2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一上学期期末数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沈阳市第120中学2022-2023学年度上学期期末限时作业科目：数学满分：150分时间：120钟分钟命题人：佟智海樊丽审题人：孙爽一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则（）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分别解不等式得集合A，B，再求并集即可.【详解】因为，，所以，故选：B.2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（）A86 B. 87 C. 88 D. 89【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义直接得出.【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.故选：C.3. 已知向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】时，不一定是相等或相反向量，时，，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4. 函数，则的大致图象是（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论．【详解】，为偶函数，排除BC，又时，，时，，排除A，故选：D．5. 若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.【详解】因为，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A错误；，，即，故B错误；，，因为，所以，即，即，故C错误；，，即，故D正确.故选：D.6. 我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“——”，若将“─”记作二进制中的“1”，“——”记作二进制中的“0”．如符号“”对应二进制数，化为十进制数计算如下：．若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为()A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，列出由两个1和两个0构成的二进制数，判断它们与6的大小关系即可求解﹒【详解】根据题意，从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，即是由两个1和两个0构成二进制数，所有情况如下：，，，，，，得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为﹒故选：B﹒7. 已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.【详解】因为，，所以，，即，，所以，均为方程的根，由于函数在定义域内单调递增，且，所以方程的根唯一，所以.故选：B.8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.【详解】由可得或，当时，；当时，.作出函数、、的图象如下图所示：由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（）A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.【详解】设点的坐标为，由于平行四边形的四个顶点为，所以可能有以下三种情形：当时，即，解得，即的坐标为；当时，即，解得，即的坐标为；当，即，解得，即的坐标为；故选：ABC.10. 某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾､可回收物､其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱､“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下： “厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾的总投放质量/千克400100100可回收物的总投放质量/千克3024030其他垃圾的总投放质量/千克202060根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（）A. 厨余垃圾投放正确的概率为.B. 居民生活垃圾投放错误的概率为.C. 该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确概率最低.D. 厨余垃圾在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.【答案】ACD【解析】【分析】根据数据，结合古典概型公式和方差公式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由题可知厨余垃圾的总投放质量为600千克，其中投放到“厨余垃圾”箱的有400千克，故厨余垃圾投放正确的概率为，故A选项正确；对于B选项，由表中数据可知，居民垃圾投放错误的有千克，故居民生活垃圾投放错误的概率为，故B选项错误；对于C选项，由表中数据可知，可回收物的总投放质量为300千克，其中正确投放的有240千克，故可回收物投放正确的概率为，其他垃圾的总投放质量为100千克，其中正确投放的有60千克，故其他垃圾投放正确的概率为，再结合A选项厨余垃圾投放正确的概率为，故，即其他垃圾投放正确的概率最低，故C选项正确；对于D选项，由题知厨余垃圾在在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的平均投放量为200千克，根据方差的计算公式得，故D选项正确.故选：ACD【点睛】本题考查古典概型计算概率，方差的计算，解题的关键是读懂表中的数据，根据题意依次计算分析，要耐心，且认真的挖掘数据，分析处理数据，考查数据处理能力，是中档题.11. 已知，，，，，则下列结论正确的是（）A. 为常数 B. 的最小值为4C. 的最小值为2 D. 的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值，即可判断各项的正误.【详解】由题设，，又，，故，A正确；当且仅当时等号成立，B错误，C正确；由上知：，即，D错误.故选：AC12. 已知函数，，下列判断中，正确的有（）A. 存在，函数有4个零点B. 存在常数，使为奇函数C. 若在区间上最大值为，则的取值范围为或D. 存在常数，使在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】把表示为分段函数，分类讨论作出函数图像，数形结合研究函数的奇偶性、单调区间、最值等性质.【详解】函数函数图像如图所示：由图像可知，函数的图像与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；当时，，函数定义域为R，，此时为奇函数，B选项正确；当或时，在区间上单调递增，最大值为；当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，不合题意；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；综上，在区间上最大值为，则的取值范围为或，C选项正确；若在上单调递减，则有，不等式组无解，故不存在常数使在上单调递减，D选项错误；故选：BC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知是1，2，3，，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，，这四个数据的平均数为1，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】根据x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，得到x的取值范围，根据1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，得到x，y之间的关系，把要求的代数式换元变化为一个自变量的形式，得到一个递增的代数式，把x的最小值代入得到结果．【详解】∵x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，∴，∵1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，∴，∴∵中，在时，递增，也是一个递增函数，∴函数是一个增函数，∴的最小值为，故答案为：.14. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.【答案】【解析】【分析】分、两种情况讨论即可.【详解】函数是由和复合而成，当时单调递增，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递增，且在上恒成立，的对称轴为所以解得：，当时单调递减，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递减，且在区间上恒成立，的对称轴为所以解得：，综上所述：a的取值范围是，故答案为：15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137  960  197  925  271  815  952  683  829  436  730  257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.【答案】##0.25【解析】【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、271、436共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，故答案为：.16. 已知函数，.若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】把不等式转化为，利用分段函数的性质，结论二次函数图象可得实数的取值范围【详解】因为函数，．由不等式，分离参数，可得：，设函数，画出的图象，如图所示：计算，，要使的解集是区间的子集，则必有，所以实数的取值范围是，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设集合，集合．（1）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据给定条件可得，再借助集合包含关系分类求解作答.(2)求出，再求出非空集合B与的交集表示式，然后分析推理得解.小问1详解】集合，，由“”是“”的必要条件，得，当时，，解得，满足，则，当时，，解得，因此有，所以实数m的取值范围为.【小问2详解】依题意，，由中只有一个整数知，从而得中仅有一个整数，因此有，即，所以实数m的取值范围为．18. 制成奶嘴的主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等.因为奶嘴直接接触食物和婴儿口腔，使用过程中，挥发性物质的溶出会污染奶质，甚至通过消化道被宝宝身体吸收，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，因此我国对奶嘴和安抚奶嘴的挥发性物质做了规定，要求其含量不得超过0.5%.某婴儿用品的生产商为了测量某新产品的挥发性物质含量，从试生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该婴儿用品的生产商规定挥发性物质含量<18‰为合格产品.（1）根据频率分布直方图，求这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数；（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求在与中各有一个的概率；（3）若这100个奶嘴的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？【答案】（1）；（2）；（3）该产品需要进行技术改进.【解析】【分析】（1）根据频率直方图中求中位数的方法可求得答案；（2）先根据分层抽样求得在与中所抽取的个数，运用列举法列出事件的所有情况，由古典概率公式可求得答案.（3）求得其平均值可得结论.【详解】解：（1）挥发性物质含量位于的频率为，挥发性物质含量位于的频率为，所以这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数位于区间，设中位数为，则，解得；（2）组奶嘴的个数为，组的奶嘴的个数为，所以从组中抽取个，从组中抽取个，记组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，组中抽取的一个为f，则从6个中抽取2个的所有情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中在与中各有1个的有，，，，共5种情况，所以所求的概率；（3）因为，故该产品需要进行技术改进.19. 在中，设，若，与交于点，（1）用表示；（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三点共线的结论以及平面向量基本定理可求出结果；（2）利用三点共线的结论得到，再根据基本不等式可求出结果.【小问1详解】因为三点共线，所以可设，因为三点共线，所以可设，根据平面向量基本定理可得，解得，所以.【小问2详解】因为，且三点共线，所以，依题意知，所以，当且仅当，时，取得等号，所以最小值为.20. 设函数，（且）是定义域为的奇函数，且．（1）求，的值；（2）求函数在上的值域；（3）设，若在上的最小值为，求的值；【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）因为函数是奇函数且在原点有定义，所以通过可求得，再由可得；（2）由（1）知，根据函数的单调性求出函数的值域即可；（3）因为，通过换元法令得到新函数，，问题就等价转化成在上的最小值为，从而根据二次函数的对称轴与区间的位置关系确定最值，最后求出.【详解】解：（1）函数，（且）是定义域为的奇函数，，即，，．，，，，（2）是增函数，时，，即值域为；（3），设，，，，，若在上的最小值为，，的最小值为，或即，或（舍去），故；【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．21. 自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：123456…y（万个）…10…50…250…若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，）【答案】（1）函数更合适，解析式为（2）14【解析】【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断；（2）设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．【小问1详解】若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入，，不符合题意，若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入可得，符合题意，综上所述，选择函数更合适，解析式为.【小问2详解】设至少需要个单位时间，则，即，两边同时取对数可得，，则，∵，∴的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．22. 已知幂函数在上为增函数，，.（1）求的值，并确定的解析式；（2）对于任意，都存在，使得，，若，求实数的值；（3）若对于一切成成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数定义求解；（2）求出与的最大值，由它们相等可得；（3）不等式分离参数转化为求新函数的最值．【小问1详解】由幂函数的定义可知：即，解得：，或，∵在上为增函数，∴，解得，综上：，∴；【小问2详解】，据题意知，当时，，，∵在区间上单调递增，∴，即，又∵，∴函数的对称轴为，∴函数在区间上单调递减，∴，即，由，得，∴；【小问3详解】当时，等价于即，∵，∴，令，，下面求的最大值：∵，∴，∴的最大值为-5，故的取值范围是.【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．