最新中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（15）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（15）

1．如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），

l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【点评】此题考查二次函数综合题，二次函数的解析式．解题关键在于利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．如图，二次函数的图像与坐标轴分别交于、、三点，其中，点在轴正半轴上，连接、．点从点出发，沿向点移动；同时点从点出发，沿轴向点移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，设移动时间为．

（1）若时，与相似，求这个二次函数的表达式；
（2）若可以为直角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）．（2）
【分析】（1）根据题意，可求得点坐标为（，），当时，可分别知道，，此时有两种情况，当时，根据对应边成比例可以求得的长度，即可知点坐标，再利用待定系数法，即可求得此时的函数表达式；当时，根据比例关系求得，不符合题意，故舍去；
（2）若可以为直角三角形，可知，根据比例关系可求得的长，设出点的坐标（，），可知，所以抛物线的对称轴，把点的坐标为（ ，）代入解析式，可知、之间的关系，消掉，即可求出的取值范围．
【详解】解：（1）把代入，得，
∴（，），
∵（，），
∴，，
∴ ，
∵，
∴，，
当时，，即，
∴，点坐标为（，）．
把，；，分别代入，
解得：，，
∴．
当时，，
即，∴（不符合题意，故舍去）．
综上，二次函数的表达式为．
（2）若可以为直角三角形，显然，
∴，则，设，
即，解得：．
设（，），则，
设抛物线对称轴为直线，
∵（，），∴ ①，
把 ，代入，得 ②，
把②代入①，且，
解得：．
故的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数的综合，难度较大，是中考的必考内容，熟练掌握二次函数的性质是顺利解题的关键．
3．已知抛物线经过点，现将抛物线沿轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到物线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点在抛物线对称轴上一点，为坐标原点，则抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是干行四边形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或或
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求抛物线的解析式，由轴对称和平移的性质可求解；
（2）分别以为边或为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】解：（1）∵拋物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线沿轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线．
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），
∴，
∴，，
∴点，点，
∵点在拋物线对称轴上一点，
∴点的横坐标为，
若为边，则，
∴点的横坐标为：或，
当时，，
∴点，
当，，
∴点；
若为对角线，
∴的中点坐标为
∴点的横坐标为6，
∴，
∴点，
综上所述：当点坐标为或或时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4．已知抛物线经过点，且对于任意的实数x，有恒成立．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）设点是抛物线上任一点，点，求线段的长度的最小值．
【答案】（1）4；（2）；（3）．
【分析】(1)把x=2代入，由此可得到，即可得出的值；
(2)由于经过点，代入解析式中得到，然后利用(1)中的结论得到，接着分别把b、c代入已知的恒等式再结合非负数的性质得到a=1，即可得出结果；
(3)设M（x，y），则根据勾股定理得到，最后利用配方法即可得出结果．
【详解】解：(1)令x=2，
代入得：，
∴；
(2)∵抛物线过（-1，1），
∴，
∵，
解得：，
∵恒成立，
∴恒成立，
∴，
即，
∴a=1，
∴恒成立，
∴解析式为：；
(3)设M（x，y），
则，
∵，
∴，
∴当时，MB的最小值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合，掌握不等式的性质和利用配方求最值是解题的关键．
5．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）
【分析】（1）抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x−3）＝a（x2−2x−3），将点C坐标代入即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；
（3）分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2−2x−3），
将点C坐标代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1
设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴于点和点．

（1）求此抛物线的表达式．
（2）若点P是直线下方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求出此时点P的坐标和的最大面积．
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线上确定一点H，使为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标______．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），先利用抛物线的解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法可得直线AB的解析式，设点P的坐标为，的面积为，从而可得点E的坐标，然后利用可得S与m的函数关系式，最后利用二次函数的性质即可得；
（3）先根据抛物线的解析式求出顶点D的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出的值，然后根据等腰三角形的定义分情况讨论，建立方程求解即可得．
【详解】（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则此抛物线的表达式为；
（2）对于，
当时，，即，
设直线AB的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线AB的函数解析式为，
如图，过点P作轴于点F，交AB于点E，
设点P的坐标为，的面积为，则点E坐标为，
，
点P是直线下方的抛物线上一动点，
，
，
的PE边上的高为，的PE边上的高为，
，
，
，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为，
此时，
故点P的坐标为，的最大面积为；

（3）将化成顶点式为，
则顶点D的坐标为，
由题意，设点H的坐标为，
由（2）可知，，
则，
，
，
，
，
因此，分以下两种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，
整理得：，
此方程根的判别式，方程无解；
②当时，是等腰三角形，
则，即，解得，
此时，
则点H的坐标为；
综上，所求的点H的坐标为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中 ，.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由.

【答案】（1）；
（2）；
（3），，，．
【分析】（1）将，代入解析式即可求解；
（2）过点作轴，交直线于，设点表示出，建立关于的二次函数表达式，利用函数的性质求解最大值即可；
（3）当分别为边或对角线的时候，结合矩形的性质进行分类讨论即可．
【详解】（1）代入，，得，解得，
解析式为：；
（2）如图，过点作轴，交直线于，
设直线的解析式为：，将，代入得：，
解得：，则直线的解析式为：，
在抛物线上，设其坐标为，其中，
则的坐标为，，

即：
当时，有最大值为；


（3）抛物线向右平移2个单位后解析式为：，
联立，解得，即，
原抛物线的对称轴为：直线，则设，，
，，，
1）如图，若以为边构造矩形，有以下两种情况：
①如图，在矩形中，满足，
即：，解得：，即：，
根据四点相对位置关系得：，解得：，
；
②如图，在矩形中，满足，
即：，解得：，即：，
根据四点相对位置关系得：，解得：，
；


2）如图，若以为对角线构造矩形，则满足：，
即：，解得：或，
即：，，
当时，
根据四点相对位置关系得：，解得：，
；
当时，
根据四点相对位置关系得：，解得：，
；
综上，符合条件的有：，，，．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，矩形的性质，注重用函数的思想解决面积最值问题，以及分类讨论的思想进行求解未知点是解题关键．
8．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）线段PE最大时点P的坐标为（，）；（3）存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，从而求出PE与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，），根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．
【详解】解：（1）将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得

解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得
=-3
∴点C的坐标为（2，-3）
设直线AC的解析式为y=kx＋d
将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AC的解析式为
设点P的坐标为（x，），易知点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2
∴PE=－
=
=
∵-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当时，PE有最大值，最大值为
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在，
设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t，）
若AD和CF为平行四边形的对角线时，
∴AD的中点即为CF的中点
∴
解②，得，
将代入①，解得：n=；
将代入①，解得：n=；
∴此时点D的坐标为（，0）或（，0）；
若AC和DF为平行四边形的对角线时，
∴AC的中点即为DF的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=1；
∴此时点D的坐标为（1，0）；
若AF和CD为平行四边形的对角线时，
∴AF的中点即为CD的中点
∴
解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）
将代入①，解得：n=-3；
∴此时点D的坐标为（-3，0）；
综上：存在，此时点D的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（-3，0）．

【点评】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
9．如图，直线与轴，轴分别交于，，抛物线（）过点，，，点坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点是直线上方抛物线上的一动点（不与，重合），当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时四边形面积的最大值和点坐标；
（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当点P运动到时，四边形PCDB的面积最大，最大是；（3），，
【分析】（1）分别令解析式中和，求出点B、点C的坐标，再用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）设点，就可以表示出点P坐标，由四边形PCDB的面积，求出S与a的关系式，由二次函数的最值求解方法求出结果；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以C为圆心，CD为半径作圆，交对称轴于，再以D为圆心，CD为半径作圆，交对称轴于、，作CE垂直于对称轴于点E，由等腰三角形的性质以及勾股定理就可以求出结论．
【详解】解：（1）令，得，
令，得，
则，，
把点A、B、C的坐标代入解析式得，，解得，
∴；
（2）如图，过点P作轴于点N，交BC于点M，过点C作于点E，
设，，
∴，
∵，
∴，
∵


，
∴当时，最大值是，
∴，
∴，
当点P运动到时，四边形PCDB的面积最大，最大是；

（3）∵抛物线的对称轴是，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵是以CD为腰的等腰三角形，
∴，
如图，作对称轴于点E，
∴，
∴，
∴，，．

【点评】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质运用，四边形面积的运用，掌握数形结合的思想是解题的关键．
10．如图1，抛物线，与x轴交于，，与y轴交于点C．


（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线上一个动点且位于第一象限内，过P作直线BC的垂线，垂足为E，过E作x轴的垂线，垂足为F，当EF，PE满足时，求的面积和P点坐标；
（3）如图2，在（2）问的结论下，在直线BC上有一动点M，过M作BC的垂线交x轴于N，在y轴上是否存在动点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为 (，)，；（3）以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为(，)或 (，)或(，)．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为，作出如图所示的辅助线，证得△BOC、△PQE和△PEG也是等腰直角三角形，点P的坐标为 (，)，则点G的坐标为 (，)，求得点E的坐标为(，)，利用已知和等腰直角三角形的性质列得方程可求得的值，即可求解；
（3）设点M的坐标为 (，)，点Q的坐标为 (，)，求得点N的坐标为 (，)，分PQ为对角线、PM为对角线P N为对角线三种情况讨论，利用平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）把点(-1，0)， (3，0)代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
设直线BC的解析式为，
把点B (3，0)代入得：，
∴直线BC的解析式为，
过P作x轴、y轴的垂线，交BC于G，交FE的延长线于Q，

∵点B的坐标为 (3，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵PE⊥BC，
∴△PQE和△PEG也是等腰直角三角形，
设点P的坐标为 (，)，则点G的坐标为 (，)，
∴PG=，
作EH⊥PG于H，则EH=PH=PG=，
∴点E的坐标为 (，)，即E (，)，
∵，
∴，
在等腰Rt△PEG中，PG=，
∴，
则，
解得：(舍去)，
∴点P的坐标为 (，)，
EF=，PQ=EH=，
∴；
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为 (，)，点Q的坐标为 (，)，
过M作MK⊥轴于K，

∵△BOC是等腰直角三角形，
∴△MNK也是等腰直角三角形，
∴NK=MK，
∴点N的坐标为 (，)，
∴M (，)，N (，)，P (，)，Q (，)，
由于以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当PQ为对角线时，，解得：，

此时，点M的坐标为 (，)；
②当PM为对角线时，，解得：，

此时，点M的坐标为 (，)；
③当P N为对角线时，，解得：，

此时，点M的坐标为 (，)；
综上，以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为(，)或 (，)或(，)．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中掌握待定系数法是解题的关键，在（2）中证明△PQE和△PEG也是等腰直角三角形是解题的关键，在（3）中，确定点N的坐标是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B 两点，OA=1，OB=3，抛物线的顶点坐标为D（1，4）．
（1）A点的坐标 ；B点的坐标 ．
（2）求抛物线的表达式；
（3）过点D做直线DE//y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不于A、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点G、F，当点P运动时，
①当点P的横坐标为m，用含m的形式表示直线AP、BP的解析式．
②EF+EG的值是否变化，如不变，试求出该值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）（−1，0）；（3，0）；（2）y＝−x2＋2x＋3；（3）①直线AP的解析式为y＝（3−m）x＋3−m；直线BP的解析式为y＝−（m＋1）x＋3（m＋1）②EF＋EG的值不变化，值为8，理由见解析
【分析】（1）由OA、OB的长度及已知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上等可直接写出点A、B的坐标；
（2）由顶点D的坐标可设顶点式y＝a（x−1）2＋4，将点A的坐标代入即可；
（3）①设点P（m，−m2＋2m＋3），利用待定系数法即可分别求出直线AP和直线BP的解析式;
②根据直线AP和直线BP的解析式求出点G和点F的坐标，可写出含字母m的GE和FE的长度，直接计算即可．
【详解】（1）∵OA＝1，OB＝3，且点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，
∴A（−1，0），B（3，0）；
故答案为：（−1，0）；（3，0）；
（2）∵顶点坐标为D（1，4），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋4，
将点A（−1，0）代入y＝a（x−1）2＋4，
得，0＝4a＋4，
∴a＝−1，
∴抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋4＝−x2＋2x＋3；
（3）①设点P（m，−m2＋2m＋3），
设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
将点A（−1，0），（m，−m2＋2m＋3）代入，
得，，
解得，，
∴直线AP的解析式为y＝（3−m）x＋3−m，
设直线BP的解析式为y＝px＋q，
将点B（3，0），（m，−m2＋2m＋3）代入，
得，，
解得，，
∴直线BP的解析式为y＝−（m＋1）x＋3（m＋1），
②EF＋EG的值不变化，值为8，理由如下：
∵抛物线y＝−（x−1）2＋4的对称轴为x＝1，点G在对称轴上，也在直线AP上，
∴G（1，6−2m），
∴EG＝6−2m，
∵点F在对称轴上，也在直线BP上，
∴F（1，2m＋2），
∴EF＝2m＋2，
∴EF＋EG＝2m＋2＋6−2m＝8，
∴当点P运动时，EF＋EG的值不变化，值为8．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数之间的关系等，解题关键是熟练掌握一次函数与二次函数之间的关系并能够灵活运用等．
12．如图，已知抛物线与x轴交于点小B，与y轴分别交于点C，其中点，点．

（1）求抛物线的解析式并确定形状；
（2）点P是线段上一动点，过P作交于D，当面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M是位于线段上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，直接写出M的坐标．
【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M点坐标为或
【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点（0，2）代入求出a=-，然后化为一般式即可；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况求解：当∠BCM=∠ABC时和当∠CBM=∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）， ，
∴， ，
∵，∠AOC=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
而∠ACO+∠CAO=90°
∴∠CAO=∠BCO
又∠AOC=∠BOC=90°
∴△ACO∽△CBO
∴
∴，
∴，
∴点，
设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：

解得：．
抛物线的解析式为
（2）如图1，过点P作y轴的平行线交于点E，

设直线的解析式为，
把，代入得，
∴．
∴直线的解析式为，
∴，
同样的方法可求得直线的解析式为，
可设直线的解析式为，把代入得，
联立，解得
∴
∴
故当时，S最大，此时
（3）由题意知， ，
当时， ，如图2，

∵点C与点M关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图3，过M作于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，

，，
∴△
同理可证：△
∴
∴
设，则
∴，
∴，代入抛物线解析式可解得，
，（舍去）
∴
综上得M点坐标为或
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法．
13．如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【详解】（1）∵A（0，3），B（4，0）
∴，解得，
∴该抛物线的解析式是
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）
∴， 解得
∴直线AB的解析式为
∵CD∥y轴　
∴C、D两点的横坐标都为m．
在中，当x=m时，
∴C（m，）
在中，当x=m时，
∴D（m，），
∴

（3）存在．
∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，
过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴

若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：
①CA=CD时，则整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，∴m=0舍去
∴
②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC
∵CD∥y轴
∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，
∴，∴，∴5CH=3CD．
又∵HC=AC，∴5AC=6CD
则
整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，
∴m=0舍去∴

③AD=AC时同理得m=1
综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．
【点评】本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
14．对于抛物线，我们将它的顶点以及它与轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”．
（1）下列抛物线，有“内接三角形”的是　　　　；（填序号）
①；②；③
（2）如图1，抛物线与轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”△ABD为等边三角形．
①求的值；
②如图2，若该抛物线经过点（0，6），∠BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点．连接直线PM交射线AD于点N，求的值．

【答案】（1）②；（2）①6；②
【分析】（1）根据题意可知：抛物线存在“内接三角形”需满足抛物线与x轴有两个交点，然后根据抛物线与一元二次方程的关系逐一判断即可；
（2）①设A（x1，0），B（x2，0），根据根与系数的关系和抛物线的顶点坐标公式可得与D点坐标，然后根据等边三角形的性质可得CD=，进而可得关于ac的方程，解方程即可求出ac，然后结合根的判别式即得结果；
②由抛物线经过点（0，6）并结合①的结果可求出抛物线的解析式，进而可求出AB，然后根据等边三角形的性质和解直角三角形的知识可求出AP，作PE∥x轴交AN于点E，作NF∥x轴交AP延长线于点F，如图，则PE∥NF∥x轴，可得△PNE∽△MNA，△APE∽△AFN，然后根据相似三角形的性质以及比例的和差变形可得，而易证AN=FN，则上式即为，于是只要求出PE即可，再作EG⊥AP于G，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可求出PE，问题即得解决．
【详解】解：（1）对于①，由于△=22－4×1×1=0，∴抛物线与x轴只有1个交点，没有“内接三角形”；
对于②，由于△=，∴抛物线与x轴有2个交点，有“内接三角形”；
对于③，由于△=（﹣2）2－4×3×7＜0，抛物线与x轴没有交点，没有“内接三角形”；
故答案为：②；
（2）①设A（x1，0），B（x2，0），
则x1，x2是方程的两个根，所以，
∴，
由顶点坐标公式可得：D（），
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
作DC⊥x轴于点C，如图，则AC=，
在Rt△ACD中，CD=，
∴，
两边平方得：，
即，
整理得：，解得：或9，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=36－4ac＞0，解得ac＜9，
∴ac=6；

②∵抛物线经过点（0，6），
∴c=6，∴a=1，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∴，即AB=，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP=30°，
∴AP=AB×cos30°=3，
作PE∥x轴交AN于点E，作NF∥x轴交AP延长线于点F，如图，
则PE∥NF∥x轴，
∴△PNE∽△MNA，△APE∽△AFN，
∴，
∴，
∴，
∵FN∥x轴，
∴∠F=∠BAP=30°=∠DAP，
∴AN=FN，
∴，

在△APE中，∠PAE=∠APE=30°，
∴AE=PE，
作EG⊥AP于G，如图，则AG=PG=，
∴PE=，
∴．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形和等边三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
15．如图，抛物线与轴交于、两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求点的坐标与抛物线的表达式：
（2）连接，，设四边形的面积为．
①求与的关系式；
②当最大时；求点的坐标：
（3）若点是对称轴上一点，当时，求的值．

【答案】（1）A（2，0），；
（2）S=-m2+2m+2，D（1，2）；
（3）或或
【分析】（1）通过题意，求解出A、B的坐标，进而求出表达式；
（2）将四边形分作四边形OEDC和三角形ADE两部分，分别通过D的坐标表示出面积，从而得出关系时，再运用二次函数的性质求解满足条件的D的坐标即可；
（3）设出F、P的坐标，根据相似进行分类讨论
【详解】（1）设OB=t，OA=2t，则A、B的坐标分别为（-t，0），（2t，0），
根据对称轴可得：，解得：t=1，
则A（2，0），B（-1，0），
则抛物线的表达式为：，
解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：；
（2）由（1）可知，C（0，2），设D（m，-m2+m+2）
①S=SOEDC+S△BDE
=(-m2+m+2+2)×m×+×(2-m)( -m2+m+2)
=-m2+2m+2
②由S=-m2+2m+2=-(m-1)2+3，得：当m=1时，S最大，此时D（1，2）；
（3）由题可求得直线AC的解析时为：，
则设F（m，-m+2），P（，b），DF=-m2+2m， m＞0，分如下情况讨论：
①若∠PDF或∠PFD为直角时：PD=，
或，即：或，即：或，
解得：或（舍去）或或（舍去）；
②若∠DPF为直角时：
有，
由②可得：，代入①得：，
即：，
解得：或（舍去）或（舍去），
综上，或或
【点评】本题考查二次函数综合问题，相似三角形的判定与性质，熟记二次函数的性质，及相似三角形的性质并准确计算是解题关键