2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】若 ，则角为第一或第二象限角或y轴正半轴角，

若角为第一或第二象限角，则，

故“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件，

故选：B

2．已知，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据不等式的性质证明即可. 不成立的可举反例说明.

【详解】因为，，的大小无法确定，A，B均不正确；取，，得，所以C不正确；可得，所以，故D正确.

故选：D.

3．已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解.

【详解】令，则，

所以函数（，且）的图象恒过点，

又角的终边经过点，

所以，

故选：B

4．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为

A． B． C．39 D．

【答案】D

【分析】根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.

【详解】设下底面的长宽分别为，有

则“刍童”的体积为,

当时，“刍童”的体积取最大值，选D.

【点睛】研究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性,进而确定最值取法.

5．已知幂函数图像过点,则关于此函数的性质下列说法错误的是(    )

A．在上单调递减

B．既不是奇函数也不是偶函数

C．的值域为

D．图像与坐标轴没有交点

【答案】C

【分析】求出幂函数的解析式,从而判断函数的奇偶性和单调性,即可求得答案.

【详解】设(是常数)

幂函数图像过点

对于A,因为,根据幂函数图像可知:在上单调递减,故A正确;

对于B,因为,可得既不是奇函数也不是偶函数,故B正确;

对于C,因为,可得值域为,故C错误;

对于D,,根据幂函数图像可知:图像与坐标轴没有交点,故C正确.

综上所述, C错误.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了根据幂函数上的点求幂函数解析式,及其判断函数相关性质,解题关键是掌握幂函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

6．已知函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解

【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增

所以在R上单调递增，

令函数，

则函数为奇函数，且在R上单调递增，

故．

故选:A

【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.

7．设函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ）

A．函数的图像关于直线对称

B．函数的图像关于点对称

C．函数在上单调递减

D．将函数的图像向右平移个单位，得到的新函数是偶函数

【答案】D

【分析】根据三角函数的最小正周期，求得的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图像与性质，对四个选项进行逐一排除.

【详解】依题意得，解得，所以.由于，故是函数的零点，所以A选项错误.当时，，故是函数的对称轴，所以B选项错误.由上述分析可知，当时，函数取得最大值，故C选项错误. 函数的图像向右平移个单位，为为偶函数，故D选项正确.

【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图像变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置.

8．定义：若函数的图象上有不同的两点A､B，且A､B两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，点对与看作同一对“镜像点对”，已知函数，则该函数的“镜像点对”有（    ）对.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】作出函数的图像，再作出关于原点的对称图像，利用数形结合即可求解.

【详解】函数的图像如图所示，

易知函数的“镜像点对”数即函数与函数的图像的交点个数，

由图像可得：函数的“镜像点对”有2对.

故选：B.

二、多选题

9．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及，即可求解.

【详解】解：对A，不等式的解集为，

故相应的二次函数的图象开口向下，

即，故A错误；

对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，

则有，，

又，故，故B，C正确；

对D，，

，

又，

，故D正确.

故选：BCD.

10．若角（为弧度制单位），则下列说法正确的是（       ）

A． B．是第三象限角

C． D．

【答案】AC

【分析】根据弧度数，先判断角所在象限，进而可得其正弦余弦的范围及大小关系，从而可得出结果.

【详解】因为，所以为第二象限角，

所以，，，

即BD都错，AC正确.

故选：AC.

【点睛】本题主要考查判定任意角所在象限，以及其三角函数值的符号问题，属于基础题型.

11．已知，.若，则（    ）

A．的最小值为9

B．的最小值为9

C．的最大值为

D．的最大值为

【答案】BC

【解析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值

【详解】A.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，故A不正确；

B. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，故B正确；

C.，当时等号成立，即 时等号成立，故C正确；

D.，当且仅当时等号成立，又因为，解得：时，等号成立，但，所以等号不能成立，故D不正确.

故选：BC

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．下列命题正确的是（    ）

A．函数的图象过定点

B．已知，，则

C．若，则a的取值范围是

D．为偶函数

【答案】CD

【分析】由函数的奇偶性、对数函数及指数函数的性质对选项逐一判定即可求得结果.

【详解】对于A：令，则，故A错误；

对于B：因为，所以，又得，两式相乘得，即，故B错误；

对于C：因为即；若则，与矛盾；

若则，故a的取值范围是，故C正确；

对于D：函数的定义域为关于原点对称，，则为偶函数，故D正确.

故选：CD

三、填空题

13． _____ .

【答案】

【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现计算错误

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）

14．函数的最小值是______．

【答案】

【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值．

【详解】解：函数

．

当且仅当，即有，取得等号．

则函数的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．

15．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得的范围，得到的对称性，再判断的范围，利用数形结合求解.

【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知恰有三个不同的解时，设，令，可得，根据对称性可知关于对称，所以，又因为，所以.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，利用三角函数的对称性得到，再结合图像判断的范围.

四、双空题

16．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是______；函数的零点的个数是______．

【答案】          2

【分析】从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数的零点的个数就是的解的个数．

【详解】解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，

∵当点P在BC的中点上时，即三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，取得最小值；当P在点B或点C时，取得最大值

∴函数的图象的对称轴是；

，即．故函数的零点的个数就是的解的个数．而由题意可得的解有2个，

故答案为；.

【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．

五、解答题

17．已知，集合，.

（Ⅰ）若a=4，求，；

（Ⅱ）若，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）将代入，分别求得集合，然后根据交集、补集的概念可得结果.

（Ⅱ）依据题意，然后讨论的范围可得结果.

【详解】（Ⅰ）当a=4时，

集合

所以或

（Ⅱ）因为，所以，有（Ⅰ）可知

又

所以当时，，符合题意

当时，，又，所以且

综上所述：

18．某同学用“五点法”画函数(其中A>0，0>0，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：

（1）请根据上表中的部分数据，求出函数f(x)的解析式；

（2）若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由表中数据可得周期及A、B、的值；

（2），讨论的正负，根据的最大值、最小值可得答案.

【详解】（1）由题，函数的周期，

所以，

由，得，故，

由表可知，，得，所以.

（2）由（1）可知，

由，得，所以；

当时，的最大值是，最小值是，

解得；

当时，的最大值是，最小值是，

解得，

综上，；或.

【点睛】本题考查了由三角函数图象上的点求解析式及利用单调性参数的问题，要正确分析表中数据，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，考查了学生的计算能力.

19．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知型火箭的喷流相对速度为．

（1）当总质比为410时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1．5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．

参考数据：，．

【答案】（1）最大速度约为；（2）340.

【分析】（1）由，代入计算；

（2），总质比变为．由，求出的范围可得．

【详解】解：（1）当总质比为410时，．

由参考数据得，

当总质比为410时，型火箭的最大速度约为．

（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，

型火箭的喷流相对速度为，总质比变为．

要使火箭的最大速度至少增加，则需．

化简，得．

，整理得．

，则．

由参考数据，知．

．

材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，关键是确定已知函数式中各变量的含义，在已知条件中找到各变量的值，根据要求列式（方程或不等式），代入计算即可．

20．已知

(1)求的解析式，并求函数的零点；

(2)若，求；

(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)，零点为

(2)7

(3)4

【分析】（1）由换元法带入求解的解析式，再令解出即得零点；

（2）由（1）知的解析式，令化简，再代入中即可求得结果；

（3）首先分离参数，转化成基本不等式即可求得实数的最大值.

【详解】（1）令，则，

因此，即.

由得，解得，

即函数的零点为.

（2）由（1）知，

因此由得，

所以.

（3）由条件知.

因为对于恒成立，

且，当且仅当时取等号，

所以对于恒成立.

而，

当且仅当即时，等号成立，

所以，因此实数的最大值为4.

21．设，，且.

证明：(1) ；

(2) 与不可能同时成立．

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.

(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.

试题解析：

由,,得.       

(1)由基本不等式及,有,即

(2)假设与同时成立,               

则由及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.

故与不可能同时成立.          

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

22．已知，，函数.

（1）若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）首先直接求方程的实数根据，再根据根的分布，直接求的取值范围；（2）方法①先证明，再证明，转化为讨论函数的最值问题；方法②首先利用函数性质可知所以，

，，再将函数转化为，利用含绝对值不等式的性质证明.

【详解】（1），

所以或，则，

即，所以.

（2）法①先证，

因为，

所以，，，

因为，所以，

即成立；

下证，

因为，对称轴为，

①，即时，

在上单调递增，

所以，

；

②，即时，

在上单调递减，

所以，

；

③，即时，

，

所以

，

当时，，

当时，

令在单调递增，

又因为，所以，

综上当时，.

法②：因为，

所以，，

得，

所以，

，，

于是

.

由得，

所以

.

【点睛】方法点睛：本题考查二次函数根的分布，以及含绝对值不等式的证明方法，二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.