2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省吕梁市孝义市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：D

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先找出与的关系，然后利用充分、必要条件的判定即可求出结果.

【详解】由可得：，则可推出；

由可得：，则可推出，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：.

3．设，，，则P，Q的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由＝，再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以＝，

当且仅当，即时等号成立，

故选：C.

4．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.

【详解】的图象关于对称，所以，

又因为在上单调递增，所以在上单调递减，

所以.

故选：B.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数的性质即得.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

6．若，则（    ）

A． B． C．－ D．－3

【答案】D

【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系结合条件求得，再结合正切的差角公式即得.

【详解】因为，

所以，

即，

所以，

所以.

故选：D.

7．已知函数，则函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据奇偶性排除选项，再利用特殊值的方式，排除和，从而得到结果.

【详解】函数的定义域为

又，故函数为奇函数

则函数的图象关于原点对称，排除

因为，排除

又，排除

本题正确选项：

【点睛】本题考查具体函数的图象的判断，对于此类问题通常采用排除法来解决，排除顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.

8．已知函数，，，则（    ）

A．的最大值为3，最小值为1

B．的最大值为，无最小值

C．的最大值为，无最小值

D．的最大值为3，最小值为-1

【答案】C

【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．

【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，如图

然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．

由图象可知，当时，取得最大值，

所以由得或．

结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．

故选：．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出与的图象，根据图象得出函数的最值，由得或，得出答案，属于中档题.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

C．若角的终边上有一点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】A中，由象限角的定义即可判断；

B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；

C中，根据三角函数的定义即可判断；

D中，取即可判断.

【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；

选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；

选项C中，，，故C正确；

选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．

故选：BC．

10．下列各式中值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用二倍角公式可判断A，利用两角差的正弦公式可判断B，利用两角和的正切公式可判断C，根据诱导公式可判断D.

【详解】对于A选项，，故A正确；

对于B选项，，故B正确；

对于C选项，因为，

所以，故C错误；

对于D选项，，故D正确.

故选：ABD.

11．已知，b为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AD

【分析】利用基本不等式可判断A，举例可判断B C，利用基本不等式可判断D.

【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确；

对于B，取，，而，故B错误；

对于C，取，则，故C错误，

对于D，因为，，所以，且，

所以，，所以且，所以D 正确，

故选：AD.

12．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.

【详解】函数的图象如图所示，

设，则，

则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，

对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确；

对于B：由图象可知，且，

∴，即，所以，故B正确；

当时，，

由图象可知，则，故C错误；

由图象可知，

所以，故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．命题“，”的否定是_________．

【答案】，

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.

【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，

命题“，”的否定是“，”.

故答案为：，.

14．已知函数的最小正周期为，则a的值为__________．

【答案】

【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求的值.

【详解】因为函数的最小正周期为，

所以，即.

故答案为：.

15．一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________

【答案】

【分析】运用不等式的性质可得答案.

【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，

因为，所以成立.

故答案为：.

16．若是奇函数，则a=___________，b=__________．

【答案】          2

【分析】根据奇函数的定义即可求出．

【详解】因为，

所以，

因为函数为奇函数，

所以，

即，

所以，即，

所以，即，

所以，.

故答案为：；2.

四、解答题

17．已知集合，，，全集为实数集R．

(1)求，；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)；或；

(2).

【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求；

（2）由交集的性质，说明集合与必有公共元素，可求a的取值范围.

【详解】（1）因为，

或，又，

，或；

（2）因为，，且

所以.

18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

(1)求的值；

(2)若角满足，求的值．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式即得；

（2）利用两角差的余弦公式即得.

【详解】（1）由角的终边过点，可得，

所以；

（2）由，可得，

由，得，

当时，，

当时，，

所以或.

19．已知函数

(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；

(2)判断函数的单调性，并进行证明；

(3)若实数a满足，求实数a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)增函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义判断函数的奇偶性；

（2）根据函数的单调性定义证明即可；

（3）根据函数为增函数及函数为奇函数，转化为求解即可.

【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数是奇函数.

（2）是增函数，证明如下：

设，且，

则，

，，

由为增函数知，，即，

又，

，即，

是上的增函数.

（3），函数又是奇函数，

，

，

是单调递增函数，

，解得：

即实数a的取值范围为.

20．已知函数在一个周期内的图象如图所示．

(1)求函数的解析式和最小正周期；

(2)求函数在区间上的最值；

(3)写出函数的对称轴方程和对称中心．

【答案】(1)；最小正周期为；

(2)时，函数取得最小值；时，函数取得最大值1；

(3)对称轴为；对称中心为.

【分析】（1）由函数的图象的最值点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式及最小正周期；

（2）根据余弦函数的图象函数性质即得；

（3）由题可得函数的解析式，然后根据正弦函数的性质即得.

【详解】（1）由函数在一个周期内的图象可得：

，，所以，

根据图可得，故，而，

所以，满足题意，

所以，函数最小正周期为；

（2）由，可得，

所以，，

当即时，函数在区间上的取得最小值为，

当，即时，函数在区间上的最大值为1；

（3）由题可得，

由，可得，

所以函数的对称轴为，

由，可得，

所以函数的对称中心为.

21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)百辆，最大利润为万

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【详解】（1）由题意得当时，，

当时，，

所以,

（2）由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

22．已知函数，函数．

(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)当时，求函数的最小值h(a)；

(3)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在，.

【分析】（1）根据等价转化的方法，得到的值域应该包含，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图像与性质，可得结果；

（2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果；

（3）化简式子可得，利用该函数的单调性，可得，计算可得结果.

【详解】（1）由，所以

又的值域为，

则的值域应该包含

当时，，满足

当时，则

综上：.

（2）令，则，

所以在最小值

等价于在的最小值，

对称轴为，

当时，在递增，

则在处有最小值，

当时，则在处有最小值，

当时，在递减，

则在处有最小值，

综上：.

（3）存在.

①

由为非负实数，所以①在单调递增

又值域为，所以

所以存在，当时，

函数在上，值域为.