初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用综合训练题

人教版数学九下 《28.2解直角三角形及其应用》同步测试卷

A卷

答案解析

一．选择题、（共30分）

1.在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（　　）

A．4 B．8 C． D．

【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB＝10，，

∴BD＝ABcosB＝10×＝4，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD＝8，

故选：B．

2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

【解析】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，

∵P（3，4），

∴OA＝3，AP＝4，

∴OP＝＝＝5，

在Rt△OAP中，sinα＝＝，

故选：B．

3.如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（　　）

A．6cosα B． C．6sinα D．

【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6米，∠ABC＝α，

∵cos∠ABC＝，

∴AB＝＝，

故选：B．

4.如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（　　）

A．80海里 B．120海里 

C．（40+40）海里 D．（40+40）海里

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，

∴AD＝CD＝×40＝40（海里），

在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，

∴BD＝AD＝40（海里），

∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，

故选：D．

5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，则坡面AB的长度（　　）

A．12m B．18m C．6 D．12

【解析】解：∵迎水坡AB的坡度为i＝1：，坝高BC＝6m，

∴

即

解得AC＝6，

∴AB＝＝m，

故选：A．

6.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．

【解析】解：连接CD，

由图可得：CD⊥AB，

由题意得：CD＝＝，

AC＝＝2，

在Rt△ACD中，sin∠BAC＝＝＝，

故选：D．

7.将一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥FD于M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝，

∴BC＝AC＝，

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝，

∴CM＝BM＝6，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴MD＝，

∴CD＝CM−MD＝．

故答案为：C．

8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA，则AD的长为（　　）w

A．2 B． C． D．1

c·n·j·y

【解析】作DE⊥AB于E，如图，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，

∴△ACB为等腰直角三角形，ABAC＝6，

∴∠A＝45°，

在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，ADx，

在Rt△BED中，tan∠DBE，

∴BE＝5x，

∴x+5x＝6，解得x，

∴AD2．

故选：A．

9．t△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C，则线段AC的长为（　　）

A．10 B．8 C． D．

【解析】∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，

∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C．

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，

∵tan∠BAD，

∴AD＝2BD＝4，

∴AB2．

在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，

∵tan∠C，

∴AC＝2AB＝4．

故选：D．

10.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．   C．   D．

【答案】B

【解析】【解答】解：连接OC、AC，作CD⊥OA于D，

∵OA＝OC＝AC，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠OAC＝60°，

∵CD⊥OA，∠CDO=90°，OD=AD=，

∴CD=OD×tan60°=，

S△OAC＝，

∴∠BOC＝30°，

，

S扇形OAC＝，

则阴影部分的面积＝﹣（﹣）＝﹣，

故答案为：B.

二．填空题（共24分）

11.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　　．

【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠ADC＝90°，由勾股定理得：

AC5，

∴sin∠BAC．

故答案为：．

12.△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，P为线段AB上一点，且CP，则sin∠PCA的值为　　．

【解析】如图，作PD⊥AC于点D，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，

∴AB4，

在Rt△CBP中，CP，BC＝3，

∴BP，

∴AP＝AB﹣BP，

∵sin∠A，

即，

∴PD，

∴sin∠PCA．

故答案为：．

13.如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC，则sinB的值为　　．

【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．

在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝41，

∴AD；

在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD，

∴AB2，

∴sinB．

故答案为：．

14.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？　     　．（结果保留根号）

【答案】 米

【解析】【解答】解：设 米

在 中， ，则

在 中， ，则

，即 ，解得

即 米

故答案为 米

15.某楼梯的侧面如所述，测得，，则该楼梯的高度　     　.

【答案】

【解析】【解答】解：在△ABC中，

∵，，

∴.

故答案为：.

16.如图甲、乙两艘船同时从港口A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是　     　海里．

【答案】

【解析】【解答】

解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，

∴∠CDB=90°，

∵甲船沿北偏东45°的方向前进，

∴∠NAB=45，

∵乙船沿北偏东75°的方向前进，

∴∠NAC=75，

∴∠BAC=75°-45°=30°

∵B在C的正西方向，

∴∠ACB=90°-75°=15°，

∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，

∵AC=2×30=60，

∴CD= AC=30，

∴BC= ．

三．解答题（共66分）

17.（6分）（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；

（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．

【解析】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，

∴AB＝＝＝，

∴AC＝ABcos60°＝×＝，

答：，；

（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，

∴tanA＝＝＝，

∴∠A＝30°，

∴c＝2a＝2，

∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，

∴，∠A＝30°，∠B＝60°．

18．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．

（1）求AB的长；

（2）求点C到直线AB的距离．

【解析】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．

∵AB＝AD，

∴BH＝HD＝BD＝2．

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD＝4．

∴HC＝HD+CD＝6．

∵＝，

∴．

∵

＝

＝．

（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．

∵，

∴．

∴．

∴点C到直线AB的距离为．

19.（8分）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

【解答】解：过D作DF⊥AB于F，

则DF＝EB，FB＝DE＝20米，

∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，

∴CE＝3DE＝60（米），

∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），

在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，

∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，

∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），

∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），

即建筑物AB的高度约为68米．

20.（10分）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长．（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）

【解答】解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F．                            

则△ABE和△AFD均为直角三角形．                             

在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝32°，

sin∠ABE＝，（3分）

∴AB＝＝＝40．                                     

∵∠FAD＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠BAE＝∠α，

∴∠FAD＝∠α＝32°．                                         

在Rt△AFD中，cos∠FAD＝，

AD＝＝＝50．                                      

∴长方形卡片ABCD的周长为（40+50）×2＝180（mm）．

21.（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 ，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 ，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知 ． 

（1）求楼间距AB；   

（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？ 参考数据： ， ， ， ， ，

（1）解：如图，  

作 于M， 于 则 ，设 ．

在 中， ，

在 中， ，

，

，

，

的长为50m．

（2）解：由 可知： ，  

， ，

， ，

冬至日20层 包括20层 以下会受到挡光的影响，春分日6层 包括6层 以下会受到挡光的影响

．

22.（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．

（1）求证：点D为的中点；

（2）如果BC＝5，sinC，求AF的长．

、

【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥EC，

∵AE⊥EC，

∴OD∥AE，

∴∠ADO＝∠EAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠EAD，

∴，

即点D是的中点．

（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，

∵∠ODC＝90°，

∴sin∠C，

∴，

解得r，

∵OH⊥AE，EC⊥AE，

∴OH∥EC，

∴∠AOH＝∠C，

∴sin∠AOH＝sin∠C，

∴，

∴AH，

∴AF＝2AH＝9．

23.（12分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；

（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；

（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）

【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】

【解析】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，

设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，

∴AE＝10（米），BE＝24（米）；

（2）过点F作FG⊥AD于点G，

由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，

在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，

∴AG＝18（米），

∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），

答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．