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初中数学中考复习 微专题五 二次函数中的存在性问题课件PPT
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这是一份初中数学中考复习 微专题五 二次函数中的存在性问题课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了自主解答略等内容，欢迎下载使用。
【主干必备】存在性问题是指根据题目所给定的条件,探究是否存在符合要求的结论.二次函数中的存在性问题常见类型有:
(1)以二次函数图象为载体来探究特殊图形(如等腰三角形,直角三角形,平行四边形,矩形,菱形等)的存在性问题.(2)以二次函数图象为载体来探究图形间特殊关系(如两个三角形相似或全等,两条直线或同一个图形两个角度或者两条边存在某种位置或数量关系等)的存在性问题.
解决二次函数中的存在性问题的核心思想方法:(1)在解决存在性探究问题时,需要根据二次函数的图象和性质及该图形的概念或性质来对图形进行分类讨论,或者对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论.
(2)根据题意表示出动点的坐标,结合图形建立方程(组),并根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是否存在或存在某种位置或数量关系.
【微点警示】 因为点的运动既能改变图形相关的数量关系,又能改变图形的形状和位置,从而形成特殊的图形,所以解决此类问题的关键在于确定动点的位置.
【核心突破】【类型一】 探究特殊图形的存在性问题【例1】(2019·山西中考)综合与探究如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1
【明·技法】探究特殊图形存在性问题的三步骤(1)先假设这样的图形存在,然后根据该图形的定义或性质来确定出动点的位置,并画出相应图形.
(2)结合图形建立方程(组).(3)根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是否存在.
【类型二】探究特殊关系存在性问题【例2】(2018·常州中考)如图,二次函数y=- x2+bx+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A(-4,0),P是抛物线上一点(点P与点A,B,C不重合).
(1)b=________,点B坐标是________. (2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM∶MB=1∶2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.(3)连接AC,BC,判断∠CAB与∠CBA的数量关系,并说明理由.
【自主解答】 (1)b= .(2) 假设点M在PB之间,存在PM∶MB=1∶2,过点P作EF∥AC,交坐标轴于点E和F,则 ,
∵A,B两点的坐标分别为(-4,0), ,∴AB= +4= ,∴AE= ,∴E点的坐标为 .∵C(0,2),∴由A,C两点的坐标可得AC的解析式为y= x+2,∴直线EF的解析式为y= ,
解方程组: 消去y,得方程:8x2+32x+33=0,由于Δ=-32,所以这种情况不存在.
当点M在CA(或AC)的延长线时,同理可求得点E的坐标为 ,直线PF的解析式为y= 解方程组 消去y,得方程:8x2+32x-33
=0,x1=-2- ,x2=-2+ ,所以P点的横坐标为x1=-2- ,x2=-2+ .(3)略
【明·技法】探究特殊关系存在性问题的三步骤(1)先假设这样的关系存在,然后用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系,画出相应图形.
(2)通过几何推理或建立关系式(函数或不等式或方程(组)等)进行推理或求解.(3)最后根据几何推理或者举反例或者方程(组)的解的情况来判断该特殊关系是否存在.解决此类问题时,常常利用三角形相似或三角函数来寻找关系.
【题组过关】1.(2019·眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).世纪金榜导学号(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.
(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合),作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N,是否存在点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)抛物线的解析式为:y=- (x+5)(x-1)=- x2- x+ .配方得:y=- (x+2)2+4,∴顶点D的坐标为(-2,4).
(2)设点P的坐标为 -5∵- <0,∴当a=- 时,矩形PEFG的周长最大,此时,点P的横坐标为- .
(3)存在.∵AD=BD,∴∠DAB=∠DBA.∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA,又∵∠DMN=∠DBA,∴∠AMN=∠MDB,∴△AMN∽△BDM,∴ .易求得:AB=6,AD=DB=5.
△DMN为等腰三角形有三种可能:①当MN=DM时,则△AMN≌△BDM,∴AM=BD=5,∴AN=MB=1.
②当DN=MN时,则∠ADM=∠DMN=∠DBA,又∵∠DAM=∠BAD,∴△DAM∽△BAD,∴AD2=AM·BA.∴AM= ,BM= ,∵
③DN=DM不成立.∵∠DNM>∠DAB,而∠DAB=∠DMN,∴∠DNM>∠DMN,∴DN≠DM.综上所述,存在点M满足要求,此时AN的长为1或 .
2.(2019·安顺中考)如图,抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值.
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.略
3.(2019·海南中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.世纪金榜导学号
(1)求该抛物线的表达式.(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合).设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值.
【主干必备】存在性问题是指根据题目所给定的条件,探究是否存在符合要求的结论.二次函数中的存在性问题常见类型有:
(1)以二次函数图象为载体来探究特殊图形(如等腰三角形,直角三角形,平行四边形,矩形,菱形等)的存在性问题.(2)以二次函数图象为载体来探究图形间特殊关系(如两个三角形相似或全等,两条直线或同一个图形两个角度或者两条边存在某种位置或数量关系等)的存在性问题.
解决二次函数中的存在性问题的核心思想方法:(1)在解决存在性探究问题时,需要根据二次函数的图象和性质及该图形的概念或性质来对图形进行分类讨论,或者对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论.
(2)根据题意表示出动点的坐标,结合图形建立方程(组),并根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是否存在或存在某种位置或数量关系.
【微点警示】 因为点的运动既能改变图形相关的数量关系,又能改变图形的形状和位置,从而形成特殊的图形,所以解决此类问题的关键在于确定动点的位置.
【核心突破】【类型一】 探究特殊图形的存在性问题【例1】(2019·山西中考)综合与探究如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1
【明·技法】探究特殊图形存在性问题的三步骤(1)先假设这样的图形存在,然后根据该图形的定义或性质来确定出动点的位置,并画出相应图形.
(2)结合图形建立方程(组).(3)根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是否存在.
【类型二】探究特殊关系存在性问题【例2】(2018·常州中考)如图,二次函数y=- x2+bx+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A(-4,0),P是抛物线上一点(点P与点A,B,C不重合).
(1)b=________,点B坐标是________. (2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM∶MB=1∶2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.(3)连接AC,BC,判断∠CAB与∠CBA的数量关系,并说明理由.
【自主解答】 (1)b= .(2) 假设点M在PB之间,存在PM∶MB=1∶2,过点P作EF∥AC,交坐标轴于点E和F,则 ,
∵A,B两点的坐标分别为(-4,0), ,∴AB= +4= ,∴AE= ,∴E点的坐标为 .∵C(0,2),∴由A,C两点的坐标可得AC的解析式为y= x+2,∴直线EF的解析式为y= ,
解方程组: 消去y,得方程:8x2+32x+33=0,由于Δ=-32,所以这种情况不存在.
当点M在CA(或AC)的延长线时,同理可求得点E的坐标为 ,直线PF的解析式为y= 解方程组 消去y,得方程:8x2+32x-33
=0,x1=-2- ,x2=-2+ ,所以P点的横坐标为x1=-2- ,x2=-2+ .(3)略
【明·技法】探究特殊关系存在性问题的三步骤(1)先假设这样的关系存在,然后用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系,画出相应图形.
(2)通过几何推理或建立关系式(函数或不等式或方程(组)等)进行推理或求解.(3)最后根据几何推理或者举反例或者方程(组)的解的情况来判断该特殊关系是否存在.解决此类问题时,常常利用三角形相似或三角函数来寻找关系.
【题组过关】1.(2019·眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).世纪金榜导学号(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.
(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合),作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N,是否存在点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)抛物线的解析式为:y=- (x+5)(x-1)=- x2- x+ .配方得:y=- (x+2)2+4,∴顶点D的坐标为(-2,4).
(2)设点P的坐标为 -5
(3)存在.∵AD=BD,∴∠DAB=∠DBA.∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA,又∵∠DMN=∠DBA,∴∠AMN=∠MDB,∴△AMN∽△BDM,∴ .易求得:AB=6,AD=DB=5.
△DMN为等腰三角形有三种可能:①当MN=DM时,则△AMN≌△BDM,∴AM=BD=5,∴AN=MB=1.
②当DN=MN时,则∠ADM=∠DMN=∠DBA,又∵∠DAM=∠BAD,∴△DAM∽△BAD,∴AD2=AM·BA.∴AM= ,BM= ,∵
③DN=DM不成立.∵∠DNM>∠DAB,而∠DAB=∠DMN,∴∠DNM>∠DMN,∴DN≠DM.综上所述,存在点M满足要求,此时AN的长为1或 .
2.(2019·安顺中考)如图,抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值.
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.略
3.(2019·海南中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.世纪金榜导学号
(1)求该抛物线的表达式.(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合).设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值.
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