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专题03 分式与二次根式（题型归纳）-备战 中考数学一轮复习精品课件与题型归纳专练（全国通用）
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专题03 分式与二次根式
题型归纳
题型演练
题型一 分式有意义、无意义的条件
1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式有意义的字母x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠3 C．x≠4 D．x≠3且x≠4
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断．
【详解】解：根据题意得x﹣4≠0，则x≠4．
故选：C．
2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵分母不能等于0
∴
∴
故选B．
3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．
【详解】要分式有意义，则，
解得：．
故选：B
4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】根据题意，得：，，
解得且，
故选：D．
5．（2022·浙江·三模）若要使得分式有意义，则的取值范围为_______．
【答案】x≠±1
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：|x2-1|≠0，
∴x2-1≠0，
∴x≠±1，
故答案为：x≠±1．
6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式无意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意得，2x＋5＝0，
故答案为：
题型二 分式的值为零的条件
7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断．
【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意；
B．当x=±时，x2-2=0，故本选项不合题意；
C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意；
D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意；
故选：C．
8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x＝5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【详解】解：（1）当取1时，，要使分式有意义即，解得，
故说法正确；
（2）当时，，若，则分式无意义，
故说法错误；
（3）由题意得，解得，
故说法正确；
（4）当x取任何值时，分式一定有意义，即，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点，
故说法正确；
综上所述：错误的说法有1个，
故选：B．
9．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0
∴x﹣2＝0，x﹣3≠0，
∴x＝2，
故选：D．
10．（2021·浙江温州·三模）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣3，
故选：A．
11．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则_____．
【答案】-1
【分析】若分式的值为0，则为0而 即可．
【详解】解： 解得
故填：-1
12．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式的值为0．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故答案为：．
题型三 分式的求值
13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式、、、、中，值一定是正数的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解：不一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
一定是正数；
一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
所以值一定是正数的有个．
故选：B
14．（2021·浙江温州·三模）若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据＝得，将代入中即可得出答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
将代入中，
得，
故选：C．
15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
16．（2021·安徽安庆·一模）已知，则的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而代入计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴x＝2y，
∴．
故选：B．
17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______．
【答案】
【分析】利用a与b互为相反数，，求解 再整体代入求值即可．
【详解】解： a与b互为相反数，
当 则
当 则
故答案为：
18．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x，y满足，则__________．
【答案】-1
【分析】将条件式整理可得，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
故答案为：.
题型四 分式的值为正或负时未知数的取值范围
19．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，
∴x＞，
故选：B．
20．下列关于分式的说法，错误的是( )
A．当x>-2时，分式的值一定为负数
B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数
D．当x=-2时，分式的值为0
【答案】A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．
故选A．
21．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
22．若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ）
A．为任意实数 B． C． D．
【答案】C
【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解.
【详解】∵，
∴分式的值为正数时，，
解得：.
故选：C.
23．若分式的值为正数，x的取值范围是__．
【答案】或；
【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x的取值范围．
【详解】由题：∵ 分式的值为正数，
∴或
解得：或；
故填：或．
24．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________.
【答案】x＞0
【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.
【详解】∵分式的值为正，
∴x与x2+2的符号同号，
∵x2+2>0，
∴x>0，
故答案为x>0.
题型五 分式的基本性质
25．（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意；
C. a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意；
D. a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a-
【答案】C
【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可．
【详解】解：A、 ，故选项A错误；
B、不能约分化简，故选项B错误；
C、，计算正确，符合题意；
D、（a﹣）2＝a2﹣a+，故选项D错误，
故选C．
27．（2022·湖南永州·二模）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不确定
【答案】C
【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则原式可变为：＝2×，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：
，
故选：A.
29．（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______．
【答案】
【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】∵，
∴x-y=4xy，
∴原式=，
故答案为： ．
30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若，则_______．
【答案】
【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求职
【详解】解：x2=y3=z4=k（k≠0)，则
题型六 最简分式
31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、该式子是最简分式，故本选项符合题意；
D、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、=，不符合题意；
B、原式=-1，不符合题意；
C、符合题意；
D、=x-3y，不符合题意；
故选：C．
33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选D．
34．（2022·广东·九年级专题练习）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解．
【详解】解：，不是最简分式，
，不是最简分式，
，是最简分式，有2个．
故选：B
35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知，则的值为 _____．
【答案】
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
36．在分式中，最简分式有______．
【答案】
【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断．
【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式；
由=m﹣n，得到此分式不是最简分式；
由=，得到此分式不是最简分式；
由=﹣1，得到此分式不是最简分式；
而分子分母没有公因式，是最简分式．
故答案为： ．
题型七 约分与通分
37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（ ）
A．5a－3a＝2 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 5a－3a＝2a，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可．
【详解】解：将转化成，
∴A.，能同时乘以，故不符合题意；
B.，能同时乘以，故不符合题意；
C.，能同时乘以，故不符合题意；
D.，不能同时乘以，符合题意；
故选：D．
39．（2022·云南昆明·模拟预测）若，则的值为______．
【答案】
【分析】分式约分后，把m=2n代入即可．
【详解】，
故答案为：．
40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：________．
【答案】
【分析】对分母进行因式分解后约分即可．
【详解】解：．
故答案为：．
41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式和的最简公分母为_____．
【答案】2（m﹣n）
【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案．
【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．
∴它们的最简公分母是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
题型八 分式的乘除法
43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：（ ）
A． B．x C． D．
【答案】C
【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解．
【详解】解：
故选：C
44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．3a－4a＝－a
【答案】D
【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案．
【详解】解：A、应为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、3a－4a＝－a，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
45．（2022·山东· 模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则化简即可求解．
【详解】解：
．
故选：B．
46．（2022·湖北武汉·二模）计算：_____．
【答案】
【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
47．（2022·山西晋中·二模）计算：______．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则计算．
【详解】解：原式=
=
=
故答案为．
48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：＝________．
【答案】
【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答．
【详解】解：．
题型九 分式的加减法
49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式．
【详解】解：．
故选：D．
50．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】C
【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．
【详解】解：，
故选：C．
51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算的结果是 _____．
【答案】
【分析】利用异分母分式的加减法法则计算．
【详解】原式
，
故答案为：．
52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．
【答案】1
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
【详解】解：﹣=
故答案为：1．
53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（）÷
【答案】
【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可．
【详解】（）÷
=（
=．
54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可．
【详解】原式
．
当时，原式
55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．
【详解】∵a，b满足．
∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝，
当a＝﹣1，b＝时，
∴原式．
题型十 零指数幂与负整数指数幂
57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
【详解】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符题意；
D、，则此项错误，不符题意；
故选：B．
60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）______．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
61．（2022·重庆·模拟预测）计算=________ ．
【答案】－2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可．
【详解】，
故答案为：-2．
题型十一 二次根式有意义的条件
62．（2022·湖南娄底·一模）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故选：D．
63．（2022·浙江杭州·模拟预测）要使得式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得．
故选：B．
64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，
解得，
故选：D．
65．（2022·安徽合肥·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次根式（a≥0）进行解答即可．
【详解】解：由题意得：2-x≥0．
解得：，
故答案为：x≤2．
66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y中自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≤2且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
题型十二 利用二次根式的性质化简
67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝3 C．＝﹣8 D．4﹣4＝
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．
【详解】解：A、=4，故该项不正确；
B、=3，故该项正确；
C、没有意义，故该项不正确；
D、4-4=4-4，故该项不正确；
故选：B．
68．（2022·广东·模拟预测）的化简结果为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【答案】A
【分析】根据二次根式性质直接求解即可．
【详解】解：，
故选：A ．
69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【答案】C
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；
【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误；
B.a8÷a2=a6≠a4，故错误；
C.=2，故正确；
D.（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故错误；
故选：C．
70．（2021·四川乐山·三模）化简后所得的最后结果是______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
71．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）化简：_______．
【答案】
【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．
【详解】解：原式
故答案为：．
题型十三 二次根式的乘除
72．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可．
【详解】A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选：D．
73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案
【详解】解：A、，所以A选项符合题意；
B、原式，所以B选项不符合题意；
C、与不能合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项不符合题意．
故选：D．
74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A、，等式成立，不符合题意；
B、，等式成立，不符合题意；
C、，原等式不成立，符合题意；
D、，等式成立，不符合题意；
故选：C．
75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解．
【详解】A、不能合并在一起，故选项A错误；
B、中，与不是同类二次根式，不能合并在一起，故选项B错误；
C、，计算正确；
D、，故选项D错误，
故选C
76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：_______．
【答案】2
【分析】先化简各项，再相减即可.
【详解】解：，
故答案为：2.
77．（2022·山东青岛·一模）计算÷3×的结果是___．
【答案】1
【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
题型十四 最简二次根式
78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可．
【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，不符合题意；
C. 是最简二次根式，符合题意；
D. ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案选C．
80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可．
【详解】选项A，，不是最简二次根式；
选项B，是最简二次根式；
选项C，，不是最简二次根式；
选项D，，不是最简二次根式.
故选：B.
81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是______．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：时，，是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
82．（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______．
【答案】1
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵＝2，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
题型十五 二次根式的加减
83．（2022·上海奉贤·二模）的计算结果是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解．
【详解】解：原式=；
故选：C．
84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可．
【详解】A：，故此选项错误；
B：，故此选项错误；
C：不能再运算，故此选项错误；
D：，故此选项正确；
故选：D．
85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算的结果是______．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：
86．（2022·江苏南京·二模）计算的结果是______．
【答案】3
【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=；
故答案为3．
87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【答案】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝
当x＝﹣1时，原式＝＝＝．
88．（2022·上海松江·二模）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
题型十六 分母有理化
89．（2022·安徽·二模）的倒数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式性质化简即可判定A；根据分母有理化化简即可判定B；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C；根据同底数幂相除法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算的结果是____________．
【答案】
【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：______．
【答案】
【分析】先分母有理化，然后进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
93．（2022·浙江宁波·一模）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)5；(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案；
（2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
题型十七 二次根式的化简求值
94．（2021·山东淄博·一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：、
∴
故选：C.
95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知.则xy=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
配方得
将代入得：
计算得：
故选：D.
96．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________．
【答案】或
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【详解】解：
＝
＝2x×
＝．
∵，
∴，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝．
97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设 ，则代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值为__________．
【答案】-1
【分析】根据已知条件得出x＋1、x＋2和x＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴x＋1，x＋2，x＋3，
∴原式＝
＝−1．
故答案为：-1．
98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；7
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a2﹣b（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2．
【答案】，
【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可．
【详解】解：原式=，
把代入得：原式=．
100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可．
【详解】原式，
，
，
当时，
原式，
故化简后得原式，求得．
专题03 分式与二次根式
题型归纳
题型演练
题型一 分式有意义、无意义的条件
1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式有意义的字母x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠3 C．x≠4 D．x≠3且x≠4
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断．
【详解】解：根据题意得x﹣4≠0，则x≠4．
故选：C．
2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵分母不能等于0
∴
∴
故选B．
3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．
【详解】要分式有意义，则，
解得：．
故选：B
4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】根据题意，得：，，
解得且，
故选：D．
5．（2022·浙江·三模）若要使得分式有意义，则的取值范围为_______．
【答案】x≠±1
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：|x2-1|≠0，
∴x2-1≠0，
∴x≠±1，
故答案为：x≠±1．
6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式无意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意得，2x＋5＝0，
故答案为：
题型二 分式的值为零的条件
7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断．
【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意；
B．当x=±时，x2-2=0，故本选项不合题意；
C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意；
D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意；
故选：C．
8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x＝5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【详解】解：（1）当取1时，，要使分式有意义即，解得，
故说法正确；
（2）当时，，若，则分式无意义，
故说法错误；
（3）由题意得，解得，
故说法正确；
（4）当x取任何值时，分式一定有意义，即，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点，
故说法正确；
综上所述：错误的说法有1个，
故选：B．
9．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0
∴x﹣2＝0，x﹣3≠0，
∴x＝2，
故选：D．
10．（2021·浙江温州·三模）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x+3＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣3，
故选：A．
11．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则_____．
【答案】-1
【分析】若分式的值为0，则为0而 即可．
【详解】解： 解得
故填：-1
12．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式的值为0．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故答案为：．
题型三 分式的求值
13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式、、、、中，值一定是正数的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解：不一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
一定是正数；
一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
所以值一定是正数的有个．
故选：B
14．（2021·浙江温州·三模）若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据＝得，将代入中即可得出答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
将代入中，
得，
故选：C．
15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
16．（2021·安徽安庆·一模）已知，则的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而代入计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴x＝2y，
∴．
故选：B．
17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______．
【答案】
【分析】利用a与b互为相反数，，求解 再整体代入求值即可．
【详解】解： a与b互为相反数，
当 则
当 则
故答案为：
18．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x，y满足，则__________．
【答案】-1
【分析】将条件式整理可得，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
故答案为：.
题型四 分式的值为正或负时未知数的取值范围
19．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，
∴x＞，
故选：B．
20．下列关于分式的说法，错误的是( )
A．当x>-2时，分式的值一定为负数
B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数
D．当x=-2时，分式的值为0
【答案】A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．
故选A．
21．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
22．若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ）
A．为任意实数 B． C． D．
【答案】C
【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解.
【详解】∵，
∴分式的值为正数时，，
解得：.
故选：C.
23．若分式的值为正数，x的取值范围是__．
【答案】或；
【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x的取值范围．
【详解】由题：∵ 分式的值为正数，
∴或
解得：或；
故填：或．
24．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________.
【答案】x＞0
【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.
【详解】∵分式的值为正，
∴x与x2+2的符号同号，
∵x2+2>0，
∴x>0，
故答案为x>0.
题型五 分式的基本性质
25．（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意；
C. a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意；
D. a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a-
【答案】C
【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可．
【详解】解：A、 ，故选项A错误；
B、不能约分化简，故选项B错误；
C、，计算正确，符合题意；
D、（a﹣）2＝a2﹣a+，故选项D错误，
故选C．
27．（2022·湖南永州·二模）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不确定
【答案】C
【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则原式可变为：＝2×，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：
，
故选：A.
29．（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______．
【答案】
【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】∵，
∴x-y=4xy，
∴原式=，
故答案为： ．
30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若，则_______．
【答案】
【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求职
【详解】解：x2=y3=z4=k（k≠0)，则
题型六 最简分式
31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、该式子是最简分式，故本选项符合题意；
D、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、=，不符合题意；
B、原式=-1，不符合题意；
C、符合题意；
D、=x-3y，不符合题意；
故选：C．
33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选D．
34．（2022·广东·九年级专题练习）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解．
【详解】解：，不是最简分式，
，不是最简分式，
，是最简分式，有2个．
故选：B
35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知，则的值为 _____．
【答案】
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
36．在分式中，最简分式有______．
【答案】
【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断．
【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式；
由=m﹣n，得到此分式不是最简分式；
由=，得到此分式不是最简分式；
由=﹣1，得到此分式不是最简分式；
而分子分母没有公因式，是最简分式．
故答案为： ．
题型七 约分与通分
37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（ ）
A．5a－3a＝2 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 5a－3a＝2a，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可．
【详解】解：将转化成，
∴A.，能同时乘以，故不符合题意；
B.，能同时乘以，故不符合题意；
C.，能同时乘以，故不符合题意；
D.，不能同时乘以，符合题意；
故选：D．
39．（2022·云南昆明·模拟预测）若，则的值为______．
【答案】
【分析】分式约分后，把m=2n代入即可．
【详解】，
故答案为：．
40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：________．
【答案】
【分析】对分母进行因式分解后约分即可．
【详解】解：．
故答案为：．
41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式和的最简公分母为_____．
【答案】2（m﹣n）
【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案．
【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．
∴它们的最简公分母是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
题型八 分式的乘除法
43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：（ ）
A． B．x C． D．
【答案】C
【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解．
【详解】解：
故选：C
44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．3a－4a＝－a
【答案】D
【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案．
【详解】解：A、应为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、3a－4a＝－a，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
45．（2022·山东· 模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则化简即可求解．
【详解】解：
．
故选：B．
46．（2022·湖北武汉·二模）计算：_____．
【答案】
【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
47．（2022·山西晋中·二模）计算：______．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则计算．
【详解】解：原式=
=
=
故答案为．
48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：＝________．
【答案】
【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答．
【详解】解：．
题型九 分式的加减法
49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式．
【详解】解：．
故选：D．
50．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】C
【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．
【详解】解：，
故选：C．
51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算的结果是 _____．
【答案】
【分析】利用异分母分式的加减法法则计算．
【详解】原式
，
故答案为：．
52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．
【答案】1
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
【详解】解：﹣=
故答案为：1．
53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（）÷
【答案】
【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可．
【详解】（）÷
=（
=．
54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可．
【详解】原式
．
当时，原式
55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．
【详解】∵a，b满足．
∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝，
当a＝﹣1，b＝时，
∴原式．
题型十 零指数幂与负整数指数幂
57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
【详解】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符题意；
D、，则此项错误，不符题意；
故选：B．
60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）______．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
61．（2022·重庆·模拟预测）计算=________ ．
【答案】－2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可．
【详解】，
故答案为：-2．
题型十一 二次根式有意义的条件
62．（2022·湖南娄底·一模）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故选：D．
63．（2022·浙江杭州·模拟预测）要使得式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得．
故选：B．
64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，
解得，
故选：D．
65．（2022·安徽合肥·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次根式（a≥0）进行解答即可．
【详解】解：由题意得：2-x≥0．
解得：，
故答案为：x≤2．
66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y中自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≤2且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
题型十二 利用二次根式的性质化简
67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝3 C．＝﹣8 D．4﹣4＝
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．
【详解】解：A、=4，故该项不正确；
B、=3，故该项正确；
C、没有意义，故该项不正确；
D、4-4=4-4，故该项不正确；
故选：B．
68．（2022·广东·模拟预测）的化简结果为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【答案】A
【分析】根据二次根式性质直接求解即可．
【详解】解：，
故选：A ．
69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C．＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【答案】C
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；
【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误；
B.a8÷a2=a6≠a4，故错误；
C.=2，故正确；
D.（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故错误；
故选：C．
70．（2021·四川乐山·三模）化简后所得的最后结果是______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
71．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）化简：_______．
【答案】
【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．
【详解】解：原式
故答案为：．
题型十三 二次根式的乘除
72．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可．
【详解】A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选：D．
73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案
【详解】解：A、，所以A选项符合题意；
B、原式，所以B选项不符合题意；
C、与不能合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项不符合题意．
故选：D．
74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A、，等式成立，不符合题意；
B、，等式成立，不符合题意；
C、，原等式不成立，符合题意；
D、，等式成立，不符合题意；
故选：C．
75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解．
【详解】A、不能合并在一起，故选项A错误；
B、中，与不是同类二次根式，不能合并在一起，故选项B错误；
C、，计算正确；
D、，故选项D错误，
故选C
76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：_______．
【答案】2
【分析】先化简各项，再相减即可.
【详解】解：，
故答案为：2.
77．（2022·山东青岛·一模）计算÷3×的结果是___．
【答案】1
【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
题型十四 最简二次根式
78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可．
【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，不符合题意；
C. 是最简二次根式，符合题意；
D. ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案选C．
80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可．
【详解】选项A，，不是最简二次根式；
选项B，是最简二次根式；
选项C，，不是最简二次根式；
选项D，，不是最简二次根式.
故选：B.
81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是______．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：时，，是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
82．（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______．
【答案】1
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵＝2，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
题型十五 二次根式的加减
83．（2022·上海奉贤·二模）的计算结果是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解．
【详解】解：原式=；
故选：C．
84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可．
【详解】A：，故此选项错误；
B：，故此选项错误；
C：不能再运算，故此选项错误；
D：，故此选项正确；
故选：D．
85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算的结果是______．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：
86．（2022·江苏南京·二模）计算的结果是______．
【答案】3
【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=；
故答案为3．
87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【答案】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝
当x＝﹣1时，原式＝＝＝．
88．（2022·上海松江·二模）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
题型十六 分母有理化
89．（2022·安徽·二模）的倒数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式性质化简即可判定A；根据分母有理化化简即可判定B；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C；根据同底数幂相除法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算的结果是____________．
【答案】
【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：______．
【答案】
【分析】先分母有理化，然后进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
93．（2022·浙江宁波·一模）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)5；(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案；
（2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
题型十七 二次根式的化简求值
94．（2021·山东淄博·一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：、
∴
故选：C.
95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知.则xy=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
配方得
将代入得：
计算得：
故选：D.
96．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________．
【答案】或
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【详解】解：
＝
＝2x×
＝．
∵，
∴，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝．
97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设 ，则代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值为__________．
【答案】-1
【分析】根据已知条件得出x＋1、x＋2和x＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴x＋1，x＋2，x＋3，
∴原式＝
＝−1．
故答案为：-1．
98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；7
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a2﹣b（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2．
【答案】，
【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可．
【详解】解：原式=，
把代入得：原式=．
100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可．
【详解】原式，
，
，
当时，
原式，
故化简后得原式，求得．
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