2021-2022学年广西玉林市第十一中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

2．在中，，，则（    ）

A．30° B．60° C．60°或120° D．120°

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得.

【详解】∵，，，

∴根据正弦定理，得：

，

又，得到，即，

则或．

故选：C

3．已知平面向量，且，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.

【解析】1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.

4．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为(　   　)

A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i

【答案】C

【详解】

，选C.

5．在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a＝5,b＝4, ,则△ABC的面积是

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【分析】由题意首先求得sinC的值，然后利用面积公式求解△ABC的面积即可.

【详解】因为，，所以，

所以的面积.

本题选择B选项.

【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

6．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可设，且，根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，非零向量，满足，

可设，且

因为，可得，解得，

则，

又因为，所以，所以与的夹角为.

故选：A.

7．已知单位向量，满足，则（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据模的运算先求出，进而解出.

【详解】由题意，，由，所以.

故选：C.

8．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为（    ）

A．15 km B．30 km

C．45 km D．60 km

【答案】B

【分析】在△AMB中直接应用正弦定理求解．

【详解】

如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，

所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.

在△AMB中，由正弦定理，得＝，

解得BM＝30，

故选:B.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．

二、多选题

9．四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.

【详解】如图，

A：，故A错误；

B：，故B正确；

C：，故C错误；

D：，

由，得，

所以，故D正确.

故选：BD

10．已知向量，，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】设，由、求出的坐标，求出可判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；计算出可判断C；计算出，可判断D.

【详解】设，

因为向量，，

则，解得，所以，

对于A，因为，故A错误；

对于B，因为，故与不共线，故B错误；

对于C，，所以，

所以，故C正确；

对于D，，，所以，故D错误.

故选：ABD..

11．在中，若，下列结论中正确的有（    ）

A． B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为

【答案】ACD

【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.

【详解】根据正弦定理由，因此选项A正确；

设，所以为最大角，

，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确；

，显然为锐角，

，

因此有，因此选项C正确；

由，

外接圆的半径为：，因此选项D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.

12．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是    （    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是锐角三角形

【答案】AC

【分析】对于A．利用正弦定理证明△ABC是等边三角形，故A正确；

对于B，利用正弦定理化简得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，利用正弦定理和三角恒等变换化简得△ABC是等腰三角形，故C正确；

对于D，利用余弦定理化简得角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．

【详解】对于A．若，则，，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；

对于B，若，则由正弦定理得，

，则或，即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，若，则即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；

对于D，△ABC中，∵，∴，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．

故选：AC．

三、填空题

13．若复数，共中i为虛数单位，则z的虚部是________．

【答案】

【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以z的虚部是，

故答案为：

14．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.

【答案】

【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.

【详解】由，又A，C，D三点共线，

所以且，则，可得.

故答案为：

15．已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________.

【答案】 ##

【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.

【详解】由､均为单位向量，，

得：，即，

所以，

故答案为：

16．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______．

【答案】

【分析】由正弦定理将边化角，再根据二倍角公式，可得或．又由余弦定理可得，进而可求的面积．

【详解】解：由，由正弦定理可得，

，又，，

或，

或．

又，可得，

，，

当时，为等边三角形，故，

当，又，不符合题意，

故的面积为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数．

(1)求z的共轭复数；

(2)若，求实数a，b的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可；

（2）根据复数相等的定义进行求解即可.

【详解】（1），

所以z的共轭复数为；

（2）.

18．已知，，的夹角是60°，计算

(1)计算，；

(2)求和的夹角的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；

（2）先求出，根据向量夹角关系即可求出.

【详解】（1）由题可得，

，所以；

（2），

设和的夹角为，

所以.

19．已知，

(1)求；

(2)设，的夹角为，求的值；

(3)若向量与互相垂直，求的值

【答案】(1)；

(2)；

(3)

【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；

（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；

（3）求出向量与的坐标，利用坐标表示即可求解.

【详解】（1）因为，，所以.

（2）因为，

所以.

（3）由，可得，

，

因为向量与互相垂直，

所以，

即，解得：.

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，利用三角恒等变换，即可求得答案；

（2）利用余弦定理结合条件求出边长a，c，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）∵ ,

∴ ,

即2sinAcosB+sin（B+C）＝0，

即，

, ;

（2）由b＝，a+c＝4，

可得，

即12＝16﹣2ac+ac，则ac＝4，

又a+c＝4，

∴a＝c＝2，

则△ABC的面积．

21．在中，角的对边分别为，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且三角形周长为10时，求面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由平行向量的坐标关系，得到边角等量关系，利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简，求出，即可求解；

（2）由已知可得，再由结合余弦定理，求出，进而求出面积.

【详解】（1），所以，

由正弦定理得，

，由，

由于，因此，

所以，由于，

（2），且三角形周长为10，

由余弦定理得

，

因此面积，

因此面积为.

【点睛】本题以向量坐标为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，以及求三角形的面积，考查计算求解能力，属于中档题.

22．已知复数，其中，为虚数单位.

（1）若为纯虚数，求的值；

（2）定义，是否存在，使得? 若存在，求出；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在

【分析】（1）根据为纯虚数列式，由此求得的值.

（2）根据复数能比较大小列不等式组，由此求得的值.

【详解】（1）由于为纯虚数，

所以.

（2）依题意，

即，，

，

，

所以，解得.