初中数学中考复习 题型10 二次函数的综合应用题（解析版）

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备战2020年中考数学十大题型专练卷
题型10 二次函数的综合应用题
一、解答题
1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐标为：或或或.
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，
即：则，

设点P坐标为、则点，

，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3），
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得或0或4（舍去0），
则点P坐标为或或；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为，
设点P坐标为、则点，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，
解得：或（舍去0），
故点；
故点P的坐标为：或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．已知二次函数的图象过点，点（与0不重合）是图象上的一点，直线过点且平行于轴．于点，点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点在线段的中垂线上；
（3）设直线交二次函数的图象于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；
（4）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）点在以线段为直径的圆上
【分析】（1）把点代入函数表达式，即可求解；
（2），即，又,即可求解；
（3）证明≌、≌，即，即，即可求解；
（4）在中，由（3）知平分，平分，
则，即可求解．
【详解】解：（1）∵的图象过点，
∴，即，∴；
（2）设二次函数的图象上的点，则，

，即，，
又，
即，
∴点在线段的中垂线上；
（3）连接，
∵在线段的中垂线上，
∴，
又∵，，
∴≌，
∴，
∴，
连接，又在和中，
∵在的图象上，由（2）结论知∴，
∵，
∴≌，
即，
即，
∴；
（4）在中，由（3）知平分，平分，
∴，
∴点在以线段为直径的圆上．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明≌、≌R是本题解题的关键．
3．如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,
①求DE的最大值.
②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？

【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或；（3）①当时，最大值为4，②当或时，四边形MDNF为矩形.

【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1．
（2）由∠POB=∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．
（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d=m+2时，DE=4，所以MN=8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）
∴设交点式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，点C在y轴负半轴
∴C（0，-3）
把点C代入抛物线解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H

∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH


∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，
∴△ABG是等腰直角三角形



∴OH=2PH
设P（p，-p2-4p-3）
①当p＜-3或-1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）
解得：
或
②当-3＜p＜-1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号
∴p=2（p2+4p+3）
解得：p1=-2，p2=-
∴P（-2，1）或
综上所述，点P的坐标为或或或；
（3）①如图2，

∵x=m+4时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35
∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）
设直线MN解析式为y=kx+n
∴
 解得：
∴直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3
设D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4）
∵DE∥y轴
∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）
∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4
∴当t=m+2时，DE的最大值为4．
②如图3，

∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF，且MN与DF互相平分
∴DE= MN，E为MN中点

由①得当d=m+2时，DE=4
∴MN=2DE=8
∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82
解得：
∴m的值为或时，四边形MDNF为矩形．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．
4．如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得，，
解得a=-1，c=3，
∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，

将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，
得，，
解得，k=1，b=1，
∴yAB=x+1，
设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK=-a2+2a+3-（a+1）
=-（a-）2+，
根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=MK•AH+MK•（xB-xH）
=MK•（xB-xA）
=××3
=，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；
（3）存在点F，
∵y=-x2+2x+3
=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，

抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF=BN=-3=，CF=CH=，
由题意可列：，
解得，a=，
∴F（1，）．
【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，﹣6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值.
【详解】（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M'，作点N关于y轴的对称点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'=
∴四边形MNGF周长最小值为12.

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为.
过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q
∵D（2，﹣6）
∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧

∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t
∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQ•xP+PQ•（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQ•xD＝PQ＝﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S△ODP＝OD•h
∴﹣t2+t＝×2×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧

∴PQ＝yP﹣yQ＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQ•xP﹣PQ•（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQ•xD＝PQ＝t2﹣t
∴t2﹣t＝×2×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为.
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，-6）
连接AC，交KL于点H

∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴==1，
∴AH＝CH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点
∴H（4，﹣3）
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度.
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明.
6．如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过两点，且交轴于另一点，连接．
（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）点；（3）点的坐标为：或或．
【分析】（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；
（2）PH=PGcosα=,即可求解；
（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1），令，则，令，则，
故点的坐标分别为、，
抛物线的对称轴为，则点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）过点作轴的平行线交于点，作于点，

将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：，
则，，则，
设点，则点，
则
∵，故有最小值，此时，
则点；
（3）①当点在轴上方时，
则点为顶点的三角形与全等，此时点与点关于函数对称轴对称，
则点；
②当点在轴下方时，
为顶点的三角形与相似，则，

当时，
直线BC表达式的值为，则直线表达式的值为，
设直线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：
直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或﹣8（舍去6），
故点坐标为（舍去）；
当时，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③并解得：或﹣10（舍去6），
故点坐标为，
由点的对称性，另外一个点的坐标为；
综上，点的坐标为：或 或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，Q的坐标（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
【分析】（1）先确定点F的位置，可设点N（m，m2-2m-3），则点F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根据二次函数的性质得m= 时，NF取到最大值，此时HF=2， F（2，-2），在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J，交y轴于点P，，直线KC的解析式为： ，从而得到直线FJ 的解析式为：联立解出点J（ ,
）得FP+PC的最小值即为FJ的长，且, 最后得出 ;（2）由题意可得出点Q（0，-2），A2=，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ的中点G，连接OG，则OG=GQ=AQ=，此时，∠AQ0=∠GOQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0°<<360°），得到△A'OQ'，其中边A’Q’交坐标轴于点G，则用0G=GQ’，分四种情况求解即可.
【详解】解：（1）如图1

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：
∴点J（ , ）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且
∴；
（2）由（1）知，点P（0， ），
∵把点P向上平移 个单位得到点Q
∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝
∴，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）
综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．已知抛物线的对称轴为直线，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点
（1）求，的值；
（2）直线与轴交于点．
①如图1，若∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线的对称点为，求四边形面积的最大值；
②如图2，若直线与线段相交于点，当∽时，求直线的表达式．

【答案】（1）；（2）①四边形的面积最大值为；②
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；
（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设，，则，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；
（3）当△PCQ∽△CAP时，可得，，作于点，设，可求出PH、CH的长，得到P点坐标，即可得出函数解析式．
【详解】解：（1）由题意可得： ，
解得；
（2）①由题可知，
∴，
令，解得：,
∴，
∴：
设，则
∴
∴，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为.
②由（1）可知
由∽可得
∴，
∴，
由，可得
∴，
作于点，设，则，
∴，，
∴，即
解得，
∴
∴：.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
9．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）①②2③
【分析】（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.
（2）①由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0≤m≤4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.
②当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离
③由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.
【详解】解：（1）根据题意得：,，
在中
，且,
∴，
,将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，

设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,
即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2,4），Q（4,0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，

联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.
【点睛】本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.
10．如图1，已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，和的面积分别为，求的最大值．
【答案】（1），顶点C的坐标为-（-1,4）；（2）；（3）的最大值为.
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入即可求得二次函数的解析式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在中，可求得，推出，可证，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；
（3）设代入，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由，可推出，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．
【详解】解：（1）由题意把点代入，
得，，
解得，


∴此抛物线解析式为：，顶点C的坐标为
（2）∵抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为直线，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则，
在中，，
，

∴当时，

如图1，当点D在对称轴左侧时，

，

，
，
，
，

当点D在对称轴右侧时，点D关于直线的对称点D'的坐标为，
∴点D的坐标为或；
（3）设，
将代入，
得，，
解得，，

当时，，

如图2，





，
由二次函数的性质知，当时，有最大值，
和的面积分别为m、n，
的最大值为．

【点睛】考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线PA的解析式，进一步表示出点N坐标．
11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【分析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【详解】（1）二次函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
故函数表达式为：…①；
（2）设点M的坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG的周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重合；
（3）的面积是矩形MNHG面积的，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、的坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.

（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.
【分析】(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；
(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；
(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；
②由①的结果即可得.
【详解】(1)令，
解得或，
故，，
配方得，故；
(2)∵，CO⊥AF，
∴OF=OA=1，
如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，

∴，
∴，
即，
∴，
∴CF==2，
∴，
即为等边三角形，
∴∠AFC=∠ACF=60°，
∵∠ECF=∠ACF，
∴，
∴，
∵CF：DF=OF：FD1=1：2，
∴DF=4，∴CD=6，
又∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(3)①设点的坐标为，
(ⅰ)当点在点左侧时，

因为与相似，
则1)，
即，
∴(舍)，x2=-11；
2)，
即，
∴(舍)，；
(ⅱ)当点在点右侧时，

因为与相似，
则3)，
即，
∴(舍)，(舍)；
4)，
即，
∴(舍)，(舍)；
(ⅲ)当点在之间时，

∵与相似，
则5)，
即，
∴(舍)，(舍)；
6)，
即，
∴(舍)，；
综上所述，点的横坐标为，，；
②由①可得这样的点P共有3个.
【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.
13．如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
(3)如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)点A坐标为(﹣4，﹣4)，点B坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
【分析】(1)把x＝﹣4代入解析式，求得点A的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B与点A的位置关系即可求得点B的坐标；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'＝，然后利用待定系数法求得抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，设M(6，m)，表示出OM2，A'M2，进而根据OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，继而求得A'M＝，再根据S△OA'M＝OA'•A'M通过计算即可得；
(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，先求得直线OA与x轴夹角为45°，再分点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C两种情况分别讨论即可得.
【详解】(1)当x＝﹣4时，，
∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，
当y＝﹣2时，，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∵点A在点B的左侧，
∴点B坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠B'OG＝∠OBE，
在△B'OG与△OBE中
，
∴△B'OG≌△OBE(AAS)，
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，
∵点B'在第四象限，
∴B'(2，﹣1)，
同理可求得：A'(4，﹣4)，
∴OA＝OA'＝，
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，
∴，
解得：，
∴抛物线F2解析式为：，
∴对称轴为直线：，
∵点M在直线x＝6上，设M(6，m)，
∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，
∵点A'在以OM为直径的圆上，
∴∠OA'M＝90°，
∴OA'2+A'M2＝OM2，
∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，
解得：m＝﹣2，
∴A'M＝，
∴S△OA'M＝OA'•A'M＝；
(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，
∵B'(2，﹣1)，
∴直线OB'解析式为y＝﹣x，
，
解得：(即为点B')，，
∴C(8，﹣4)，
∵A'(4，﹣4)，
∴A'C∥x轴，A'C＝4，
∴∠OA'C＝135°，
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，
∵A(﹣4，﹣4)，即直线OA与x轴夹角为45°，
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，
①若△AOD∽△OA'C，
则，
∴OD＝A'C＝4，
∴D(4，0)或(0，4)；
②若△DOA∽△OA'C，
则，
∴OD＝OA'＝8，
∴D(8，0)或(0，8)，
综上所述，点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.

【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.
14．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，)．

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(，﹣)．
【分析】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．
【详解】(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，
∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由(2)知：点N是PQ的中点，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：，
解得：，
所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣，即点Q(﹣，)，
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N(，﹣)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．
15．如图①，在平面直角坐标系中，已知，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动（不与点、点重合），设运动时间为（秒）．
（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；
（2）点在（）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；
（3）当在上运动时，如图②．过点作轴，垂足为，，垂足为．设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；
（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）或；（3）或或或
【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；
（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝，即可求P；
（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式 ，求出点，，由勾股定理可得，，，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；
【详解】解：（1）设函数解析式为c，
将点代入解析式可得
，
，
；
（2），
，
点为的垂直平分线与抛物线的交点，
，
∴点的纵坐标是，
，
或，
∴或；
（3），
t，
，
，
；
当时，最大值为；
（3）设点，直线的解析式，
直线的解析式，
∴，，
∴，，，
①时，，
，
或；
②时，，
，
或；
③K时，，不成立；
综上所述：或或或；
【点睛】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．
16．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.

(1)求抛物线的表达式；
(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；
【答案】(1)；(2)；；
【分析】（1）先求D的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点，关于轴，轴的对称点，，连接交轴，轴于点，.即，F,N，在同同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线的表达式，再求N,F的坐标；
【详解】解：(1)由题意，得点的坐标，.
∵，
∴.
∴点的坐标.
将点，分别代人抛物线，得

解得
∴抛物线的表达式为.
(2)分别作点，关于轴，轴的对称点，，
连接交轴，轴于点，.
由抛物线的表达式可知，顶点的坐标，
∴点的坐标.
设直线为，
∵点的坐标，
∴
解得
∴直线的表达式为.
令，则，解得，
∴点的坐标.
令，则，
∴点的坐标.

【点睛】考核知识点：二次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
17．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
【答案】（1）；（2）点坐标为或或或时，为直角三角形；（3）最小值为.
【分析】（1）结合题意，用待定系数法即可求解；
（2）分3种情况讨论，用勾股定理即可求解；
（3）根据正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.
【详解】（1）∵抛物线过点，，
∴，解得：，
∴这条抛物线对应的函数表达式为.
（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．
∵，
∴顶点，
∴，
设点坐标为，
∴，，
①若，则.
∴，
解得：，
∴.
②若，则，
∴，
解得：，，
∴或.
③若，则，
∴，
解得：，
∴.
综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．
（3）如图，过点作轴于点，于点，于点，
∵轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点为的内心，
∴，，，，
∴矩形是正方形，
设点坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴化简得：，
配方得：，
∴点与定点的距离为.
∴点在以点为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，
∴当点在线段上时，最小，
∵，
∴，
∴最小值为.

【点睛】本题考查用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为；（2）点的坐标为或或或；（3）点坐标为或.
【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求得解便可；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．
【详解】（1）将代入，得，故点的坐标为.
将代入，
得，解得.
所以抛物线对应的函数表达式为.
（2）设点的坐标为.
第一种情况：为平行四边形的一条边.
①当点在点右侧时，则点的坐标为.
将代入，得
，
整理得，解得.
因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为.
②当点在点左侧时，则点的坐标为.
将代入，得
，
整理得，解得.
此时点的坐标为或.
第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时.
由的中点坐标为，得的中点坐标为，
故点的坐标为.
将代入，得
，
整理得，解得.
因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为或或或.
（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在动点使得平分.
当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为，
过点作，垂足为，则有.
由平分，得，则，
故，所以.
设点坐标为，
点坐标为，
所以有，
整理得.
在中，.
过点作轴，垂足为.设点坐标为.
若，则需.所以.
所以.解得.
所以点坐标为或.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角形，用相似三角形的相似比列方程．
19．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）或（3）为定值
【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．
（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．
（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．
【详解】（1）∵抛物线经过点，.
∴，解得：.
∴抛物线的函数表达式为.
（2）①若点在轴下方，如图1，
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点.
∵当，解得：，.
∴.
∵，，
∴，，，，
∴中，，，
∵，为中点，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴中，，，.
∴，，
∴，，即，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
②若点在轴上方，如图2，
在上截取，则与关于轴对称，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
综上所述，点的坐标为或．
（3）为定值.
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，，
设，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
∴，为定值．


【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.
20．如图，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；
（3）在抛物线上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）；（2）t的值为；（3）x的取值范围是或．
【分析】（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A（-1，0）点，∴
，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5，（-1＜x＜5），新图象与直线y=t恒有四个交点，则0＜t＜9，由
解得：解得，，即可求解；
（3）分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A(-1，0)点，∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：∵，∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：=(-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)．
∵新图象与直线y=t恒有四个交点，∴0＜t＜9．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由得，
解得，
∵以EF为直径的圆过点Q(2，1)，∴，
即，解得．
又∵0＜t＜9，∴t的值为；

（3）x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转90°，所得直线与轴交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点
①当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离；
②当点到直线的距离为时，求的值．

【答案】（1）；（2）①当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；②的值是或．
【分析】（1）根据已知条件可计算出点A、B、C的坐标，再证明OA=OD，即可得D点的坐标，因此可得AD所在直线的解析式.
（2）①作轴交直线于点，设P点的横坐标为t,因为P在抛物线上因此可得纵坐标为，因为N点在直线AD上因此可得N，根据三角函数可得PH的长度，再利用二次函数可得PH取最大值时t的值,进而计算出P点的坐标; ② 解二元一次方程即可得到t的值，再根据t的值计算即可.
【详解】解：（1）当时，则点的坐标为，
当时，，解得，，则点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∵将直线绕点逆时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为
，得，
即直线的函数解析式为；
（2）作轴交直线于点，如图①所示，

设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴轴，
∴轴，
∴，
作于点，则，
∴，
∴当时，取得最大值，此时点P的坐标为，
即当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；
②当点到直线的距离为时，如图②所示，

则，
解得：，
则的坐标为，的坐标为，
当的坐标为，则，
∴；
当的坐标为，则，
∴；
由上可得，的值是或．
【点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离,难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.
22．如图①，抛物线与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知的面积为6.
(1)求的值；
(2)求外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q.
【分析】（1）利用抛物线解析式得到A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a；（2）利用第一问得到A、B、C三点坐标，求出AC解析式，找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式联立，解出x、y即为圆心坐标；（3）过点P做PD⊥x轴，PD=d，发现△ABP与△QBP的面积相等，得到A、D两点到PB得距离相等，可得，求出PB解析式，与二次函数解析式联立得到P点坐标，又易证，得到BQ=AP=，设出Q点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q点坐标即可
【详解】(1)解：由题意得
由图知：
所以A()，,
=6

∴
(2)由(1)得A()，,
∴直线AC得解析式为：
AC中点坐标为
∴AC的垂直平分线为：
又∵AB的垂直平分线为：
∴ 得
外接圆圆心的坐标(-1，1).
(3)解：过点P做PD⊥x轴
由题意得：PD=d，

∴
=2d
∵的面积为
∴，即A、D两点到PB得距离相等
∴
设PB直线解析式为;过点
∴
∴易得
所以P(-4,-5),
由题意及
易得：
∴BQ=AP=
设Q(m，-1)()
∴

∴Q.
【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB的解析式
23．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点，则平面内存在直线l，使点M，B，到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

【答案】（1）（2）①或，②直线l的解析式为,或.
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑：（i）当∠MPC=90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM=90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．
【详解】解：（1）当时，，
点C的坐标为；
当时，，
解得：，
点A的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）①轴，
，
分两种情况考虑，如图1所示．

（i）当时，轴，
点P的纵坐标为﹣2．
当时，，
解得：，，
点P的坐标为；
（ii）当时，设PC与x轴交于点D．
，，
．
又，
，
，即，
，
点D的坐标为．
设直线PC的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线PC的解析式为．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点P的坐标为或．
②当y=0时，,
解得：x1=-4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，-2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（-2，-4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为,
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为，直线B′M的解析式为，直线BB′的解析式为y=x-2．
分三种情况考虑，如图2所示：

当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥BB′且过线段CM的中点时，直线l的解析式为,
综上所述：直线l的解析式为,或.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．
25．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？

【答案】(1) ；(2) 存在，或；；(3) 当时，的最大值为：．
【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；
(2)分三种情况，分别求解即可；
(3)由即可求解．
【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：，
即：，解得：，
则抛物线的表达式为；
(2)存在，理由：
点的坐标分别为，
则，
将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：…①，
同理可得直线AC的表达式为：，
设直线的中点为，过点与垂直直线的表达式中的值为，
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：…②，
①当时，如图1，

则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，
故点；
②当时，如图1，
，则，
则，
故点；
③当时，
联立①②并解得：(舍去)；
故点Q的坐标为：或；
(3)设点，则点，
∵，
∴，
，
∵，
∴有最大值，
当时，的最大值为：．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）①；②点或或
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求出b,c，即可求出解析式，再求出A点坐标；
（2）先求出直线AC的表达式，设点，则点，得点，利用求出t的关系式，再根据二次函数性质进行求解；
（3）设点，点，根据①当是菱形一条边时，②当是菱形一对角线时，分别利用菱形的性质进行列式求解.
【详解】解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角形的面积求解及菱形的判定与性质.
27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点.

（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________，线段的长为__________，抛物线的解析式为__________.
（2）点是线段下方抛物线上的一个动点.
①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.求点的坐标.
②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小.

【答案】（1）、、、；（2）①点的坐标为或；②.
【分析】(1)由题意得：，故，即可求解；
(2)①分是平行四边形的一条边时、是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可；
②如图，过点作轴交于点，证明，根据相似三角形的对应边成比例可得，设点，点，则，继而可得，由此即可求得答案.
【详解】(1)由题意得：，故，
故抛物线的表达式为：，
令，则或，即点、的坐标分别为、，
则，
故答案为：、、、；
(2)①当是平行四边形的一条边时，

如图所示，点向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点，
设：点，点，
则点向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点，
即：，，
解得：或6(舍去4)，
即点；
当是平行四边形的对角线时，
设点、点，其中，
由中心公式可得：，，
解得：或4(舍去4)，
故点；
故点的坐标为或；
②如图，过点作轴交于点，

∵轴，∴，
∵轴，∴，
∴，∴，即：，
则，
设点，点，
则，
则，
，
当时，，
当时，，
则，
则，∴，
.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.
28．已知抛物线经过点和 ，与轴交于另一点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；
（2）如图，点分别在线段上（点不与重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；
（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．

【答案】（1）；（2）可能，的长为或；（3）当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）．
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）可能分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接．设，构建二次函数求出的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
【详解】（1）由题意：
解得
抛物线的解析式为，
顶点坐标．
（2）可能．如图1，



①当时，
，此时与重合，与条件矛盾，不成立．
②当时，
又，
，

③当时，


，

，

答：当的长为或时，为等腰三角形．
（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接．设

则

时，的面积的最大值为，

当点在的右侧时，的最大值，
观察图象可知：当时，满足条件的点的个数有个，
当时，满足条件的点的个数有个，
当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．如图，抛物线(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，求的值

【答案】（1）A（－6,0）；（2）①见解析 ；②
【分析】（1）令y=0，可得ax（x+6）=0，则A点坐标可求出；
（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD=∠COE，则CE=DE；
②设OE=m，由CE2=OE•AE，可得m＝，由∠CAE=∠OBE可得，则m＝，综合整理代入可求出的值．
【详解】（1）令ax2+bax=0
ax（x+6）=0
∴A（－6,0）
（2）连接PC，连接PB延长交x轴于M

过O、A、B三点，B为顶点
，
又∵PC=PB
，
∵CE为切线
°，
又
，
∴CE=DE，
（3）设OE=m，即E（m,0）
由切割定理：CE2=OE·AE
，
，
已知，
由角平分线定理：
即：
由①②得
∴t2=－18t－36
，
【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．
30．如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求周长的最小值；
（3）若动点与点不重合，点为⊙上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）（3）
【分析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B′，连接BD交直线y=x-3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，即可求解；
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解．
【详解】解：（1）直线，令，则，令，则，
故点的坐标为、，
则抛物线的表达式为：，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
（2）过点作直线的对称点，连接交直线于点，
直线交函数对称轴与点，连接，
则此时周长为最小值，

，则点，即：，
即点是的中点，过点，
周长最小值；
（3）如图2所示，连接并延长交圆与点，此时为最大值，

点的坐标为，
则，，
则，
设点，点，
，
解得：，故点，
将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点的坐标分别为：
过点分别作轴的垂线交于点，
则.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），确定PQ最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解．