2022-2023学年广东省广州市第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第四中学高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第四中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知全集,且,则集合的真子集的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可.【详解】解:由题知, ,所以,所以集合的真子集有:,共3个.故选:B2．已知命题p：“”，则为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p：“”，的否定为：．故选：C．3．若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可.【详解】由三角函数的定义可得：，解得，故选：A4．要得到函数的图象,只需将的图象（    ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】将写为,根据三角函数的平移变换即可得出选项.【详解】解:由题知,所以由变到只需向左平移个单位,故由变到只需向右平移个单位.故选:B5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是以经过分钟后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么的值约等于（    ）（参考数据：）A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40【答案】D【分析】根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可.【详解】由题意可得，，，代入可得：，即，所以，解得，故选：D6．若是方程的两个根，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.【详解】因为是方程的两个根，由韦达定理得，，所以，故选：C7．下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是（    ）A． B．C． D．中至少有一个不为零【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于选项A，取，，则，但，所以不是的充分条件，A错误；对于选项B，取，则，但是，所以不是的充分条件，B错误；对于选项C，因为不等式的解集为，所以由可推出，但由不能推出，所以是的充分不必要条件，C正确；对于选项D，由可推出中至少有一个不为0，由中至少有一个不为0能推出，所以是中至少有一个不为0的充分必要条件，D错误；故选：C.8．若定义在上的偶函数，对任意的，且，都有且，则满足的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得在上单调递增，根据偶函数的性质可得在上单调递减，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；【详解】因为函数满足对任意的，且，有，即在上单调递增，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减，又，所以，函数的大致图像可如下所示：所以当时，当或时，又不等式等价于或，解得或，即原不等式的解集为；故选：D. 二、多选题9．已知，且，则下列不等式恒成立的有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例．【详解】，且，则，，，A错误；，则，B正确；，则，C正确；与不能比较大小．如，此时，，D错误．故选：BC．10．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用三角形内角和为及诱导公式逐项判断即可.【详解】，A错误；，B正确；，C正确；，D正确；故选：BCD11．下列4个函数中，零点个数为2的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于ACD，构造两个函数，分别作出两函数的图象，根据函数图象交点的个数即可得出函数零点的个数，根据零点的存在性定理即可判断B.【详解】解：对于A，令，则有，作出函数的函数图象，由图可知两函数有两个交点，即函数有2个零点；对于B，当时，函数都是增函数，所以函数在上递增，又，所以函数在上有且只有一个零点，又因，所以函数的零点不止2个；对于C，令，则，作出函数的函数图象，由图可知两函数有两个交点，即函数有2个零点；对于D，令，则，作出函数的函数图象，由图可知两函数有两个交点，即函数有2个零点.故选：ACD.12．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．的值域为 B．的最小正周期为C．在上单调递增 D．的对称轴为【答案】BC【分析】作出函数的图象，结合函数图像逐一判断即可.【详解】解：如图，作出函数的图象，由图可知函数的值域为，故A错误；函数的最小正周期为，故B正确；函数在上单调递增，故C正确；函数的对称轴为或，故D错误.故选：BC. 三、双空题13．在扇形中，已知半径为4，弧长为12，则圆心角是__________弧度，扇形面积是__________．【答案】     3     24【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径的关系可求得圆心角的值，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】由已知可得，该扇形的圆心角弧度，面积,故答案为：3；24 四、填空题14．__________．【答案】4【分析】根据根式的性质，指数幂的运算性质和对数的运算性质运算即可.【详解】因为，，，，所以，故答案为：4.15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________．【答案】【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，，且，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.因为恒成立，所以，.故答案为：.16．若函数存在最大值和最小值，记，侧____________．【答案】16【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案.【详解】，令则，即为奇函数，由此故故答案为：16. 五、解答题17．已知集合．(1)若时，求；(2)时，求a的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）直接代入得到集合，利用并集含义即可得到答案；（2）根据，而，则，解出即可.【详解】（1）时，，或.（2）因为，又，∴∴，故a的取值范围.18．设且，且．(1)求实数的值及函数的定义域；(2)证明的奇偶性，并求函数在区间上的最值．【答案】(1)，(2)证明见解析， 【分析】（1）由对数函数的运算性质及定义域求解即可；（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可.【详解】（1）由可得，解得，所以函数，则满足，解得，所以函数的定义域是.（2）由题意，函数的定义域为关于原点对称，，即，所以为奇函数，因为，法一：设任意的，有则因为，所以，所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增所以在区间上单调递增法二：设，可得函数在区间上单调递增，根据复数函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，.19．百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中．(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围：(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．【答案】(1)(2)a的最大值为6.5 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解；（2）分别求出网店销售的利润和技术指导后养羊的利润，再分离参数结合基本不等死即可得出答案.【详解】（1）解：由题意，得，整理得，解得，又，故；（2）解：由题意知网店销售的利润为万元，技术指导后，养羊的利润为万元，则恒成立，又，∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，所以，∴，即a的最大值为6.5．20．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值；(3)若为锐角，，求的值．【答案】(1)；(2)最大值为2，最小值为；(3). 【分析】(1)化简函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间；(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值；(3)由条件可求，利用同角关系求，然后利用算出答案即可.【详解】（1）由已知．令，解得故函数的单调递增区间为（2）由，可得所以，故，所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，函数在区间上的最小值为-1，此时，即，（3）由，可得，因为，可得，．.21．一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；（2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：设，由，，可得，所以.，，，由题意可知，函数的最小正周期为，，所以点距离水面的高度关于时间的函数为；（2）由，得，令，则，由，解得，又，所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.22．已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．(1)求函数的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；(3)若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由二次函数的对称轴可知在上单调递增，将最值代入求解即可；（2）利用分离参数法将不等式转化为，求的最小值即可；（3）函数有三个零点，即方程有三个实根，解一元二次方程得或，作出图像数形结合即可求解.【详解】（1）二次函数对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，解得．所以．（2）所以存在使不等式成立，且，转化为存在使不等式成立，令，所以不等式化为，即，因为，因为，所以，所以实数的取值范围．（3）依题意有三个零点，即方程有三个实根，方程有三个实根，令，则，即，即，则，作出函数的图像如图所示：直线与曲线有且仅有1个交点，所以要使有三个零点，则直线与曲线有2个交点则，所以，以实数k的取值范围为．