2021-2022学年广西桂林示范性高中十二校联盟高一下学期入学检测数学试题（解析版）

2021-2022学年广西桂林示范性高中十二校联盟高一下学期入学检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】分析两个集合中的元素，得两个集合的交集.

【详解】集合表示直线上的点组成的集合，

集合表示大于或等于0的实数组成的集合，

所以，中元素个数为0个.

故选：A.

2．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件；

B．“”是“”的充分但不必要条件；

C．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的必要但不充分条件；

D．“方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不必要条件是“”．

【答案】B

【分析】由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围逐个分析每个选项.

【详解】对于A项，∵，，

∴“”是“”的必要不充分条件，故A项错误；

对于B项，∵N是Z的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件，故B项正确；

对于C项，∵两个三角形全等一定相似，但相似不一定全等，∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故C项错误；

对于D项，∵方程的根为或，

又∵方程有一正一负根，

∴，解得：，

∴“方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“”，故D项错误；

故选：B.

3．弧度换算为角度制是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据弧度制、角度制的知识求得正确答案.

【详解】弧度换算为角度制是.

故选：C

4．下列命题是真命题的是（    ）

A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；

C．若 ，则 ； D．若 ，则 ．

【答案】D

【分析】举反例排除A，B，C，利用不等式的基本性质判断D.

【详解】对于选项A，当时，满足，但，故A错误；

对于选项B， 当时，满足，但，故B错误；

对于选项C， 当时，满足，但，故C错误；

对于选项D，因为，所以，所以，则，故D正确.

故选：D.

5．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．

【详解】由指数、对数函数的性质可知：，，

所以有.

故选：A．

【点睛】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识，属于基础题.

6．若，则函数的图象不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先判断函数的单调性，再根据函数平移性质，结合对数函数图像即可求解.

【详解】，函数在上单调递增，图像过一、四象限，

又因为函数的图像是由函数的图像向左平移个单位长度得到，

而，所以函数的图像不经过第四象限，

故选：D

7．函数是（    ）

A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上是减函数

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再结合合函数的单调性即可求解.

【详解】由，即函数定义域为，故排除A、B选项；

令，则，

因为在上单调递减，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增.

故选：C.

8．从整数中任取两数，其中是对立事件的是（    ）

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.

A．① B．②④ C．③ D．①③

【答案】C

【分析】根据对立事件的定义判断即可.

【详解】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数是同一个事件，故不是对立事件；②至少有一个是奇数包含了两个都是奇数，故不是对立事件；③至少有一个是奇数包含了恰有一个是奇数和两个都是奇数，故与两个都是偶数是对立事件；④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含了一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件.

故选：C.

9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为

A．24 B．18 C．16 D．12

【答案】C

【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应在三年级抽取的学生人数为人，故选C.

【解析】分层抽样.

10．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

11．命题“对任意的，有”的否定是（    ）

A．不存在，使 B．存在， 使

C．存在，使 D．对任意的，

【答案】C

【分析】解不等式，改命题的量词再否定结论可得命题的否定.

【详解】“对任意的，有”，

即“对任意的，有”，

其否定为“存在，使”，

故选：C.

12．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据已知函数是连续的偶函数,且当时是单调函数，且有，则说明而来，那么解方程可知满足方程的解求解得到方程的根满足，那么结合韦达定理可知四个根的和为-8，故选C.

【解析】本试题考查了函数与方程的问题．

点评：对于方程根的求解，要结合函数的偶函数性质的对称性质，以及函数的单调性来分析得到结论，属于基础题．

二、多选题

13．角的终边上一点的坐标为P（3，4），则下列结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】求点P到坐标原点的距离，根据三角函数定义进而求得的三角函数值.

【详解】点P到坐标原点的距离，

所以，.

故选：BC.

14．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A，结合图形可得时，；

对于BCD，由零点存在性定理可判断选项.

【详解】对于A，在同一坐标系下作出函数与函数的图像，结合图形可知时，，即在上无零点，故A错误；

由题，可得函数图像为连续不断的曲线.

对于B，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故B正确；

对于C，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故C正确；

对于D，因，由零点存在性定理知函数在上有零点，故D正确；

故选：BCD

15．某校从参加高二年级学业水平测试的600名学生中抽出80名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．

由频率分布直方图估计这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分和80%分位数求法正确的是（    ）

A．众数计算方法为：＝75．

B．中位数计算方法为：设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，0.1＝0.03(－70)，从中解出就是中位数．

C．平均分计算方法为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10

D．80%分位数计算方法为：

【答案】ABCD

【分析】频率分布直方图中众数估计值为最高的小矩形的中间值，中位数为分图形左右两边都为0.5的数，平均数为每个小矩形中间值与该矩形面积的乘积的和，80%分位数为分左右两侧面积分别为0.8，0.2的数，依次判断选项正误.

【详解】根据频率分布直方图，众数为最高的小矩形的中间值，即，A正确；

中位数为分图形左右两边都为0.5的数，设中位数为x，前三个矩形的面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，因此中位数在第四个矩形内，列方程，解出x为中位数，B正确；

平均数为每个小矩形中间值与该矩形面积的乘积的和，C正确；

前四个矩形的面积和为0.7，所以80%分位数位于第五个矩形内，80%分位数为，D正确；

故选：ABCD.

三、填空题

16．函数的定义域是____________.

【答案】.

【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

17．已知，求_______．

【答案】0

【分析】先求出，再求.

【详解】，

.

故答案为：0.

18．计算_________．

【答案】

【分析】分别化简两个对数式，在相乘.

【详解】原式.

故答案为：.

19．计算____________．

【答案】1

【分析】诱导公式及同角三角函数的平方和关系化简.

【详解】

故答案为：1.

20．已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．

【答案】2

【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可．

【详解】解：因为，是正实数，且满足，

则

，

当且仅当且，即，时取等号，

所以的最小值为2．

故答案为：2．

四、解答题

21．设全集．

(1)求集合，；

(2)求

【答案】(1)或；；

(2)或

【分析】（1）分别解两个集合中的不等式，得集合，；

（2）由第（1）问结果运算即可.

【详解】（1）由题，或，

，所以，

又，且，

所以，即，.

（2）由第（1）问，或

所以或.

22．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性；

(2)用定义证明函数的单调性．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先分析函数的定义域，再分析与的关系，即可得答案；

（2）利用函数单调性定义即可证得．

【详解】（1）为奇函数，

证明：函数，定义域关于原点对称，

又，所以函数为奇函数；

（2）任取，且，

由，知，即

则在R上为增函数．

23．今有甲、乙两支篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场，则整个比赛宣告结束，假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是，各场比赛没有平局且相互独立．

(1)求恰好打满4场整个比赛就结束的概率；

(2)求甲队连胜4场整个比赛就结束的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 表示事件：甲队在第场比赛中获胜,由题意可知：，设表示事件：恰好打满4场整个比赛就结束

则，代入对应的数据即可求解.

；

(2) 设表示事件：甲队连胜4场整个比赛就结束，则，然后代入数据即可求解.

【详解】（1）设表示事件：甲队在第场比赛中获胜．则，

设表示事件：恰好打满4场整个比赛就结束

则

= .

（2）设表示事件：甲队连胜4场整个比赛就结束

则

=

24．已知函数．

(1)若，使，求实数b的范围；

(2)设，且在上单调递增，求实数m的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】对于（1），，，

即函数在x轴下方有图像，据此可得答案；

对于（2），，分两种情况讨论得答案.

【详解】（1）由，，得.

则函数在x轴下方有图像，

故，解得或，

故实数b的范围是；

（2）由题设得，

得对称轴方程为，，

由于在上单调递增，则有：

①当即≤m时，时，在上单调递增，

则，解得，

②当Δ＞0即或时，由求根公式可得方程的解为：

，因，则.

当时，可知在上单调递增.

i若，则，则，

解得；

ii若，则，

则，解得.

综上所述，实数m的范围是.

25．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示，其市场售价与时间的函数关系式为；而西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(1)求出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

【答案】(1)，

(2)从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【分析】（1）由图设函数的解析式，代入已知点，解出解析式；

（2）设收益，分别计算分段函数在每个区间的最大值，进行比较，得整个函数的最大值.

【详解】（1）由图二可设种植成本与时间的函数关系为

，

由图知点（50，150）在函数图像上，所以有

，解得，

，.

（2）设时刻的纯收益为，则由题意得

，

即       

当时，配方整理得

，

所以，当=50时，取得区间上的最大值100；

当 时，配方整理得

，

所以，当时，取得区间上的最大值87.5；

综上，由100>87.5可知，在区间上可以取最大值100，

此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

26．某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76

78  86  95  66  97  78  88  82  76  89

B地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82

93  48  65  81  74  56  54  75  65  79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的频率分布表．

A地区用户满意度评分的频率分布表：

B地区用户满意度评分的频率分布表：

(2)求40名用户对产品的满意度评分的中位数．

(3)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为二个等级：

已知A地区用户满意度评分为不满意等级，B地区用户满意度评分为满意等级．现从A地区满意度评分为不满意等级和B地区满意度评分为满意等级的用户中随机各抽取一个用户进行问卷调查，求用户和恰有一个被抽中的概率．

【答案】(1)填表见解析

(2)75.5

(3)

【分析】（1）根据题意完成表格即可；

（2）根据中位数的定义求解即可；

（3）用列举法列出所有的基本事件，再利用古典概型的公式求解即可.

【详解】（1）A地区用户满意度评分的频率分布表：

B地区用户满意度评分的频率分布表：

（2）40名用户对产品的满意度评分的中位数.

（3）A地区满意度评分为不满意等级的用户共有6户，记为，，，，，；

B地区满意度评分为满意等级的用户共有6户，记为，，，，，.

记A表示事件：用户和恰有一个被抽中.则所有样本点是：

所以样本点总数有，

其中A事件包含的样本点数为，

所以.

27．已知函数．

(1)当函数有两个零点时，求实数的取值范围；

(2)若是偶函数，求使 恒成立的实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，将条件转化为在有两个零点，列出不等式组，求a的取值范围；

（2）由是偶函数得，令，将条件转化为在上恒成立，再令，将问题转化为求的最大值.

【详解】（1）令，则，

，

所以题设等价于方程在有两个不等实数根，

令，

则，

解得的取值范围是.

（2）因为是偶函数，

所以，即，，

所以，

令，则，当且仅当时取等号，

所以，，

则，即，

令，则

因为函数在是增函数，

所以函数在取得最大值，

所以的取值范围是.

【点睛】本题多次使用换元法简化问题，注意每次换元后新未知数的取值范围.