备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破10 图形初步认识、命题、定理与证明

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角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1
角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
线段、射线、直线的概念及表示方法
1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．
考点解读
考点一：直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
考点二：角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′ 1′=60″ (°、′、″分别是：度、分、秒)
(3)角的分类
①锐角(0°< α < 90°)
②直角(α = 90°)
③钝角(90°< α < 180°)
④平角(α =180°)
⑤周角(α =360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
考点三：命题、定理与证明
定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明
一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
3、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
考点突破
1．（2021·河北·石家庄市第四十一中学七年级期末）如图，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河北·九年级专题练习）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）已知A，B，C三点在同一直线上，，，点E、F分别为线段、的中点，那么等于（ ）
A．15B．12或15C．6或12D．6或15
4．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室七年级期中）如图，点把线段分成两部分，其比为，点是的中点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·河北唐山·八年级期末）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·河北·九年级专题练习）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥
7．（2021·河北·九年级专题练习）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6B．∠2＋∠3＝180°C．∠1＝∠4D．∠5＋∠6＝180°
8．（2021·河北唐山·七年级期中）若∠α＝6.6°，∠β＝6°6′，则∠α___∠β（填：“＞”，“＜”或“＝”）．
9．（2021·河北承德·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC，则的值为____．
10．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，则∠AMB＝___度；过点N的直线l∥BC，则∠1＝___度．
11．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）如果一个角与它的余角之比为，那么这个角与它的补角之比为________．
12．（2021·河北沧州·七年级期中）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则∠1＝______（填角），∠CAD+______（填角）＝180°．若ACDE，则∠2＝______°．
13．（2021·河北·石家庄市第十七中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为B，已知AB＝BO＝4．反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过AO的中点C（2，2），交AB于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求经过C、D两点的直线所对应的函数表达式；
(3)设点E是x轴上的动点，请直接写出使△OCE为直角三角形的点E的坐标．
14．（2021·河北·保定市第十七中学七年级期中）如图，是由小立方块所搭几何体，请你分别画出它从正面、从左面和从上面看到的图形．
15．（2021·河北·辛集市教学科研所七年级期末）如图，平分，F在上，G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵（已知），（______）．
∴______180°（等量代换）．
∴（______）．
∴______（______）．
∵平分，
∴______（______）．
∴（______）．
16．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）已知∠AOB＝90°，
（1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是 °；
（2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）．
（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是 （在稿纸上画图分析，直接填空）．
17．（2021·河北石家庄·一模）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．
（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示___________的点重合；
（2）为数轴上一点，沿过点且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示－3的点与表示1的点重合时，
①点所表示的数为__________；
②若数轴上的，两点也同时重合，且，求点所表示的数．
18．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，猜想折痕EF，EG的位置关系，并说明理由．
19．（2021·河北唐山·七年级期中）如图1，把直角三角形MON的直角顶点O 放在直线AB上，射线 OC平分∠AON．
观察分析：（1）如图1，若∠MOC=28°，则∠BON的度数为 ；
（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON=100°，求∠MOC 的度数．
猜想探究：（3）若将三角形 MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．
20．（2021·河北唐山·七年级期中）已知，数轴上的A在原点左边，到原点的距离为6个单位长度，点B在原点右边，从点A到点B，要经过10个单位长度．
（1）直接写出A点在数轴上表示的数，B点在数轴上表示的数；
（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C的对应的数；
（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，直接写出线段PO-AM的值．
参考答案与解析：
1．D
【解析】
先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．
【详解】
解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°－∠1=180°－115°=65°，
又∠5=180°－∠2=180°－95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造同旁内角．
2．D
【解析】
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
3．D
【解析】
根据题意作出图形，分情况讨论，根据线段中点的定义求得线段的长
【详解】
，，点E、F分别为线段、的中点，
①如图，当C在线段的延长线上时，
②如图，当C在线段上时，
故选D
【点睛】
本题考查了线段的和差，以及线段中点的定义，分类讨论是解题的关键．
4．B
【解析】
根据题意设MC=5x，CN=4x，根据线段之间的计算得出等量关系，列方程求解即可解答．
【详解】
解：根据题意，设MC=5x，CN=4x，
则MN=MC+CN=9x，
∵点P是MN的中点，
∴PN= MN= x，
∴PC=PN﹣CN= x=2，
解得：x=4，
∴MN=9×4=36cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段的计算，由题目中的比例关系设未知数是常见做题技巧，根据线段之间关系列方程求解是解答的关键．
5．C
【解析】
如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
6．A
【解析】
根据折线部分折回立体图形判断即可.
【详解】
由图形折线部分可知,有两个三角形面平行,三个矩形相连,可知为三棱柱.
故选A.
【点睛】
本题考查折叠与展开相关知识点,关键在于利用空间想象能力折叠回立体图形.
7．D
【解析】
【分析】
根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行．
【详解】
解：A，∠2和∠6是内错角，内错角相等两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
B，∠2+∠3＝180°，∠2和∠3是同旁内角，同旁内角互补两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
C，∠1＝∠4，由图可知∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠4，∠2和∠4互为同位角，能判定a∥b，不符合题意；
D，∠5+∠6＝180°，∠5和∠6是邻补角，和为180°，不能判定a∥b，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，结合平行线判定的条件是解决这道题的关键．
8．>
【解析】
1度等于，知道分与度之间的转化，统一单位后比较大小即可求解．
【详解】
解：，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握角的比较与运算，能够在度与分之间进行转化．
9．
【解析】
先证明是等腰直角三角形，再证明可得结论．
【详解】
解：矩形，
，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，关键是证明是等腰直角三角形解答．
10．
【解析】
首先根据直角的性质求出，利用旋转的性质求出是等边三角形，进而求出，再利用平行线的性质得到，结合，即可求出的度数．
【详解】
解：中，，，
，
绕着点逆时针旋转，得到，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形、平行线的性质，解题的关键是求出，利用平行线的性质即可解题．
11．1：5
【解析】
两角互余和为90°，互补和为180°，可设这个角是∠α，它的余角为∠β，补角为∠γ．根据余角的定义和已知条件，可求出∠α，也就可求出∠γ，那么两角的比值就可求．
【详解】
解：设原角为∠α它的余角为∠β，补角为∠γ，根据题意，
得：∠α：∠β=1：2，则∠β=2∠α
∴∠α+∠β=3∠α=90°
∴∠α=30°
∴∠γ=150°
∴∠α：∠γ=1：5，
故答案为：1：5．
【点睛】
此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．
12． 30
【解析】
根据互余角的定义、等量代换即可得；根据角的和差即可得；先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
解：，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：，，30．
【点睛】
本题考查了互余角、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
13．(1)
(2)
(3)点E的坐标为（2，0）或（4，0）
【解析】
（1）把点C坐标代入中，求出k即可；
（2）求出点D坐标，利用的待定系数法解决问题即可；
（3）分两种情形：①∠OEC＝90°．②∠OCE＝90°，分别求解即可．
(1)
解：∵C（2，2）在反比例函数上，
∴
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
(2)
解：∵点C是OA的中点，C（2，2），
∴A（4，4），
∵AB⊥x轴，
∴D点横坐标为4，
∴D（4，1）
∵点 C（2，2），D（4，1），
设直线 CD 的解析式为 y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线 CD 的解析式为 ；
(3)
解：当∠OEC＝90°时，点E的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），
∴E（2，0）．
当∠OCE＝90°时．
设点E的坐标为（m，0）
∵C（2，2），
∴，，，
∵，
∴，
解得
∴E（4，0）．
综上所述，点E的坐标为（2，0）或（4，0）．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，求一次函数解析式，坐标与图形，两点距离公式，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
14．作图见解析
【解析】
结合题意，根据从不同方向看几何体的性质分析，即可得到答案．
【详解】
从正面看到的图形为：
；
从左面看到的图形为：
从上面看到的图形为：
．
【点睛】
本题考查了立体图形的知识；解题的关键是熟练掌握从不同方向看几何体的性质，从而完成求解．
15．对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；等量代换
【解析】
根据对顶角相等，平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识填空即可
【详解】
∵（已知），（对顶角相等）．
∴=180°（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
【点睛】
本题考查了证明的推理过程，对顶角相等，平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键．
16．（1）38°；（2）45°；（3）∠EOD的度数为45°或135°．
【解析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EOD=（∠AOB+∠BOC），代入已知角度计算可求；
（2）根据已知得所求∠EOD=∠EOC-∠COD，而∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，相减得出所求；
（3）分析两种可能性，当0°＜α＜90°时和90°＜α＜180°时，计算方法同（2）．
【详解】
解：（1）∵OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，
∴∠EOB=∠AOB，∠BOD=∠BOC，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOC），
∴∠BOC=2∠EOD-∠AOB=2×64°-90°=38°；
（2）由题知∠EOD=∠EOC-∠COD
=∠AOC-∠BOC
=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC
=（90°+40°）-×40°，
=65°-20°，
=45°
（3）①若OE或OD至少有一个在∠AOB内部时，如下图，
则∠EOD=∠EOC-∠COD
=∠AOC-∠BOC
=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC
=45°；
②若OE和OD都在∠AOB外部时，如下图，
则∠EOD=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=（360°-90°）=135°，
综上∠EOD的度数为45°或135°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．
17．（1）3；（2）①-1；②3.5或-5.5
【解析】
（1）根据对称性即可求解；
（2）①根据对称性即可得到点所表示的数为－3的点与表示1的点的中点，故可求解；
②根据点表示的数是－1，由中点的特点即可分类讨论求解．
【详解】
解：（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示3的点重合；
故答案为：3；
（2）①∵表示－3的点与表示1的点重合，
∴点表示的数是．
②∵，点表示的数是－1，
∴点表示的数是或．
【点睛】
此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知对称性、中点的性质及数轴的特点．
18．EF⊥EG，理由见解析
【解析】
由EG、EF为折痕，∠BEG＝，∠AEF＝，再利用平角的定义可得：∠BEG++∠AEF+＝180°，可证明∠GEF＝90°，从而可得结论.
【详解】
解：EF⊥EG，理由如下：
∵长方形纸片按如图的方式折叠，EG、EF为折痕，
∴∠BEG＝，∠AEF＝，
而∠BEG++∠AEF+＝180°，
∴，即∠GEF＝90°．
∴EF⊥EG．
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，平角的定义，垂直的定义，掌握“利用轴对称想性质得到相等的两个角”是解题的关键.
19．（1）；（2）；（3），见解析
【解析】
（1）根据直角的定义求得的度数，根据角平分线的定义求得，进而根据平角的定义求得；
（2）根据平角的定义求得，根据角平分线的定义求得，进而求得，根据即可求得∠MOC 的度数；
（3））根据平角的定义求得，根据图形可知，进而根据即可得出．
【详解】
解：（1）
又 OC平分∠AON,
故答案为：56°
（2）
OC平分
（3）和之间的数量关系
OC平分
即：
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，掌握角度的计算是解题的关键．
20．（1）点A表示-6，点B表示4；（2）c=-2或c=1；（3）2
【解析】
（1）直接根据有理数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；
（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；
（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=4+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出PO-AM的值即可．
【详解】
解：（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为6个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过10个单位长度，
∴点A表示-6，点B表示4；
（2）设点C表示的数为c，
∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，
∴|c-4|=3|c|，
∴c-4=3c或c-4=-3c，
解得c=-2或c=1；
（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=4+2t，
∵点P是NO的中点，
∴PO=2+t，
∴PO-AM=2+t-t=2
【点睛】
本题考查的是数轴，正确理解题意、准确列式或列出方程是解答此题的关键．