2022-2023学年吉林省长春市农安县实验中学高一上学期期末数学试题（解析版）

高一质量监测数学试题

考试时间120分钟    分值150分

第Ⅰ卷    选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．其中1-10小题为单选，11-12小题为多选，全选对得5分，选对但不全得2分，错选或多选0分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据并集的定义即可得解.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：D.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】将全称命题否定为特称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是

“，”，

故选：C.

3. 已知函数，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】

分析】根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.

【详解】因为时，.

故选：B

4. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数奇偶性计算即可

【详解】由函数为上的奇函数，

所以

且当时，，

所以.

故选：B.

5. 已知函数，则的零点为（    ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.

【详解】解：对于函数，令，即，

解得或，

所以的零点为和.

故选：B

6. 已知，则（    ）

A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值即可．

【详解】，

，

当且仅当，即时取等号，

故最小值为3，无最大值．

故选：B．

7. 一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形的中心角公式计算．

【详解】设扇形的弧长为l，则，则

故选：B．

8. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据求函数定义域，列方程组解决即可.

【详解】由题知， ，

所以，解得

所以

所以定义域为，

故选：C

9. 若偶函数在上是减函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.

【详解】是偶函数，所以，

在上是减函数，所以在上是增函数，

所以，故.

故选：B

10. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平移过程写出解析式即可.

【详解】由题设，平移后的解析式为.

故选：B

11. 下列函数是奇函数的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】通过奇函数的定义，以及定义域关于原点对称分析各个选项

【详解】因为的定义域为，不符合奇函数定义，A错误；

通过奇函数的定义，，且定义域关于原点对称，B正确；

，所以，且定义域关于原点对称，C正确；

，所以，D错误；

故选：BC

12. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件；

对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件；

对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件；

对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件.

故选：BCD.

第Ⅱ卷（非选择题：共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】齐次式分子分母同时除以，再代入即可得到答案.

【详解】， ，

.

故答案为：.

14. 求值：_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.

【详解】由题意得.

故答案为：

15. 已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

【答案】4

【解析】

【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.

【详解】由题意可得，解得

故答案为：4.

16. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为______．

【答案】8

【解析】

【分析】利用诱导公式对原式进行化简，然后采取弦化切，再通过三角函数定义得到值代入即可.

【详解】由题意，知，

则原式．

故答案为:.

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每个小题12分，共70分）

17. 已知集合,集合,求下列集合.

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意将集合A解出,直接求即可,

(2) 根据题意将集合A解出,求出,再求出即可.

【小问1详解】

解:由题知,

【小问2详解】

由(1)知

18. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据有理数指数幂的运算法则即可求解；

(2)利用对数的运算法则和对数的换底公式即可求解.

【小问1详解】

【小问2详解】

19. 已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．

（1）求f（x）解析式；

（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；

（2）根据函数的单调性，即可求出m的取值范围.

【小问1详解】

将点（2，4）代入 ，得 ，

故 ；

【小问2详解】

， 是增函数，

，即 ，

， ；

综上，，.

20. 已知函数．

（1）证明函数为奇函数；

（2）若，求函数的最大值和最小值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）最小值；最大值

【解析】

【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义进行判断；

（2）先利用定义法判断函数的单调性，进而求出区间上的最值.

【小问1详解】

证明：的定义域为，关于原点对称，

，

所以在定义域上为奇函数；

【小问2详解】

（2）在上任取，且，

则

∵，

∴，，，

∴，

∴，

∴在上单调递增，

∴最小值为，最大值为

21. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

（2）根据正弦函数的性质，可求得函数在上的最值．

【小问1详解】

解：∵，

∴，即函数的最小正周期为．

【小问2详解】

解：在区间上，，

∴，

∴，

∴的最大值为，的最小值为．

22. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并给予证明；

（3）求关于不等式的解集.

【答案】（1）；   

（2）函数为奇函数，证明见解析；   

（3）见解析.

【解析】

【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.

【小问1详解】

根据题意，函数，

所以，解可得，

所以函数的定义域为；

【小问2详解】

由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，

因为函数，

所以，

所以函数为奇函数.

【小问3详解】

根据题意，即，

当时，有，解可得，此时不等式解集为；

当时，有，解可得，此时不等式的解集为

所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.