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初中数学中考复习 模拟卷02-解封2020中考数学十套权威冲刺模拟卷（150分制）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 模拟卷02-解封2020中考数学十套权威冲刺模拟卷（150分制）（解析版），共16页。
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1. 全卷共三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟；
2. 一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答视为无效；
3. 不能使用科学计算器.
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2020•镇江模拟）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b=5ab B．3a﹣2a=1
C．a6÷a2=a3 D．（﹣a3b）2=a6b2
【解析】A、3a+2b，无法计算，故此选项错误；
B、3a﹣2a=a，故此选项错误；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、（﹣a3b）2=a6b2，正确．
故选：D．
2．（2020•新华区校级二模）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α=∠β的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【解析】A图形中，根据同角的余角相等可得∠α=∠β；
B图形中，∠α＞∠β，C图形中，∠α＜∠β，D图形中，∠α=∠β=45°．
所以∠α=∠β的是①④．
故选：C．
3．（2020•新华区校级二模）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【解析】依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
4．（2020•新华区校级二模）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A、不能折叠成正方体，故选项错误；
B、不能折成圆锥，故选项错误；
C、能折成圆柱，故选项正确；
D、不能折成三棱柱，故选项错误．
故选：C．
5．（2020•镇江模拟）已知方程x2﹣6x+q=0配方后是（x﹣p）2=7，那么方程x2+6x+q=0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2=5 B．（x+p）2=5 C．（x﹣p）2=9 D．（x+p）2=7
【解析】∵方程x2﹣6x+q=0配方后是（x﹣p）2=7，
∴x2﹣2px+p2=7，
∴﹣6=﹣2p，
解的：p=3，
即（x﹣3）2=7，
∴x2﹣6x+9﹣7=0，
∴q=2，
即（x+3）2=7，
即（x+p）2=7，
故选：D．
6．（2017•郑州一模）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（ ）
A．10 B．20 C．12 D．24
【解析】∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选：A．
7．（2020•拱墅区校级一模）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
【解析】设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：
+=1．
故选：D．
8．（2020•天台县模拟）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE=1：2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【解析】∵CD∥AB
∴△ABE∽△CDE
又∵AE：CE=1：2
∴=
∵S△ABE=4
∴S△CDE=16
∵AE：CE=1：2
∴CE=2AE
∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等
∴S△BCE=2S△ABE
∵S△ABE=4
∴S△BCE=2×4=8
∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24
故选：C．
9．（2020•天台县模拟）如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【解析】连接DC，交AB于点E，
由题意可得：∠AFC=30°，DC⊥AF，
设EC=x，则EF==x，
故BF=2EF=2x，
则tan∠ABC====．
故选：A．
10．（2017•泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，
故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（2020•镇江模拟）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为 8 ．
【解析】∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得a=8，b=4，
则新数据3，8，8，5，8，6，4，
众数为8，
故答案为8．
12．（2020•雁塔区校级二模）若正六边形的边长为3，则其面积为 9 ．
【解析】∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴OG=OA•cos30°=3×=，
∴S△OAB=×AB×OG=×3×=，
∴S六边形=6S△OAB=6×=9．
故答案为：9．
13．（2020•镇江模拟）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC=2，则线段B1D的长度为 3 ．
【解析】根据旋转的性质可知：AC=AC1，∠AC1B1=∠C=60°，
∵旋转角是60°，即∠C1AC=60°，
∴△ACC1为等边三角形，
∴BC1=CC1=AC=2，
∵C1为BC的中点，
∴BC1=AC1=2=AC1，
∴∠B=∠C1AB=30°，
∴∠BDC1=∠C1AB+∠AC1B1=90°，
∴BC1=2C1D，
∴C1D=1
∴BC=B1C1=BC1+CC1=4，
∴B1D=3，
故答案为：3．
14．（2020•江苏模拟）已知反比例函数y=的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 n＜﹣3 ．
【解析】∵反比例函数y=的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大，
∴n+3＜0，
解得：n＜﹣3．
故答案为：n＜﹣3．
15．（2019•郯城县一模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 4﹣4 ．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，
∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
∴OF==4，
∴EF=4﹣4，
∴PD+PE的长度最小值为4﹣4，
故答案为：4﹣4．
三．解答题（共10小题，共100分）
16．（2020•新华区校级二模）（1）计算2﹣3﹣5+（﹣3）
（2）某同学做一道数学题：“两个多项式A、B，B=3x2﹣2x﹣6，试求A+B”，这位同学把“A+B”看成“A﹣B”，结果求出答案是﹣8x2+7x+10，那么A+B的正确答案是多少？
【解析】（1）原式=2﹣3﹣3﹣5
=﹣1﹣9
=﹣10；
（2）∵A﹣B=﹣8x2+7x+10，B=3x2﹣2x﹣6，
∴A=（﹣8x2+7x+10）+（3x2﹣2x﹣6）
=﹣5x2+5x+4，
∴A+B=（﹣5x2+5x+4）+（3x2﹣2x﹣6）
=﹣2x2+3x﹣2．
17．（2020•镇江模拟）为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：
组别
次数x
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
12
第4组
140≤x＜160
a
第5组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？
【解析】（1）频数之和等于总数哦，
∴a=50﹣6﹣8﹣12﹣6=18．
（2）由（1）得a=18，
所作图形如下：
（3）抽样调查中不合格的频率为：，
估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）
答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．
18．（2019秋•汶上县期末）2019年9月30日，由著名导演李仁港执导的电影《攀登者》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用模球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出随机摸球所有可能的结果；
（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率，并判断这种游戏规则对两人公平吗？
【解析】（1）画树状图如下：
两数和的所有可能结果为：2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7，8共16种．
（2）因为两次数字之和大于5的结果数为6，
所以小亮获胜的概率==，
因为两次数字之和小于5的结果数为6，
所以小丽获胜的概率==，
所以此游戏是公平的．
19．（2020春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．
【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=DF=1，FH=DH，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=+1．
20．（2019秋•杏花岭区校级期末）百姓商场以每件80元的价格购进某品牌衬衫共500件，加价50%后标价销售，在“庆元旦，迎新春”期间，商场计划降价销售．请根据商场的盈利需求，解答下列问题：
（1）如果商场按降价后的价格售完这批衬衫，仍可盈利20%，求应按几折销售；
（2）请从A，B两题中任选一题作答．
A．如果商场先按标价售出400件后再降价，那么剩余的衬衫按几折销售，才能使售完这批衬衫后盈利35%；
B．如果商场先按标价的九折销售300件，但为了尽快销售完，将剩余数量衬衫在九折的基础上每购买一件再送打车费．求购买一件送多少元打车费，售完这批衬衫后可盈利25%．
【解析】（1）设应按x折销售，则
80×（1+50%）×0.1x﹣80=80×20%
解得x=8
答：应按8折销售；
（2）A、设剩余的衬衫按a折销售，
由题意，得80×（1+50%）×400+80×（1+50%）×0.1a×（500﹣400）﹣80×500=80×35%×500．
解得a=5．
答：剩余的衬衫按5折销售，才能使售完这批衬衫后盈利35%；
B、设购买一件送b元打车费，
由题意，得80×（1+50%）×0.9×500﹣（500﹣300）b﹣80×500=80×25%×500
解得b=20
答：购买一件送20元打车费，售完这批衬衫后可盈利25%．
21．（2020•雁塔区校级二模）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；
③计算树的高度AB；
【解析】设AB=x米，BC=y米．
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴=，
∴=，
∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴=，
∴=，
∴=，
解得：y=20，
把y=20代入=中，得x=15，
∴树的高度AB为15米．
22．（2020•武侯区校级模拟）已知一次函数y1=kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，A（3，0），一次函数与反比例函数y2=﹣的图象分别交于C、D两点．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
【解析】（1）把A（3，0）代入y1=kx﹣（2k+1）中得，3k﹣（2k+1）=0，
解得：k=1，
∴一次函数的解析式为：y1=x﹣3，反比例函数解析式为：y2=﹣；
（2）解得，，，
∴C（1，﹣2），D（2，﹣1）；
∵A（3，0），B（0，﹣3），
∴△OCD的面积=S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOD=﹣﹣=；
（3）∵C（1，﹣2），D（2，﹣1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞2．
23．（2019•楚雄州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF=2，AE=EF=，求OA的长．
【解析】（1）连接OE，
∴∠AOE=2∠ACE，
∵∠B=2∠ACE，
∴∠AOE=∠B，
∵∠P=∠BAC，
∴∠ACB=∠OEP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OEP=90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE，
∴△AEF∽△AOE，
∴，
∵AF=2，AE=EF=，
∴OA=5．
24．（2019•定州市二模）（1）问题发现
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系；
（2）拓展探究
如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转个锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线CF于点G．当AB=3，AD=，θ=45°时，直接写出线段BG的长．
【解析】（1）BD=CF，BD⊥CF，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∴BD=CF，BD⊥CF；
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
延长BD，分别交直线AC、CF于点M，G，如图2，
∵△BAD≌△CAF，
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF；
（3）由旋转和正方形的性质可得：当θ=45°时，点E恰好落在AC上，
∵AD=，
∴AE=2，
设BG交AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图3，则AN=FN=AE=1，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=3，
∴CN=AC﹣AN=2，BC=，
在Rt△FCN中，tan∠FCN=，
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
CM=AC﹣AM=，BM=，
∵△BMA∽△CMG，
∴，
∴，
∴CG=，
∴在Rt△BGC中，BG=．
25．（2019•无锡一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．
【解析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y=﹣x2﹣2x+3…①，
函数的对称轴为：x=﹣=﹣1，
则点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，则其表达式为：y=mx+3，
将点A的坐标代入上式得：0=﹣3m+3，解得：m=1，
则直线AD的表达式为：y=x+3，
CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，
设直线CE的表达式为：y=x+n，
将点C的坐标代入上式得：4=﹣1+n，解得：n=5，
则直线CE的表达式为：y=x+5…②，
则点H的坐标为（0，5），
联立①②并解得：x=﹣1或﹣2（x=1为点C的横坐标），
即点E的坐标为（﹣2，3）；
在y轴取一点H′，使DH=DH′=2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的表达式为：y=x+1…③，
联立①③并解得：x=，
则点E″、E′的坐标分别为（，）、（，），
点E的坐标为：（﹣2，3）或（，）或（，）；
（3）设：点P的坐标为（m，n），n=﹣m2﹣2m+3，
把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，
即直线CD的表达式为：y=﹣x+3…④，
直线AD的表达式为：y=x+3，
直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为﹣1，故AD⊥CD，
而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同，
同理可得直线PQ表达式为：y=x+（n﹣m）…⑤，
联立④⑤并解得：x=，即点Q的坐标为（，），
则：PQ2=（m﹣）2+（n﹣）==（m+1）2•m2，
同理可得：PC2=（m+1）2[1+（m+1）2]，
AH=2，CH=4，则AC=2，
当△ACH∽△CPQ时，
==，即：4PC2=5PQ2，
整理得：3m2+16m+16=0，解得：m=﹣4或﹣，
点P的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣，）；
当△ACH∽△PCQ时，
同理可得：点P的坐标为（﹣，）或（2，﹣5），
故：点P的坐标为：（﹣4，﹣5）或（﹣，）或（﹣，）或（2，﹣5）．
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1. 全卷共三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟；
2. 一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答视为无效；
3. 不能使用科学计算器.
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2020•镇江模拟）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b=5ab B．3a﹣2a=1
C．a6÷a2=a3 D．（﹣a3b）2=a6b2
【解析】A、3a+2b，无法计算，故此选项错误；
B、3a﹣2a=a，故此选项错误；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、（﹣a3b）2=a6b2，正确．
故选：D．
2．（2020•新华区校级二模）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α=∠β的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【解析】A图形中，根据同角的余角相等可得∠α=∠β；
B图形中，∠α＞∠β，C图形中，∠α＜∠β，D图形中，∠α=∠β=45°．
所以∠α=∠β的是①④．
故选：C．
3．（2020•新华区校级二模）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【解析】依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
4．（2020•新华区校级二模）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A、不能折叠成正方体，故选项错误；
B、不能折成圆锥，故选项错误；
C、能折成圆柱，故选项正确；
D、不能折成三棱柱，故选项错误．
故选：C．
5．（2020•镇江模拟）已知方程x2﹣6x+q=0配方后是（x﹣p）2=7，那么方程x2+6x+q=0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2=5 B．（x+p）2=5 C．（x﹣p）2=9 D．（x+p）2=7
【解析】∵方程x2﹣6x+q=0配方后是（x﹣p）2=7，
∴x2﹣2px+p2=7，
∴﹣6=﹣2p，
解的：p=3，
即（x﹣3）2=7，
∴x2﹣6x+9﹣7=0，
∴q=2，
即（x+3）2=7，
即（x+p）2=7，
故选：D．
6．（2017•郑州一模）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（ ）
A．10 B．20 C．12 D．24
【解析】∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选：A．
7．（2020•拱墅区校级一模）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
【解析】设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：
+=1．
故选：D．
8．（2020•天台县模拟）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE=1：2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【解析】∵CD∥AB
∴△ABE∽△CDE
又∵AE：CE=1：2
∴=
∵S△ABE=4
∴S△CDE=16
∵AE：CE=1：2
∴CE=2AE
∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等
∴S△BCE=2S△ABE
∵S△ABE=4
∴S△BCE=2×4=8
∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24
故选：C．
9．（2020•天台县模拟）如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【解析】连接DC，交AB于点E，
由题意可得：∠AFC=30°，DC⊥AF，
设EC=x，则EF==x，
故BF=2EF=2x，
则tan∠ABC====．
故选：A．
10．（2017•泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，
故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（2020•镇江模拟）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为 8 ．
【解析】∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得a=8，b=4，
则新数据3，8，8，5，8，6，4，
众数为8，
故答案为8．
12．（2020•雁塔区校级二模）若正六边形的边长为3，则其面积为 9 ．
【解析】∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴OG=OA•cos30°=3×=，
∴S△OAB=×AB×OG=×3×=，
∴S六边形=6S△OAB=6×=9．
故答案为：9．
13．（2020•镇江模拟）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC=2，则线段B1D的长度为 3 ．
【解析】根据旋转的性质可知：AC=AC1，∠AC1B1=∠C=60°，
∵旋转角是60°，即∠C1AC=60°，
∴△ACC1为等边三角形，
∴BC1=CC1=AC=2，
∵C1为BC的中点，
∴BC1=AC1=2=AC1，
∴∠B=∠C1AB=30°，
∴∠BDC1=∠C1AB+∠AC1B1=90°，
∴BC1=2C1D，
∴C1D=1
∴BC=B1C1=BC1+CC1=4，
∴B1D=3，
故答案为：3．
14．（2020•江苏模拟）已知反比例函数y=的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 n＜﹣3 ．
【解析】∵反比例函数y=的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大，
∴n+3＜0，
解得：n＜﹣3．
故答案为：n＜﹣3．
15．（2019•郯城县一模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 4﹣4 ．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，
∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
∴OF==4，
∴EF=4﹣4，
∴PD+PE的长度最小值为4﹣4，
故答案为：4﹣4．
三．解答题（共10小题，共100分）
16．（2020•新华区校级二模）（1）计算2﹣3﹣5+（﹣3）
（2）某同学做一道数学题：“两个多项式A、B，B=3x2﹣2x﹣6，试求A+B”，这位同学把“A+B”看成“A﹣B”，结果求出答案是﹣8x2+7x+10，那么A+B的正确答案是多少？
【解析】（1）原式=2﹣3﹣3﹣5
=﹣1﹣9
=﹣10；
（2）∵A﹣B=﹣8x2+7x+10，B=3x2﹣2x﹣6，
∴A=（﹣8x2+7x+10）+（3x2﹣2x﹣6）
=﹣5x2+5x+4，
∴A+B=（﹣5x2+5x+4）+（3x2﹣2x﹣6）
=﹣2x2+3x﹣2．
17．（2020•镇江模拟）为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：
组别
次数x
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
12
第4组
140≤x＜160
a
第5组
160≤x＜180
6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？
【解析】（1）频数之和等于总数哦，
∴a=50﹣6﹣8﹣12﹣6=18．
（2）由（1）得a=18，
所作图形如下：
（3）抽样调查中不合格的频率为：，
估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）
答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．
18．（2019秋•汶上县期末）2019年9月30日，由著名导演李仁港执导的电影《攀登者》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用模球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出随机摸球所有可能的结果；
（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率，并判断这种游戏规则对两人公平吗？
【解析】（1）画树状图如下：
两数和的所有可能结果为：2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7，8共16种．
（2）因为两次数字之和大于5的结果数为6，
所以小亮获胜的概率==，
因为两次数字之和小于5的结果数为6，
所以小丽获胜的概率==，
所以此游戏是公平的．
19．（2020春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．
【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=DF=1，FH=DH，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=+1．
20．（2019秋•杏花岭区校级期末）百姓商场以每件80元的价格购进某品牌衬衫共500件，加价50%后标价销售，在“庆元旦，迎新春”期间，商场计划降价销售．请根据商场的盈利需求，解答下列问题：
（1）如果商场按降价后的价格售完这批衬衫，仍可盈利20%，求应按几折销售；
（2）请从A，B两题中任选一题作答．
A．如果商场先按标价售出400件后再降价，那么剩余的衬衫按几折销售，才能使售完这批衬衫后盈利35%；
B．如果商场先按标价的九折销售300件，但为了尽快销售完，将剩余数量衬衫在九折的基础上每购买一件再送打车费．求购买一件送多少元打车费，售完这批衬衫后可盈利25%．
【解析】（1）设应按x折销售，则
80×（1+50%）×0.1x﹣80=80×20%
解得x=8
答：应按8折销售；
（2）A、设剩余的衬衫按a折销售，
由题意，得80×（1+50%）×400+80×（1+50%）×0.1a×（500﹣400）﹣80×500=80×35%×500．
解得a=5．
答：剩余的衬衫按5折销售，才能使售完这批衬衫后盈利35%；
B、设购买一件送b元打车费，
由题意，得80×（1+50%）×0.9×500﹣（500﹣300）b﹣80×500=80×25%×500
解得b=20
答：购买一件送20元打车费，售完这批衬衫后可盈利25%．
21．（2020•雁塔区校级二模）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；
③计算树的高度AB；
【解析】设AB=x米，BC=y米．
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴=，
∴=，
∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴=，
∴=，
∴=，
解得：y=20，
把y=20代入=中，得x=15，
∴树的高度AB为15米．
22．（2020•武侯区校级模拟）已知一次函数y1=kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，A（3，0），一次函数与反比例函数y2=﹣的图象分别交于C、D两点．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
【解析】（1）把A（3，0）代入y1=kx﹣（2k+1）中得，3k﹣（2k+1）=0，
解得：k=1，
∴一次函数的解析式为：y1=x﹣3，反比例函数解析式为：y2=﹣；
（2）解得，，，
∴C（1，﹣2），D（2，﹣1）；
∵A（3，0），B（0，﹣3），
∴△OCD的面积=S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOD=﹣﹣=；
（3）∵C（1，﹣2），D（2，﹣1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞2．
23．（2019•楚雄州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF=2，AE=EF=，求OA的长．
【解析】（1）连接OE，
∴∠AOE=2∠ACE，
∵∠B=2∠ACE，
∴∠AOE=∠B，
∵∠P=∠BAC，
∴∠ACB=∠OEP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OEP=90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE，
∴△AEF∽△AOE，
∴，
∵AF=2，AE=EF=，
∴OA=5．
24．（2019•定州市二模）（1）问题发现
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系；
（2）拓展探究
如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转个锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线CF于点G．当AB=3，AD=，θ=45°时，直接写出线段BG的长．
【解析】（1）BD=CF，BD⊥CF，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∴BD=CF，BD⊥CF；
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
延长BD，分别交直线AC、CF于点M，G，如图2，
∵△BAD≌△CAF，
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF；
（3）由旋转和正方形的性质可得：当θ=45°时，点E恰好落在AC上，
∵AD=，
∴AE=2，
设BG交AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图3，则AN=FN=AE=1，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=3，
∴CN=AC﹣AN=2，BC=，
在Rt△FCN中，tan∠FCN=，
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
CM=AC﹣AM=，BM=，
∵△BMA∽△CMG，
∴，
∴，
∴CG=，
∴在Rt△BGC中，BG=．
25．（2019•无锡一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．
【解析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y=﹣x2﹣2x+3…①，
函数的对称轴为：x=﹣=﹣1，
则点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，则其表达式为：y=mx+3，
将点A的坐标代入上式得：0=﹣3m+3，解得：m=1，
则直线AD的表达式为：y=x+3，
CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，
设直线CE的表达式为：y=x+n，
将点C的坐标代入上式得：4=﹣1+n，解得：n=5，
则直线CE的表达式为：y=x+5…②，
则点H的坐标为（0，5），
联立①②并解得：x=﹣1或﹣2（x=1为点C的横坐标），
即点E的坐标为（﹣2，3）；
在y轴取一点H′，使DH=DH′=2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的表达式为：y=x+1…③，
联立①③并解得：x=，
则点E″、E′的坐标分别为（，）、（，），
点E的坐标为：（﹣2，3）或（，）或（，）；
（3）设：点P的坐标为（m，n），n=﹣m2﹣2m+3，
把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，
即直线CD的表达式为：y=﹣x+3…④，
直线AD的表达式为：y=x+3，
直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为﹣1，故AD⊥CD，
而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同，
同理可得直线PQ表达式为：y=x+（n﹣m）…⑤，
联立④⑤并解得：x=，即点Q的坐标为（，），
则：PQ2=（m﹣）2+（n﹣）==（m+1）2•m2，
同理可得：PC2=（m+1）2[1+（m+1）2]，
AH=2，CH=4，则AC=2，
当△ACH∽△CPQ时，
==，即：4PC2=5PQ2，
整理得：3m2+16m+16=0，解得：m=﹣4或﹣，
点P的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣，）；
当△ACH∽△PCQ时，
同理可得：点P的坐标为（﹣，）或（2，﹣5），
故：点P的坐标为：（﹣4，﹣5）或（﹣，）或（﹣，）或（2，﹣5）．
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