2022-2023学年北京十七中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京十七中高二（上）期末数学试卷

1.  直线l经过，两点，那么其斜率k为(    )

A. 2 B.  C.  D.

2.  已知圆的方程，那么圆心和半径分别为(    )

A. ，2 B. ，2 C. ，4 D. ，4

3.  抛物线的焦点到准线的距离是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.  双曲线的离心率，那么a的值是(    )

A. 9 B. 4 C. 3 D. 2

5.  如图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知数列满足，，则的值为(    )

A.  B.  C. 3 D. 6

7.  已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，那么这两个圆的位置关系不可能为(    )

A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切

9.  世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是(    )

A. 880Hz B. 622Hz C. 311Hz D. 220Hz

10.  若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知数列的前n项和，则______.

12.  若函数，则______；曲线在点处的切线的方程是______.

13.  过抛物线焦点作直线l，交抛物线于A，B两点．若线段AB中点M的横坐标为2，则等于______.

14.  已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为______写出一个正确答案即可；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为______.

15.  已知直线：与直线：，，若，则______；若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则______.

16.  如果数列满足为常数，那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
其中所有正确结论的序号是______.

17.  已知等差数列满足，
求数列的通项公式；
若数列满足，再从①；②；③这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前n项和
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.  如图，四棱锥的底面是矩形，侧棱底面ABCD，E是PD的中点，，，
求证：平面ACE；
求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；
求点P到平面ACE的距离．

19.  已知函数在点处的切线方程为
求函数的解析式；
求函数在区间上的最大值与最小值；
方程有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

20.  已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距是
求椭圆C的方程；
若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；
设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值．

21.  设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称这样的数列具有性质
若数列的通项公式为，数列是否具有性质P？并说明理由；
若，求出具有性质P的数列公差的所有可能值；
对于给定的，具有性质P的数列是有限个，还是可以无穷多个？直接写出结论

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：直线L经过两点，，则直线l的斜率是：
故选：
直接利用斜率公式求出直线的斜率即可．
本题考查直线的斜率公式的应用，考查计算能力．
 

2.【答案】A 

【解析】解：圆的方程，则其的圆心为，半径为
故选：
利用圆的标准方程的性质求解．
本题考查圆的圆心坐标和半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的标准方程的性质的合理运用．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据题意可知焦点，准线方程，
焦点到准线的距离是
故选：
根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：双曲线的离心率，
可得，
解得，
故选：
利用双曲线的离心率，列出方程求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：以长方体的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
的坐标为，，
，，，
，，
的坐标是
故选：
由的坐标为，推导出，，，由此能求出的坐标．
本题考查向量坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，是基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：，，
，即，又，
数列是首项、公差均为1的等差数列，
，，
，
故选：
先由题设推导出，进而说明数列是首项、公差均为1的等差数列，求得其通项公式，再求得结果即可．
本题主要考查等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：根据题意，若存在实数x，y，使得，则平面ABC或平面ABC，
反之，若平面ABC，则向量与、共面，又由点A，B，C不共线，故一定存在实数x，y，使得，
故“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件；
故选：
根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案．
本题考查空间向量基本定理，涉及充分必要条件的定义和判断，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：根据题意，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，，
因为，
所以，
故两圆不可能是内含．
故选：
利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用圆心距之间的距离和两圆半径的关系，结合两圆的位置关系的判断方法进行分析即可．
本题考查了两圆位置关系的判断，解题的关键是确定圆心距和两圆半径之间的关系．
 

9.【答案】C 

【解析】解：由题意，设十三个单音构成的等比数列的公比为q，
则，
而，
故与最接近的是311Hz，
故选：
设十三个单音构成的等比数列的公比为q，从而得，再由求得．
本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：函数的导数为，
令，则或，
函数在上单调递减，在，上单调递增，
或是函数y的极值点，函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是：
故选：
求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】3 

【解析】解：由，
则当时，，
所以，
所以，
故答案为：
由数列的递推公式求得，再求即可．
本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】   

【解析】解：，，
，
曲线在点处的切线的方程是，即，
故答案为：；
根据复合函数的求导法则，可得，求出，利用点斜式，即可得出答案．
本题考查导数的运算和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】7 

【解析】解：由题意知，，
线段AB中点M的横坐标为2，
，
由抛物线的定义知，
故答案为：
结合中位线的性质和抛物线的定义，即可得解．
本题考查抛物线的定义，熟练利用抛物线解决焦点弦长问题是解题的关键，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为双曲线的渐近线为，
所以双曲线的方程为，
故可取，可得双曲线的方程为，
所以
此时其离心率，
故答案为：；
有相同的渐近线的双曲线系为，故可令，可得一个双曲线方程，进而可求离心率．
本题考查了共渐近线的双曲线的方程以及双曲线的离心率，属于基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：直线：与直线：，，，
则，则，
由题意，为直角三角形，故圆心到直线的距离是半径的倍，即圆心到直线的距离是，
由圆心坐标是，由点到直线的距离公式知，圆心到直线的距离是，
则，
解得，
所以a的值
故答案为：，
根据两直线平行的条件建立方程，解方程得出参数的值；
根据直线与圆的位置关系，计算出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而建立方程，解出参数的值．
本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系，根据所给的位置关系建立相应的方程是解答的关键，本题考查了方程的思想，属于中档题．
 

16.【答案】①③④ 

【解析】解：根据题意，数列满足，则，
所以数列是等比差数列，故选项①正确；
对于数列，则不是常数，
所以数列不是等比差数列，故选项②错误；
由等比数列的定义可知，，
所以，
所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；
设等差数列为，公差为d，
所以，
当时，则，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．
故选：①③④．
利于题中给出的等比差数列的定义，即数列满足为常数，结合等差数列和等比数列的定义以及通项公式对各个选项进行逐一分析判断，即可得到答案．
本题考查了新定义问题，以新定义为载体考查了数列知识的应用，解题的关键是正确理解题意，结合所学过的数列的相关概念、公式、定理等知识进行研究．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由，，
可得，，
解得，，
则；
若数列满足，选①，
可得，，
前n项和
；
选②，可得，，
前n项和
；
选③，可得，，
前n项和
 

【解析】由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
选①②③，运用等比数列的通项公式和数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连结BD交AC于O，连结OE，
因为四边形ABCD是矩形，所以O为BD的中点．
又因为E是PD的中点，所以，………分
因为平面ACE，平面ACE，
所以平面……………分
法二：
证明：四棱锥的底面是矩形，侧棱底面ABCD，因此以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，建立空间直角坐标系．
所以，，，，，………分
设平面ACE的一个法向量为，……………分
，
即：，……………分
因为，所以，……………分
又因为平面ACE，所以平面……………分
解：设直线CP与平面ACE所成角为，
因为，平面ACE的一个法向量为，
所以，
即直线CP与平面ACE所成角的正弦值为……………分
解：设点P到平面ACE的距离d，则，
所以点P到平面BDE的距离……………分 

【解析】连结BD交AC于O，连结OE，证明，然后证明平面
法二：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，建立空间直角坐标系．求出平面ACE的一个法向量，求出，通过，证明平面
求出，平面ACE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CP与平面ACE所成角的正弦值．
设点P到平面ACE的距离d，利用求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，点到平面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由函数在点处的切线方程为，故，
由，解得；
，令得或，
或，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，又，，
故；
由知的极小值为，的极大值为，
且在，上单调递增，在上单调递减，
时，，时，，
故要使方程有三个不同的实根，只需，
故所求m的范围是 

【解析】利用，代入原函数求出a的值；
求出在上导数零点处的函数值、端点处函数值，比较即可；
求出原函数的极值，构造出关于m的不等式组求解．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，并在此基础上进一步研究函数零点个数的问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，，
所以，，
又，解得，，
所以椭圆C的方程为；
解：设，，
联立方程组，可得，
，解得，
则由韦达定理可得，，，
则，
又以线段DE为直径的圆经过原点，所以，
即，解得；
证明：由题意，，设，
则直线BH的方程为，
直线AH的方程为，
由中点坐标公式可得，，
所以直线PQ的方程为，
联立直线PQ和直线AH的方程可得，
所以，
故，
所以线段MN的长为定值． 

【解析】利用长轴以及短轴的定义，结合焦距，得到a，b，c的关系，从而得到答案；
联立直线和椭圆的方程，设，，然后利用韦达定理以及，求解即可得到答案；
设，利用点斜式求出直线BH和直线AH的方程，得到点P的坐标，从而得到直线PQ的方程，联立直线PQ和直线AH的方程，解得Q点的横坐标，求解MN的长度即可证明．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，主要考查了直线与椭圆的应用、椭圆的标准方程的求解、点斜式直线方程的求解，在涉及直线与圆锥曲线位置关系的时候，经常用“设而不求”的思想，结合韦达定理进行研究．
 

21.【答案】解：由，对任意正整数n，，
说明仍为数列中的项，
数列具有性质
设的公差为由条件知：，则，
即，必有且，则，
而此时对任意正整数n，，
又n，为一奇一偶，即为整数，
因此，只要为整数，那么为中的一项．
易知：可取，3，对应得到3个满足条件的等差数列．
同知：，则，
必有且，则，
故任意给定，公差d均为有限个，
具有性质P的数列是有限个． 

【解析】由题意，由性质P的定义，即可知是否具有性质
由题设，存在，结合已知得且，则，由性质P的定义只需保证d为整数即可确定公差的所有可能值；
根据的思路，可得且，由为整数，在为定值只需d为整数，即可判断数列的个数是否有限．
本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．