备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破05 一次方程(组)与分式方程

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方程的概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).
（3）求方程的解的过程，叫做解方程.
二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
一次方程（组）的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；
3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；
4.解:解所列的方程(组)；
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；
6.答:注意单位和语言完整.
一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
分式方程
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
考点解读
考点一、一次方程(组)
定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是。
定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。
定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2、等式的性质
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
4、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、方程(组)与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
考点二、分式方程
1、定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
考点突破
1．（2022·河北邯郸·八年级期末）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·河北·景县教研室七年级期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·河北沧州·七年级期末）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．只有①③④D．只有①②③
5．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
6．（2022·河北承德·八年级期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河北邢台·一模）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河北承德·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·河北邢台·七年级期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2021·河北保定·七年级期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·河北唐山·九年级期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则______，原方程的根的情况是______．
12．（2021·河北石家庄·九年级期中）已知实数x、y满足（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣3）＝0，则x2＋y2＝___．
13．（2022·河北邯郸·七年级期末）如图，OD平分∠AOC．∠AOB=82°，∠BOC=（2x+10）°，∠AOD=（3x-12）°，则∠COD=______．
14．（2020·河北石家庄·九年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
15．（2021·河北唐山·八年级期中）若＝2，则分式的值为_______．
16．（2021·河北唐山·八年级期中）已知 是2x﹣y＋4的算术平方根， 是y﹣3x的立方根，试求A＋B的平方根．
17．（2022·河北·石家庄市第八十一中学八年级期末）（1）计算：﹣；
（2）计算：（+3）（﹣3）﹣（–1）2．
（3）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x满足方程．
18．（2021·河北保定·九年级期中）（1）用配方法解方程：；
（2）解方程：．
19．（2022·河北·辛集市教学科研所七年级期末）解方程
（1）
（2）
20．（2022·河北·辛集市教学科研所七年级期末）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
①-②=③
解答下列问题
（1）求纸片①上的代数式；
（2）若x是方程的解，求纸片①上代数式的值．
21．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级阶段练习）某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式．当特色小吃以“外卖”方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%．（注：收入＝销售额﹣服务费）根据以上信息，解决下列问题：
（1）10月份，该餐馆需额外支付的服务费为 元，该月收入为 元；
（2）经调研，该餐馆在10月份“堂食”600份销量的基础上，“堂食”价格每提高1元，“堂食”的销量就减少5份，但提高后的价格不能超过30元/份；“外卖”价格始终保持不变．该餐馆计划11月份只做800份特色小吃，预计全部售完．问“堂食”如何定价，11月份的收入是10760元？
22．（2022·河北保定·九年级期末）我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元．调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用，为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”．设售价为元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．
注：月利润=月总售价-月总进价-其它费用，或月利润=月总销售量×单台利润-其它费用．
（1）当元/台时，___________台，___________元；
（2）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元；
（4）因为新品快要上市了，卖场既要想使该种电器平均每月获利7000元，又想要减少库存，售价应定为多少元．
23．（2022·河北唐山·八年级期末）某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
(1)求购买一个A型垃圾桶需多少元？
(2)若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？
参考答案与解析：
1．D
【解析】
若设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，再分别根据这两数的和为39和两位数放在一位数的前面得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，即可得出方程组．
【详解】
解：设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，依题意得：
，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知正确的表示出两个三位数是解题关键．
2．B
【解析】
设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
【详解】
解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得：，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
3．D
【解析】
根据方程两边都乘以分母的最小公倍数6即可选择答案．
【详解】
解：
方程两边都乘以分母的最小公倍数6，得
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
4．B
【解析】
根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【详解】
解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0，
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c（ac+b+1）=0，
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：x0=，
∴2ax0+b=±，
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
5．D
【解析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
6．B
【解析】
根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答．
【详解】
解：，，，
∴能与合并的是；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义．
7．A
【解析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A、=，故A的值保持不变．
B、，故B的值不能保持不变．
C、，故C的值不能保持不变．
D、，故D的值不能保持不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．A
【解析】
根据二次根式的乘方，二次根式的加减法、以及立方根进行判断即可．
【详解】
解：A、计算正确，该选项符合题意；
B、不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
C、计算不正确，该选项不符合题意；
D、计算不正确，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘方、二次根式的加减以及立方根，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
9．C
【解析】
设“■▲●”的质量分别为，根据题图列出等式，解得，根据第三个图可知，即可求得答案
【详解】
解：设“■▲●”的质量分别为，由图可知
解得
则“？”处应该放3个“●”
故选C
【点睛】
本题考查了等式的性质，解决此题的关键设未知数，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
10．A
【解析】
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
11． ， 有两个不相等的实数根
【解析】
依题意可知，是方程的一个根，代入可求出值，再结合根的判别式，即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】
解：依题意可知：是方程的一个根，
，
，
原方程为．
，
原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：；有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12．3
【解析】
设x2+y2＝a，则原方程变形为（a+1）（a﹣3）＝0，运用因式分解法求得即可．
【详解】
解：设x2+y2＝a，
则（a+1）（a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或a＝3，
当a＝﹣1时，x2+y2＝﹣1，不合题意，舍去；
故x2+y2＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
13．24°
【解析】
根据角平分线定义可得∠COD=∠AOD=（3x-12）°，然后利用∠AOC+∠BOC=∠AOB列出方程可得x的值，进而可得答案．
【详解】
解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=（3x-12）°，
∴∠COD=∠AOD=（3x-12）°，∠AOC=2∠AOD=2（3x-12）°，
∵∠AOB=82°，∠BOC=（2x+10）°，
∴2（3x-12）°+（2x+10）°=82°，
解得：x=12°，
∴∠COD=3×12°-12°=24°．
故答案为：24°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，利用角的和差列出方程得到x的值是解题关键．
14．1
【解析】
由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
15．
【解析】
由＝2，可得，再代入求值即可得到答案．
【详解】
解：，
．
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分式求值，熟练掌握分式的基本性质对分式进行变形是解题的关键．
16．
【解析】
先根据题意列方程组，解方程组求出对应的x和y的值，再计算A和B的值，最后计算其结果．
【详解】
解：由题意得：，
方程组整理，得，，
②﹣①，得3y＝3，解得y＝1，
把y＝1代入①，得x﹣1＝2，解得x＝3，
∴，
，
∴A+B＝3﹣2＝1，
∴A+B的平方根为：．
【点睛】
本题考查了平方根、算数平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算数平方根和立方根的定义是解决本题的关键．
17．（1）；（2）；（3），2．
【解析】
（1）根据二次根式的减法运算计算即可；
（2）利用平方差公式、完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）将括号内通分化简，括号外除法改为乘法，再结合平方差公式，约分即可化简．解分式方程求出x的值，再代入化简后的式子求值即可．
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
．
解方程：，
得：，
经检验是该分式方程的解．
将，代入中，得：．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值以及解分式方程．掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
18．（1），；（2），
【解析】
（1）根据配方法对方程进行配方再解出方程即可．
（2）移项后提取公因式，用因式分解法求出两个解即可．
【详解】
解：（1），，
，即，
则，
，；
（2），，
则，
或，
解得，．
【点睛】
本题考查用配方法，因式分解法解一元二次方程，掌握这些解题方法是解决本题的关键．
19．（1）y=5；（2）
【解析】
（1），
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
；
（2），
去分母，得
3(x+1)-2(3x-2)=6，
去括号，得
3x+3-6x+4=6，
移项，得
3x-6x=6-4-3，
合并同类项，得
-3x=-1，
系数化为1，得
．
【点睛】
本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
20．（1）7x2+4x+4；（2）55
【解析】
（1）根据①=②+③，代入代数式，根据整式的加法运算计算即可；
（2）先解一元一次方程，再将的值代入求解即可
【详解】
解：（1）纸片①上的代数式为：
（4x2+5x+6）+（3x2-x-2）
=4x2+5x+6+3x2-x-2
=7x2+4x+4
（2）解方程：2x=-x-9，解得x=-3
代入纸片①上的代数式得
7x2+4x+4
=7×（-3）2+4×（-3）+4
=55
即纸片①上代数式的值为55
【点睛】
本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，代数式求值，掌握整式的加减运算是解题的关键．
21．（1）900；9600；（2）14元
【解析】
（1）根据“服务费为“外卖”销售额的20%”和收入＝销售额﹣服务费进行计算；
（2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份，根据“11月份的收入是10760元”列出方程并解答．
【详解】
解：（1）根据题意，得
300×15×20%＝900（元）．
（600×10+300×15）﹣900＝9600（元）．
故答案是：900；9600；
（2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份，
由题意知：（600﹣5x）（10+x）+15×[800﹣（600﹣5x）]＝10760．
整理，得x2﹣122x+472＝0．
解得x1＝4，x2＝118．
∵x2＝118＞30，
∴不合题意，舍去．
∴10+x＝14．
答：“堂食”价格定为14元时，11月份的收入是10760元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是解本题的关键．
22．（1）950，3750；（2）y=－10x+1800（80≤x≤180），w=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180）；（3）每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元；（4）售价应定为90元
【解析】
（1）根据题中等量关系直接求解即可；
（2）根据等量关系得出二次函数关系式求解即可；
（3）根据二次函数求最值的方法求解即可；
（4）由w=7000解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）根据题意，当x=85时，月平均销售量y=1000－（85－80）×10=950台，
月平均利润w=950×（85－60）－20000=3750元，
故答案为：950，3750；
（2）根据题意，月平均销售量y=1000－（x－80）×10=－10x+1800（80≤x≤180），
月平均利润w=y×（x－60）－20000
=(－10x+1800)（x－60）－20000
=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180），
即y=－10x+1800（80≤x≤180），
w=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180）；
（3）w=－10x2+2400x－128000=－10（x－120）2+16000，
∵－10＜0，80≤x≤180，
∴当x=120时，w有最大值，最大值为16000，
答：每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元；
（4）当w=7000时，由－10（x－120）2+16000=7000得：x1=90，x2=150，
∵想要减少库存，
∴x=90，
答：售价应定为90元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系正确列出函数关系式是解答的关键．
23．(1)50元
(2)27个
【解析】
（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x＋30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设小区一次性购买A型垃圾桶y个，则购买B型垃圾桶（60−y）个，根据“总费用不超过4000元”列出不等式并解答．
(1)
解：设购买一个A型垃圾桶需元．
根据题意得：
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：购买一个A型垃圾桶需50元．
(2)
解：设购买个A型垃圾桶，
解得：，
答：最少要购买27个A型垃圾桶．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的数量关系列出方程是解决问题的关键．