考点精讲

实数的分类及正负数的意义

有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．

无理数：无限不循环小数叫无理数．

实数：有理数和无理数统称为实数．

【微点拨】

常见的无理数有以下几种形式：

（1）“字母”型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；

（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；

（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考点解读

1、平方根

定义1：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。即。

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。

定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、立方根

定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

3、无理数

无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60°等

4、实数

有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。

5、实数的比较大小

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

，

，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

4、实数的运算

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

1、加法交换律        

2、加法结合律        

3、乘法交换律        

4、乘法结合律        

5、乘法对加法的分配律

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

考点突破

1．（2021·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（       ）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对

2．（2021·河北唐山·八年级期中）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在（       ）．

A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上

3．（2021·河北·景县教研室七年级期末）在实数，，，，，，0中，无理数的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2021·河北唐山·七年级期末）若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣ D．

5．（2021·河北保定·八年级期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ）cm2

A．21 B．1 C．86 D．68

6．（2022·河北沧州·八年级期末）若，则a与b的关系是（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·河北唐山·九年级期中）已知，，是，的比例中项，那么为（     ）

A． B． C． D．

8．（2019·河北·石家庄润德学校八年级期中）下列运算中，正确的是（            ）

A．  B． C． D．

9．（2021·河北石家庄·八年级期中）如图，在数轴上表示实数的点可能（       ）．

A．点P B．点Q C．点M D．点N

10．（2021·河北邯郸·八年级期末）若，则的值可以是（       ）

A． B． C．4 D．9

11．（2021·河北唐山·七年级期末）写出数轴上在哪两个邻近的整数之间 ______．

12．（2021·河北邢台·八年级期中）已知实数a，b满足．则（1）当b=1时，a的值是_________；（2）若a，b均为正整数，当b取最大值时，________．

13．（2021·河北承德·七年级期末）计算：＝________________．

14．（2019·河北·丰宁满族自治县黄旗中学七年级阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：

因为：＝1-，＝-，＝-…＝-

所以：+++…+

        ＝（1-）+（-）+（-）+…+（-）

        ＝1-+-+-+…+-

        ＝1-＝

问题：

计算：

①+++…+；

② +++…+

15．（2021·河北唐山·八年级期中）先化简：，然后从0，2，中选择一个合适的数代入求值．

16．（2021·河北张家口·七年级期中）计算：

参考答案与解析：

1．A

【解析】

利用勾股定理可求出OB、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长即可得答案．

【详解】

∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，

∴OB==3，OD==，

∴BD=-3，

∵16＜21＜25，

∴4＜＜5，

∴1＜-3＜2，即BD的长小于2米，

故选：A．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数是解题关键．

2．B

【解析】

根据，得到，根据数轴与实数的关系解答．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴表示的点在线段BO上，

故选：B．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，实数与数轴，正确估算无理数的大小是解本题的关键．

3．B

【解析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

解：是分数，属于有理数；

0.1010010001是有限小数，属于有理数；

=-3，=4，0是整数，属于有理数；

无理数有，，共2个；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有π等及开方开不尽的数．

4．D

【解析】

根据算术平方根、绝对值的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．

【详解】

∵≥0，｜2y+1｜≥0，且+|2y+1|＝0，

∴x﹣1＝0，2y+1＝0，

∴x＝1，y＝﹣，

∴x+y＝1﹣＝，

故选：D．

【点睛】

本题考查了算术平方根、绝对值的非负性，一般地：几个非负数的和为0，则这几个数都为0，掌握这个性质是解答本题的关键．

5．D

【解析】

根据正方形的面积从而求得边长，根据长方形的面积减去2个正方形的面积即可求得空白部分的面积．

【详解】

两张正方形纸片的面积分别为9cm2和8cm2，

它们的边长分别为和 cm，

长方形的长为:，宽为:3 ，

空白部分的面积为-．

故选D．

【点睛】

本题考查了求一个数的算术平方根，实数的混合运算，求得长方形的长和宽是解题的关键．

6．C

【解析】

根据立方根的和为0，可得被开数互为相反数，可得答案．

【详解】

解：若，

则与的关系是，

故选：C．

【点睛】

本题考查了立方根，注意立方根互为相反数被开方数互为相反数．

7．D

【解析】

根据线段比例中项的概念，可得，即可求出的值．

【详解】

解：是、的比例中项，

，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了比例中项，平方根，掌握比例中项的定义是解题的关键．

8．C

【解析】

直接根据二次根式和立方根的性质进行化简即可判断．

【详解】

解：A. ，该选项错误；

B. ，该选项错误；

C. ，该选项正确；

D. ，该选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查二次根式和立方根的化简，熟练掌握二次根式和立方根的性质是解题关键．

9．C

【解析】

确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．

【详解】

解：∵9＜15＜16，

∴3＜＜4，

∴对应的点是M．

故选：C．

【点睛】

本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．

10．A

【解析】

根据立方根的性质解题．

【详解】

故选：A．

【点睛】

本题考查立方根的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

11．3和4

【解析】

根据算术平方根的意义求解即可．

【详解】

解：∵32＝9，42＝16，

∴3＜＜4，

故答案为：3和4．

【点睛】

本题主要考查正方形的面积以及算术平方根，熟练掌握算术平方根式解决本题的关键．

12．     20     5

【解析】

（1）把b=1代入计算即可；

（2）由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即b=4，由此求解即可．

【详解】

解：（1）当b=1时，，

∴，

解得；

（2）∵，a，b均为正整数，

∴

∴当b取最大值时，即b=4时，

∴，

解得a=5，

故答案为：20，5．

【点睛】

本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．

13．

【解析】

先将被开方数化简，可得结果．

【详解】

解：．

故答案为：．

【点睛】

此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的求解方法是解题的关键．

14．①；②

【解析】

①分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为，依此抵消即可求解；

②分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为，依此抵消即可求解．

【详解】

解：①原式=

=

 =

②原式=

=

=

=

=

【点睛】

考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．

15．，1

【解析】

把所给分式化简后，从0，2，中选择一个使分式有意义的数代入计算即可．

【详解】

解：

=

=

=，

∵a=0，2时，分式无意义，

∴a==3，

∴原式=．

【点睛】

本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．也考查了算术平方根的定义．

16．

【解析】

根据乘方的意义，立方根、算术平方根的性质以及绝对值的性质计算即可得答案．

【详解】

．

【点睛】

本题考查了立方根，绝对值，乘方，算术平方根的性质，熟记各知识点的数学意义是解题的关键．