＝∠B＝∠G，
∴△ABB′∽△B′EG∽△ECG，
∴，
设CG＝m，
∴EC＝3m，
∴B′G＝3+m，
∴，
解得m＝，
∴3m＝．
故答案为：．
解法四：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，

∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B，
由∵∠AB′C′＝∠B，
由三角形内角和可知，∠FB′C＝∠BAB′，
∵AB′∥FC，
∴∠B′CF＝∠AB′B，
由∵AB＝3，BB′＝1，BC＝4，
∴AB＝B′C，
∴△ABB′≌△B′CF，
∴FC＝B′B＝1，
由旋转可知，△ABB′∽△ADD′，
∴，
∴DD′＝
∴C′D＝，
又由CF∥C′D，
∴△C′DE∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴，
∴EC＝．
故答案为：．


12．（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．

【答案】（1） ＝＝． （2）BF＝3
【解答】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴＝＝＝，
∴＝＝．
解法二：证明△ABP和△DAE相似，＝＝．

（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x

∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝＝＝＝，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝3．


1．（2022•碑林区校级一模）下列几何图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．角 B．等边三角形 C．扇形 D．平行四边形
【答案】D
【解答】解：A．角不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等边三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．扇形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2021•历下区校级模拟）如图，点A，B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（　　）

A．（5，2） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3）
【答案】B
【解答】解：∵B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵DB＝1，
∴OD＝4﹣1＝3，
∴△AOB向右平移了3个单位长度，
∵点A的坐标为（1，2），
∴点C的坐标为：（4，2）．
故选：B．
3．（2021•开封一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四边形A1B1C1D1，已知A1（﹣3，5），B1（﹣4，3），A（3，3），则点B坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
【答案】B
【解答】解：由题意A1（﹣3，5）向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到A（3，3），
∴B1（﹣4，3）向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到B（2，1），
故选：B．
4．（2021•市南区校级一模）已知平面直角坐标系中两点A（﹣1，0）、B（1，2），连接AB，平移线段AB得到线段A1B1，若A点对应的点是A1（2，﹣1），则B点对应的点是B1的坐标为（　　）
A．（4，3） B．（﹣2，3） C．（4，1） D．（﹣2，1）
【答案】C
【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A1的坐标为（2，﹣1），
∴A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B（1，2）平移后的坐标是：（4，1）．
故选：C．
5．（2021•河北模拟）如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【解答】解：如图，由平移的性质得，AD∥BE，AD∥CF，BE∥CF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，共六对．

故选：D．
6．（2021•鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，6）
【答案】B
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，A（6，3），
∴点C的坐标为（6×，3×），即（2，1），
故选：B．
7．（2021•孝义市二模）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA＝2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（　　）

A． B．S C．S D．S
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以O为位似中心位似图形，OA＝2OD，
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，
∴＝22＝4，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积S，
故选：C．
8．（2021•荔湾区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵BC＝6，E是BC的中点，
∴BE＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴tan∠ECF＝tan∠AEB＝，
故选：A．
9．（2022•安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】D
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CE，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+＝，

故选：D．
10．（2022•重庆模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交BC于点E、F．
（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．
（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出的值．

【答案】（1） 略 （2）略 （3）
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，点O为斜边BC的中点，
∴BO＝AO＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠OED＝∠OBA，∠ODE＝∠OAB，∠ODF＝∠OAC，∠OFD＝∠OCA，
∴∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，
∴EO＝DO，FO＝DO，
∴EO＝FO，
∴点O是线段EF的中点；
（2）AD＝CF，理由如下：
∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴OD＝OF，∠AOD＝∠COF，
又∵AO＝CO，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
（3）如图1，旋转前，∵DE∥AB，
∴，
∴，
如图3，旋转后，∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD∽△BOE，
∴＝，
如图3，过点A作AH⊥BC于H，

设AC＝2x，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝60°，BC＝4x，
∵AH⊥BC，
∴∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝x，AH＝CH＝x，
∵点O是斜边BC的三等分点，
∴BO＝x，CO＝，
∴OH＝，
∴AO＝＝＝x，
∴＝＝．