最新中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（11）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（10）

1．如图，抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3与抛物线Q：y2＝ （x－t）2＋1在同一个坐标系中（其中a、t均为常数，且t＞0），已知抛物线P过点A（1，3），过点A作直线l∥x轴，交抛物线P于点B．
（1）a＝________，点B的坐标是________；
（2）当抛物线Q经过点A时．
①求抛物线Q的解析式；
②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C，求的值；
（3）若抛物线Q与线段AB总有唯一的交点，直接写出t的取值范围．

【答案】（1） ；（－5，3）；（2）①抛物线Q的解析式为：y2＝ （x－3）2＋1；②＝；（3）0＜t3．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线P的解析式，即可得出结论；
（2）①利用待定系数法求出抛物线Q的解析式，即可得出结论；②先求出AC，AB即可得出结论；
（3）利用平移的特点和AB，AC的长即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3过点A（1，3），
∴9a－3＝3，
∴a＝，
∴抛物线P：y1＝ （x＋2）2－3，
∵x轴，
∴点B的纵坐标为3，
∴3＝ （x＋2）2－3，
∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝－5，
∴B（－5，3）．
（2）①∵抛物线Q：y2＝（x－t）2＋1过点A（1，3），
∴（1－t）2＋1＝3，
∴t1＝－1（舍去），t2＝3，
∴抛物线Q的解析式为：y2＝ （x－3）2＋1；
∵ x轴，
∴点C的纵坐标为3，
∴3＝（x－3）2＋1，
∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝5，
∴C（5，3），
∴AC＝5－1＝4，
由（1）知，B（－5，3），
∴AB＝1－（－5）＝6，
∴＝＝；
（3）∵抛物线Q：y2＝（x－t）2＋1
∴抛物线Q的开口大小一定，顶点坐标的纵坐标是1也是定值，
∴抛物线Q只是左右移动，
当抛物线Q向右平移的过程中，点A在抛物线Q的左侧时，抛物线Q和线段AB有一个交点A，此时，t=3，
由（2）知，AC=4，将抛物线Q向左平移4个单位时，和线段AB有两个交点，此段，－1＜t3时，抛物线Q与线段AB有一个交点，
再继续把抛物线Q向左移动，移动到点B在抛物线Q的左侧时，此时，此时，t=－3，
同上，抛物线Q与线段AB有一个交点，－7t＜－3，
∵t＞0，
即：0＜t3，抛物线Q与线段AB有一个交点．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，交点坐标的求法，平移的性质，利用平移的性质得出t的范围是解本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为．

（1）求抛物线和直线的解析式;
（2）设点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值，并求面积最大时，点的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式：;直线的解析式：;（2）面积的最大值是,此时点坐标为．
【分析】（1）将A（0，-3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解;
（2）作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2-2m-3），则G（m，m-3），可由S△PAB＝PG•OB，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【详解】解：（1）抛物线经过，两点，


抛物线的解析式为
直线经过，两点

解得
直线的解析式为
（2）如图，作轴交直线于点，交轴于．

设，则
．


当时，面积的最大值是，此时点坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与三角形面积有关的问题．
3．在平面直角坐标系中，，，轴，如图1，，且．

（1）点坐标为__________，点坐标为__________；
（2）求过、、三点的抛物线表达式；
（3）如图2，抛物线对称轴与交于点，现有一点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一点从点与点同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积．
【答案】(1)；(2) (3) 当点坐标为点坐标为或时，面积最大，最大面积为
【分析】
（1）由C（1，0）得OC=1，由1:2得OA=2，即A（0，2），由勾股定理求出AC的长，过点B 作BE⊥x轴，证明△ACO∽△CBE，可得BE，CE的长，从而可得结论；
（2）设抛物线表达式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入，求解方程组得到a、b、c的值即可；
（3）根据题意求出BP=5-t，DQ=5t，结合三角形面积公式可得到，求出其最大值时即可得出P、Q坐标．
【详解】
（1）∵C（1，0），
∴OC=1，
∵1:2．
∴OA=2，
∴A（0，2），
∴AC= ，
∵，
∴BC=2，
过点B 作BE⊥x轴，垂足为点E，如图，


∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCE，
又∠AOC=∠BEC=90°，
∴△ACO∽△CBE，
∴，
∴CE=4，BE=2，
∴OE=OC+CE=5，
∴B(5,0)，
故答案为：，；
（2）设过、、三点的抛物线表达式为y=ax2+bx+c，
把A（0，2）、B（5，2）、C（1，0）三点坐标代入，得：
，
解得， ，
所以，过、、三点的抛物线表达式为：；
（3）解：在Rt△ABC中，BC=2，AC=，∠ACB=90°，
所以，AB=，
设运动秒时，面积最大，且，
则，，
，
当时，
面积最大值，
此时点坐标为，
当点向上运动时，点坐标为
当点向下运动时，点坐标为
综上所述，当点坐标为，点坐标为或时，面积最大，最大面积为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，，涉及到三角形相似的判定与性质、三角形面积的计算等，其中（3）小题难度较大．
4．如图，二次函数的图象过、、三点

（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．

【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
5．如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为2．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的表达式；
（2）P是线段AC上一动点（P与A，C不重合），过点P作轴的平行线交抛物线于点E，求面积的最大值；
（3）点H是抛物线上一动点，在轴上是否存在点F，使得四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A(−1，0)，B(3，0)，；（2）面积的最大值为；（3）存在，，．
【分析】
（1）令抛物线y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；
（3）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．
【详解】
（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入直线解析式得，

解得，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当x=时，PE的最大值=，
△ACE的面积最大值=PE[2-（-1）]= PE=，
（3）存在，如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（-3，0），
如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据
求出
综上所述满足条件的点F的坐标为，．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（2，﹣1），与x轴交于A，B两点，OA=3；

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数y＝﹣x+3图象交x轴于点A，交y轴于点D，连结AC、BD，在x轴上有一点Q，使△AQC 与△ABD相似，求出点Q坐标；
（3）如图2，在直线y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°？若存在，请直接写出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）存在，k=1，k=，k=．
【分析】（1）由顶点坐标为C（2，﹣1）可得对称轴为x=2，然后再根据二次函数图像的对称性，确定A、B的坐标，然后使用待定系数法即可解答；
（2）先通过等腰三角形和相似三角形的性质得到∠CAQ＝∠DAB＝45°，然后分＝和＝两种情况解答即可；
（3）设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，然后确定圆的半径长度，然后运用两点间距离公式列方程，最后根据条件即可确定k的取值．
【详解】解（1）∵函数图像的顶点坐标为C（2，﹣1）
∴对称轴为x=2
∵OA=3
∴B点的横坐标为:2-(3-2)=1,A点的横坐标为3
∴A(3,0),B(1,0)
∴解得
∴函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：连接AC、QC、BD,
令x=0,则y＝﹣0+3=3，即点D坐标为（0,3）
∴OA=OD
∴∠DAB＝45°
要使△AQC∽△ADB，则∠CAQ＝∠DAB＝45°，
①当＝时，△AQC∽△ADB，即＝，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；
②当＝时，△AQC∽△ABD，即＝，解得AQ＝，此时Q（，0）；
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；
（3）连接设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，即AP⊥BP
∵A(3,0),B(1,0)
∴AO=BO=AB=1
∴即：（k-1）a2-（2k+2）a+1=0
∵在直线y＝kx-1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°
∴①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元一次方程时，则k-1=1，即k=1；
②①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元二次方程时，则：
（2k+2）2-4（k-1）=0解得：k=，k=；
综上，存在满足题意得k且取值为k=1，k=，k=．

【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图像与性质、解方程、两点间距离公式、直线与圆的位置关系、相似等知识点，综合应用所学知识是解答本题的关键．
7．如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分∠ACP时，求点P的坐标；
（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t秒．则当t为何值时，的面积是的面积的？

【答案】（1）；（2）；（3）当或
【分析】（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）设与轴相交于点，先求出C，D的坐标，再求出直线的解析式，联立抛物线的函数表达式得出方程组，解方程组即可得点P的坐标；
（3）先求出t的取值范围，过点作⊥轴于点，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EH、HM、EM的长度，分两种情况求出的面积，求出△ABC的面积，根据的面积是的面积的列出关于t的方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
把分别代入得：

解得：
∴
（2）如图，设与轴相交于点

∵平分，⊥
∴
∴
把代入得
∴
设直线的解析式为
把分别代入得

解得：
∴
依题意得
解得，
∴
（3）如图，过点作⊥轴于点

∵∥轴
∴∽
∴
∴由
得
点运动到点的时间为秒，
点运动到点的时间为秒
当时，如图
过点作⊥轴于点
依题意得：
∵，
∴
∴
∴

或
∵
的面积是的面积的
∴或=
解得：（舍去）或（舍去）
当时，如图




∴
综上所述，当或时，的面积是的面积的．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．
8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，．

（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点在抛物线上，且点在第二象限，连接交轴于点，若，求点的坐标；
（3）如图，在的条件下，点在抛物线上，且点在第三象限，点在上，，过点作轴的垂线，点为垂足，连接并延长交于点，若，求的长．
【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）．
【分析】（1）根据题意先确定，，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过点作轴的垂线，点为垂足，设点的坐标为，可知，由，，可知，再利用，代入数据即可求解；
（3）连接，下证≌，得到，过点作轴的垂线，垂足为点，由，得，进而可证四边形为矩形，因为，可得四边形为正方形，取的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，根据，可知，可证得≌，所以，因为，所以，根据外角性质得到，在中，由勾股定理得到，，然后根据锐角三角函数求出，进而在中，由勾股定理得到，，设，则可得到，，分别在与中，由锐角三角函数求出，，又因为，代入数据得到方程，解出方程即可求出的值，即可得到，过点作轴的垂线，点为垂足，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，在中，根据锐角三角函数，代入数据即可得到关于的方程，解出方程即可得到，的长度，最后利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：（1）二次函数，当时，
，
，
，
，，
，，
将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）如图，过点作轴的垂线，点为垂足．

设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，
点在第二象限，
，
，，
，
在中，，
，
，
即，
解得：（舍去），，
点的纵坐标为：，
点的坐标为．
（3）如图，连接．
在与中
，
≌，
，
过点作轴的垂线，垂足为点．
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
取的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点．
在中，，
，
，
，
，
在与中
，
≌，
，
，
，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
四边形为正方形，
设，则，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得：（舍去），，
，
过点作轴的垂线，点为垂足，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点在第三象限，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：（舍去），，
，，
在中，由勾股定理得：，
．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，添加正确的辅助线是解题的关键．
9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AF，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（备用图）
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点E、F的坐标，即可表示出EF的长，再表示出的面积，利用二次函数的性质即可求解；
（3）由（2）可得点F的坐标，分AF为平行四边形的边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：（1）令，
则，即点，
当x=0时，y=3
则点，
抛物线过B、C两点
，
解得
故抛物线的表达式为：；
（2）设点，
则点，
，
∵，故有最大值，

此时，y=
故点；

（3）设点，点，
①当是平行四边形的一条边时，
当点在对称轴的右侧时，
点向左平移4个单位向下平移个单位得到，
同理向左平移4个单位向下平移个单位得到，
即，解得：，故点；
当点在对称轴的左侧时，
同理可得点；

②当是平行四边形的对角线时，
的中点坐标为，此坐标即为的中点坐标，
即，
解得：，
故点；
综上，点或或．

【点评】本题考查一次函数，抛物线的解析式；三角形的面积，二次函数的性质；平行四边形的性质，掌握一次函数，抛物线的解析式，会求三角形的面积，二次函数的性质求最值；利用平行四边形的性质求点的坐标是解题关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．

（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．
【答案】（1）抛物线是回归抛物线；理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先求出点M的坐标，再求出点M关于原点对称的点的坐标，最后代入二次函数，根据回归抛物线的定义即可得出答案；
（2）先求出点C关于原点对称的点的坐标，再将的坐标代入二次函数解析式，即可求出的值，从而得出抛物线的表达式；
（3）先求出抛物线的对称轴，再根据题意求出点C和点D的坐标；根据直线OC与抛物线的交点为E求出点E的坐标；从而求出CD、CE的值；然后根据相似三角形的判定和性质求出CF的值，即可求出点F的坐标．
【详解】解：（1）M横坐标为2，
M纵坐标为4，
则．
关于原点O的对称点为；
当时，．
所以在抛物线上；
因此抛物线是回归抛物线；
（2）关于原点O的对称点为，
又因为点C是这条抛物线的回归点，
因此在抛物线上；
∴，解得
∴
（3）由（2）可知，对称轴为，
抛物线的对称轴与x轴交于点D，
点D的坐标为（-1,0），
由（2）知，，
点C的坐标为（-1,2），
设OC所在直线解析式为：，
将，代入得
，
解得：，
OC所在直线解析式为，
，
解得或，
点E的坐标为（1，-2），
即，，，

在和中：
，
，
．
，
，
，
∴．

【点评】本题考查了新定义函数、求一次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，将新定义的函数与一次函数及二次函数相结合是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在该抛物线上且在第一象限．

求该抛物线的表达式；
将该抛物线向下平移个单位，使得点落在线段上的点处，当时，求的值；
联结，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程求出a、b即可；
（2）根据，求出点D的坐标，把横坐标代入解析式，求出C点纵坐标，求差即可；
（3）延长CB交x轴于点F因为，所以，BA=BF可求F坐标（-4,0），求出BC析式，再求它与抛物线交点即可．
【详解】解：（1）把、代入得
，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）抛物线向下平移时，C点所在直线交x轴于点E，

，
，
，
把x=3代入得
，
，
∴m=；
（3）∵点C在第一象限，连接CB并延长，交x轴于点F，
，，
∴∠BAO=∠BFO，
∴BA=BF，
∴F点于A点关于y轴对称，
∴F点的坐标为F(-4,0)，
由B(0,2)易求BC解析式为：，
与抛物线解析式联立方程组，
，
，
．

【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的平移、比例线段、等腰三角形的性质，注意知识之间的联系，综合运用知识的能力是解题关键．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【分析】（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．
【详解】解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则或，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a1＝，a2＝，
当a1＝时，（不符合题意），
当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立，
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝；
∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义．
13．已知抛物线经过 ，两点，抛物线的对称轴与轴交于点，点 与点关于抛物线的对称轴对称，联结、．

（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点在线段上，当时，求点 的坐标；
（3）点在对称轴上，点在抛物线上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
【答案】（1），对称轴为；（2）；（3）当为边时，；当为对角线时，．
【分析】（1）将，代入抛物线，求解即可；
（2）过点作轴叫轴与点，过点作轴叫轴与点，根据点坐标是，对称轴为，易得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出，根据，点与点关于抛物线的对称轴对称，可证得，，则，有，可得，即可得，据此求解即可；
（3）分两种情况讨论：当为对角线时，当为边时，分别求出点坐标，然后求解即可．
【详解】解：（1）将，代入抛物线 ，
得：，解之得： ，
∴该抛物线的表达式是，
∵，
∴对称轴为；
（2）如图示：过点作轴叫轴与点，过点作 轴叫轴与点，

∵点坐标是，对称轴为，
∴，
∴是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，
∴,
∵,
,

∴,
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，则点坐标是，
∴
∴
∴
∴,
∵,,
∴，即有，
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
即点的坐标是；
（3）∵
①当是平行四边形的边长时，如图2所示，

则必定在轴的上方，并有，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标是6或-2，
又∵点在抛物线上，
∴当时，，
∴平行四边形的面积；
当时，，
同理可得平行四边形的面积；
②当是平行四边形的对角线时，如图3所示，

∵点在对称轴上，并
∴点也在对称轴上，
∴当时，，
∴
∴平行四边形的面积．
综上所述，平行四边形的面积为或．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A(-1，0)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）判断的形状，并证明你的结论；
（3）点是轴上的一个动点，
①当的值最小时， ；
②过点作轴，交抛物线于点，连接，面积的最大值为 ；
（4）为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形为矩形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）直角三角形，证明见解析；（3）①；②4；（4）存在，点Q的坐标为(，)或(，)或(，)．
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；
（3）①作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时MC+MD的值最小，即线段C′D的长，利用待定系数法求得直线C′D的解析式，即可求得m的值；
②设MH交BC于F．利用待定系数法求得直线BC的解析式，可求得点F的坐标，继而可得线段MF的长，然后利用面积和即S△HBC =HF×BO，即可求出解；
（4）利用（2）的结论知∠ACB=90，画出图形，分类求解即可．
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为；
（2）为直角三角形．
证明：当时，，
∴点的坐标为(0，-2)，．
当时，，
∴，．
∴点的坐标为 (4，0)，
∴，，，
∵，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）①作出点C关于轴的对称点C′，则C'（0，2）．

连接C′D交轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小，即线段C′D的长，
设直线C′D的解析式为（），
则，
解得：，
∴直线C′D的解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为（，0）
∴；
②如图，设MH交BC于F，

由（2）知，B（4，0），C（0，-2），
同理求得直线BC的解析式为：，
∵M（，0），
∴H（，），F（，），
S△HBC =HF×BO=，
∴当时，△HBC面积的最大值是4，
故答案为：；4；
（4）存在．理由如下：
由（2）的结论知∠ACB=90，
①当CB为边，点P在轴上时，此时A、P重合，如图，作QG⊥AB于G，

∵PCBQ为矩形，
∴AQ=CB，AQ∥CB，
∴∠QAG=∠CBO，
∴Rt△AQGRt△BCO，
∴AG= BO=4，QG= CO=2，
GO= AG-AO=3，
∴Q(，)；
②当CB为边，点P在轴上时，如图，作QN⊥PC于N，

∵QCBP为矩形，
∴∠PBC=90，且BO⊥PC，
∴∠BCO+∠OBC=∠BCO+∠OPB=90，
∴∠OBC=∠OPB，
∴Rt△OBCRt△OPB，
∴，
∴PO=，
同理可证Rt△CQNRt△PBO，
∴QN=BO=4，CN=PO=8，
NO= CN-CO=6，
∴Q(，)；
③当CB为对角线时，此时O、P重合，如图：

∵PCQB为矩形，
∴BQ=CO=2，CQ=BO=4，
∴Q(，)；
综上，点Q的坐标为(，)或(，)或(，) ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及轴对称－最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；
（3）点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为2时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．

【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）过P作PG∥y轴，交BC于点G，则可构造出相似三角形，将转换为求解即可；
（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM=135°，设点H（x，y），由“AAS”可证△FHE≌△HMQ，可得HE=QM=y-3，HQ=EF=x-2，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解．
【详解】（1）将、代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，作PG∥y轴，交BC于点G，则△DPG∽△DOC，
∴，
由题可知：，设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，，
设P的坐标为，则G的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，将代入抛物线解析式得：，
∴点P的坐标为；

（3）①当M在F右侧时，如图所示，连接FM，以FM为斜边构造等腰直角△FHM，当以H为圆心，FH为半径作圆H，与x轴相切于K时，此时有且只有一个K点满足∠FKM=135°，
此时，连接HK，交PM于点Q，延长CF交于HK于E，则HK⊥x轴，设H（x，y），
由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点F与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点F的坐标为（2，3），CF∥x轴，
∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH=∠HQM=90°，
∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，
∴∠HFE=∠MHQ，
又∵HF=HM，
∴△HFE≌△MHQ（AAS），
∴HE=QM=y-3，HQ=FE=x-2，
而HQ=HK-QK=y-2，
∴y-2=x-2，即：x=y，
∴FE=y-2，
∵，FH=HK=y，
∴，
解得：，（舍去）
∴，，
∴点M的坐标为，
∴；

②当M在F左侧时，如图所示，同①的过程，可证得△HFE≌△MHQ，
此时设H的坐标为（x，y），
显然有，HE=QM=y-3，HQ=FE=2-x，
而HQ=HK-QK=y-2，
∴y-2=2-x，即：4-y=x，
∴FE=y-2，
∵，FH=HK=y，
∴，
同理解得：，
∴，，
∴点M的坐标为，
∴；

综上，线段的长为或．
【点评】本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．