2022-2023学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据公式法解绝对值得即可解决.

【详解】由题知，，

因为，即，

所以，

所以.

故选：B

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“”的否定为“”.

故选：A

3．如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.

【详解】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；

，故C错误；，故D正确.

故选：D

4．为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．甲得分的极差比乙得分的极差小

B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小

C．甲得分的方差比乙得分的方差大

D．甲得分的分位数比乙得分的分位数大

【答案】C

【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决.

【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38，

极差为，

平均数，

方差，

因为，所以得分的25%分位数为16，

乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37，

极差为，

平均数，

方差，

因为，所以得分的25%分位数为22，

所以ABD错误；

故选：C

5．已知，则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.

【详解】由，

所以.

故选：B

6．已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，

则，，

因为与相互独立，所以与也相互独立，

则甲、乙都不击中靶心的概率为，

所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.

故选：A

7．“”是“”成立的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由对数函数的性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.

【详解】当时，则有成立，充分性成立；

当时，则有成立，必要性成立.

故“”是“”成立的充分必要条件.

故选：C

8．已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用题意先得到，，然后利用奇函数的定义进行判断即可

【详解】由可得，，

对于A，令，定义域为，

因为，所以不是奇函数，故A错误；

对于B，令，定义域为，

因为，所以是奇函数，故B正确；

对于C，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C错误；

对于D，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误；

故选：B

9．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图像分析，即可得到答案

【详解】由题图知,当时, 无人机做匀加速运动,,“速度差函数”;

当时, 无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”;

当时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函数”;

当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”.

所以函数在和两个区间上都是常数.

故选：C

10．已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：

①对于任意，若，则；

②对于任意，若，则.

若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.

【详解】令且，，如下表行列分别表示，

集合可能元素如下：

则，

若，不妨令，下表行列分别表示，

由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；

若，则，下表行列分别表示，

由，而，且，

要使中元素不超过4个，只需，

此时，

显然，即，则，即且，故，

所以，即，

而，故，共7个元素.

故选：C

【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.

二、填空题

11．某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人.现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为__________.

【答案】8

【分析】利用分层抽样直接求解.

【详解】从80人中抽取20人，抽样比为，所以应从初中部抽出的人数为.

故答案为：8.

12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.

【答案】

【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得结果.

【详解】由图知：，则，

又，则.

故答案为：

13．已知函数的定义域为，满足，且在上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是__________.（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据幂函数的性质可得.

【详解】的定义域为，想到作分母，

，说明函数为偶函数，所以的指数为偶数，

所以想到幂函数，验证在单调递减成立.

故答案为：（答案不唯一）

三、双空题

14．已知函数，则__________；的最小值为__________.

【答案】     4     -1

【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.

【详解】，

在区间内单调递减，故在上无最小值，且

在区间内单调递增，故，

故答案为：-1

15．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________.

【答案】     ##    

【分析】由频率和为1列方程求参数a，由图知数量不少于10本的频率为，进而求人数.

【详解】由直方图知：，

所以，

则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人.

故答案为：，

16．已知定义在上的函数，则的零点是__________；若关于的方程有四个不等实根，则__________.

【答案】     和    

【分析】令结合即可求出零点，将转化为与有四个不同交点，画出函数图象并令，易知、分别是、的两个根，进而求.

【详解】令，则，即，可得或，

又，故的零点是和；

由有四个不等实根，即且与有四个不同交点，

因为，当且仅当时等号成立，

结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，

综上，和上，上，

则、上递减，、上递增，

所以函数图象如下，由图知：，

又，则，解得，

若，则，

故，，

所以是的两个根，是的两个根，

则，故.

故答案为：和，

四、解答题

17．如图，在中，.设.

(1)用表示；

(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；

（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.

【详解】（1）由题图，，

.

（2）由，

又，所以，故三点共线.

18．已知集合.

(1)求；

(2)若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；

（2）由可分类讨论与时画图分析即可.

【详解】（1）∵

∴

（2）∵

∴①当时，，解得：，

②当时，即：，

∴或

∴

∴综述：.

19．为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y（单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）之间的函数关系式为.

(1)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？

(2)当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？

【答案】(1)每月投入的研发费用的范围是万元

(2)每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.

【分析】（1）根据题意得到，然后解不等式即可求解；

（2）利用基本不等式即可求解

【详解】（1）根据题意，，

因为

所以不等式转化为化简可得，解得

所以每月投入的研发费用的范围是万元

（2）因为，所以，

因为，当且仅当，即时，取等号，

所以当且仅当时，取得最大值.

所以每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.

20．2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.

为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.

(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；

(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；

(3)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断和的大小.（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件列举出满足事件的样本点，即可算出概率；

（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可

（3）比较和新加入的数，即可得到结论

【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共15个样本点.

设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件

则，共4个样本点，所以

（2）“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为,共10个样本点.

设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月”为事件B，则，共3个样本点，

所以

（3）易得2022年5月计算神舟一号到神舟十三号的平均数小于6个月，

年12月30日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比要大，故会拉高平均数，所以

21．设有限集合，对于集合，给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.

(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）

(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；

(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.

【答案】(1)A为的封闭子集，B为E的开放子集

(2)9

(3)

【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；

对于（2），，设.

因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可；

对于（3），因，且为奇数，当时，得；

当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可.

【详解】（1）对于A，因，

且，则A为E的封闭子集；

对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集；

（2）由题：，

设.

因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.

得，，，

.因，则.

若，则，则在A中存在元素，使它们的和为.

又，则当时，，

得，则在A中存在元素，使它们的和为.

又当时，，得，则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数，且，故不存在元素，使，这与集合A为的封闭子集矛盾，故.

当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9；

（3）因，且为奇数，当时，得；

当，将里面的奇数组成集合A，则，

因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为.下面说明为最大值.

时，显然成立；当，若，则中至少有一个属于的偶数，设为，则，得为属于集合中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故.

综上：的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.

（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.