2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】题中阴影部分表示的集合为，求解即可.【详解】因为集合，集合，而题中阴影部分表示的集合为，则.故选：C.2．若命题P：“，”，则为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用存在量词命题的否定，直接写出作答.【详解】命题P：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以为：，.故选：D3．下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性，逐项分析判断作答.【详解】对于A，函数定义域为R，且在R上单调递减，A不是；对于B，函数定义域为，定义域关于数0不对称，即不是奇函数，B不是；对于C，函数定义域为R，且，即函数是奇函数，而函数在R上单调递增，因此C是；对于D，函数定义域为R，而，即函数不是奇函数，D不是.故选：C4．已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用不等式的性质判断B作答.【详解】，，，且，取，则有，，选项A，C都不正确；由不等式性质知，不等式一定成立，B正确；取，则，D不正确.故选：B5．设，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.【详解】，，即，，因此，即D正确.故选：D6．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，则的值是（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质结合对数运算作答.【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，，所以.故选：A7．某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是（    ）A．, B．, C．, D．,【答案】C【分析】求出频率直方图中年龄在的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出即可.【详解】解:由图知,年龄在的小矩形的面积为:,即年龄在的频率为,所以年龄在的人数,由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得:,解得:.故选:C8．已知，：方程有实数解，：，则是的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件【答案】B【分析】求出命题p为真的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为方程有实数解，则有，解得或，因此p：或，显然，即有命题q成立，命题p必成立，而命题p成立，命题q未必成立，所以是的必要而不充分条件.故选：B9．溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算这种苏打水的值．（精确到 0.001）（参考数据：）（    ）A．8.699 B．8.301 C．7.699 D．6.602【答案】B【分析】直接利用所给公式计算求解即可．【详解】由题意得苏打水的为．故选：B10．已知是偶函数，函数对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.【详解】因为是偶函数，即的图象关于对称.所以的图象关于对称.因为函数对任意，且，都有成立，所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，，所以在为减函数，且.用折线图表示函数的单调性，如图所示：由图知：.故选：D. 二、填空题11．函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．12．某学校高一有280名学生，高二有200名学生，高三有120名学生，用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查，则从高一学生中应抽取______人．【答案】28【分析】由分层抽样的定义计算即可.【详解】由分层抽样的定义，高一学生中应抽取人数为.故答案为：2813．已知，则的最小值为___________.【答案】【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．已知函数，则下列命题正确的有______．（写出所有正确命题的编号）①对于任意，，都有成立；②对于任意，，且，都有成立③对于任意，，且，都有成立；④存在实数，使得对于任意实数，都有成立．【答案】②③【分析】利用指数的运算性质，容易判断①不正确，结合指数函数的图像和性质，可判断②正确，④错误，利用基本不等式易证③成立.【详解】，①不正确.单调递增，②正确.，，所以③正确.若对于任意实数，都有成立，则关于对称，显然④不正确.故答案为：②③ 三、双空题15．已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】          【分析】根据得此时，根据解析式先求得值，再求解的值即可；函数有三个零点，即有三个根，结合函数解析式初步判断可得，画出函数图象，结合图象分析列不等式即可得实数的取值范围.【详解】解：当时，，所以，则；若函数有三个零点，即有三个根，又，则在上有两个根，所以，在上有一个根，如下图得此时的大致图象：则根据有三个根可得：，解得，则实数的取值范围是.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题考查分段函数求值与分段函数零点问题，属于压轴题.解决本题中零点问题的关键是分析分段函数两段函数性质，由于，是一次函数与二次函数分段问题，要求有三个根，结合二次函数在上的性质可初步判断，避免对进行符号讨论，即可得出分段函数的大致图象，结合图象列不等式可求得参数范围. 四、解答题16．已知集合，．(1)当时，求，，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，，；(2). 【分析】（1）化简集合A，把代入，再利用补集、交集、并集的定义求解作答.（2）利用（1）中信息，结合给定的交集结果，列式求解作答.【详解】（1）解一元二次不等式得：，即，当时，，所以，，.（2）由得：，由得：，而，于是得，所以实数的取值范围.17．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．(1)求甲乙两队都答对此题的概率；(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件，则，结合相互独立事件同时发生的概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【详解】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，故.故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.18．已知函数(1)若不等式的解集为，求的最小值；(2)若且，求方程两实根之差的绝对值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定一元二次不等式解集，求出函数的解析式，再求出二次函数最小值作答.（2）根据给定条件，求出函数的解析式，再求出方程的二根即可作答.【详解】（1）不等式，即的解集为，于是得是方程的二根，即有，且，解得，因此，当且仅当时，，所以函数的最小值是.（2）因为且，则有，解得，因此，方程，即的二根为，所以程两实根之差的绝对值为.19．已知函数，，若(1)求值；(2)判断函数的奇偶性，并用定义给出证明；(3)用定义证明在区间上单调递增．【答案】(1)；(2)奇函数，理由见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）将给定自变量及对应函数值代入计算即可.（2）利用奇偶函数的定义直接判断作答.（3）利用函数单调性定义，按步骤推理作答.【详解】（1）函数中，因为，则有，解得，所以.（2）由（1）知，函数是奇函数，函数定义域为，，所以函数是奇函数.（3），且，，因为，则，即有，因此，所以在区间上单调递增.20．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．(1)若，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则______，______．（填“>”或“<”）(2)若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．【答案】(1)<，>；(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.【详解】（1）由茎叶图知，，，所以<；，，所以>.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为，把他们记为，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：，共10个，恰有1人成绩优秀的事件有：，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有：，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.21．已知函数是定义域为的奇函数，且(1)求实数和的值；并判断在上单调性；（不用写出单调性证明过程）(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，在上单调递增(2)(3) 【分析】（1）根据奇函数和即可求出和的值，有定义法即可得出在上单调性.（2）根据奇函数和单调递增求出，分类讨论前的系数是否为0，即可求出实数的取值范围（3）根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意在中，函数是定义域为的奇函数，∴解得，此时满足题意，∴设,在中，函数单调递增，∴∴∴在上单调递增（2）由题意及（1）得在中，函数是奇函数，恒成立∴恒成立∵函数单调递增∴即恒成立当即时，，解得：，不恒成立，舍去.当即时，恒成立在中，若则需开口向上， ∴解得综上，实数的取值范围为（3）由题意及（1）（2）得在中，函数单调递增对于任意的，存在，使成立，∴函数在单调递增∴则存在，使成立，当时，在定义域内单调递减，∴满足题意当时，在定义域内单调递增且解得：综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性.