2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

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2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷1.  已知向量，，且，那么实数k的值为(    )A.  B.  C.  D. 22.  直线的倾斜角是(    )A.  B.  C.  D. 3.  抛物线的准线方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”英文为：“TogetherforaSharedFuture”，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：字母togehrfasdu频数32142422112合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是(    )A.  B.  C.  D. 5.  设为数列的前n项和，已知，，那么(    )A. 4 B. 5 C. 7 D. 96.  已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为(    )A.
B.
C.
D.
 7.  如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  圆心为，半径的圆的标准方程为(    )A.  B.
C.  D. 9.  已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么面积的最小值为(    )A.
B.
C.
D.
 10.  抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“”的概率为(    )A.
B.
C.
D.
 11.  地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(    )A. 8km B. 6km C. 4km D. 2km12.  对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列是无界的．记数列的前n项和为，下列结论正确的是(    )A. 若，则数列是无界的
B. 若，则数列是有界的
C. 若，则数列是有界的
D. 若，则数列是有界的
 13.  已知空间向量，，若，则实数______.
 14.  在等差数列中，，，则______.
 15.  两条直线：与：之间的距离是______.
 16.  某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.
 17.  试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为的双曲线方程______.
 18.  已知点P是曲线其中a，b为常数上的一点，设M，N是直线上任意两个不同的点，且则下列结论正确的是______.
①当时，方程表示椭圆；
②当时，方程表示双曲线；
③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点P有6个；
④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点P有8个．
 19.  某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立．收银台
顾客A收银台B收银台C收银台甲a乙b求a，b的值；
求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率．
20.  在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，，，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题．
条件①：平面平面ABCD；
条件②：
求证：平面ABCD；
求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；
求点B到平面ACQ的距离．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.  已知圆C：，圆：及点
判断圆C和圆的位置关系；
求经过点P且与圆C相切的直线方程．22.  已知椭圆E：的离心率为，一个顶点为
求椭圆E的方程；
若求点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且，求点B的坐标．23.  已知无穷数列满足公式设
若，求的值；
若，求a的值；
给定整数，是否存在这样的实数a，使数列满足：
①数列的前M项都不为零；
②数列中从第项起，每一项都是零．
若存在，请将所有这样的实数a从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：向量，，且，
，，
故选：
利用空间向量共线的坐标运算求解即可．
本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．
 2.【答案】A 【解析】解：由直线，得，
则直线l的斜率，其倾斜角为
故选：
化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
 3.【答案】C 【解析】解：抛物线的方程为，
该抛物线的准线方程为
故选：
根据抛物线的几何性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：字母e的频数为4个，
则字母“e”出现的频率是
故选：
根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查频数分布表，属于基础题．
 5.【答案】A 【解析】解：依题意，由，
可知，
当时，
故选：
先将题干已知条件进行转化，再根据公式代入进行计算即可得到的值．
本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 6.【答案】A 【解析】解：连接，如图所示：
在长方体中，平面，
故直线与平面所成角为，
在长方形中，，
在中，，
故选：
根据棱柱的结构特征，可得直线与平面所成角为，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 7.【答案】C 【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有种，
选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，
故所求的概率为
故选：
由已知结合古典概率公式即可求解．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
 8.【答案】B 【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为；
故选：
根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．
本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．
 9.【答案】D 【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，

四棱锥为正四棱锥，平面ABCD，，
为BD的中点，，
平面ABCD，，
，，，，
在直角三角形POC中，当时，OH最小，为，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，
，
又，
当时，的面积最小，为
故选：
取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知，，所以在直角三角形POC中，当时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出面积的最小值．
本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
 10.【答案】C 【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，
又，则，
则满足事件“”的基本事件为，，，，，共6种，
则事件“”的概率为，
故选：
根据古典概型概率计算公式可解．
本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．
 11.【答案】A 【解析】解：设震中为P，依题意有，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，
所以，所以，
所以震中到地震台B站的距离至少为
故选：
设震中为P，根据双曲线的定义以及可求出结果．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
 12.【答案】C 【解析】解：对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，A错误；
对于B，，
，，即随着n的增大，不存在正数M，使得恒成立，
数列是无界的，B错误；
对于C，当n为偶数时，；当n为奇数时，；
，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，C正确；
对于D，，
……，
在上单调递增，
不存在正数M，使得恒成立，数列是无界的，D错误．
故选：
根据已知恒成立，A错误；，不存在最大值，即数列无界；C项分别在n为偶数和n为奇数情况下求和，由此可确定；D项采用放缩法可判断．
本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．
 13.【答案】1 【解析】解：因为，，，
所以，解得，
故答案为：
由，可建立关于m的方程，解出即可．
本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：等差数列中，，，
所以，
所以，
则
故答案为：
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
 15.【答案】2 【解析】解：两条直线：与：之间的距离是
故答案为：
由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
 16.【答案】  【解析】解：设甲能够答对X道题目，
则，
，
若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，
则乙恰好答对两道题的概率为
故答案为：；
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．
 17.【答案】或其它以为渐近线的双曲线方程 【解析】解：渐近线方程为，
设双曲线方程为，，
所以双曲线的方程为或其它以为渐近线的双曲线方程
故答案为：或其它以为渐近线的双曲线方程
首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为，，写出结果即可．
本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．
 18.【答案】②③④ 【解析】解：方程中，当时，可表示圆；
当时，表示双曲线，故①错误，②正确；
在③④中：椭圆方程为椭圆与直线均关于原点对称，
设点，则点P到直线的距离
；
对③：时，若P为直角顶点，如图1，则，，
满足为等腰直角三角形的点P有四个，

图1
若P不是直角顶点，如图2，则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，

图2
故时，使得是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；
对④：时，若P为直角顶点，如图1，则，，
满足为等腰直角三角形的点P有四个．
若P不是直角顶点，如图3，则，，
满足是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，

图3
故时，使得是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；
故答案为：②③④．
对①②，根据方程表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；
对③④，求出点 P到直线的距离 d的取值范围，对点 P是否为直角顶点进行分类讨论，确定 d， t的等量关系，综合可得出结论．
本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．
 19.【答案】解：由表可知，甲选择A收银台的概率为，
乙选项B收银台的概率为；
甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率为；
甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率为 【解析】根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 20.【答案】解：选取条件①：平面平面ABCD，
证明：平面平面ABCD，，平面PAD，且平面平面，
平面ABCD；
选取条件②：，
证明：，，平面ABCD，平面ABCD，，
平面ABCD；
由得平面ABCD，，
则平面ABCD的一个法向量为，
则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：
，则，，，，
设平面ACQ的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面ACQ的一个法向量为，
设平面ACQ与平面ABCD夹角为，
则，
故平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为；
由得平面ACQ的一个法向量为，
，则，
点B到平面ACQ的距离 【解析】分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论；
由得平面ABCD，，建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案；
由得平面ACQ的一个法向量为，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：圆C：，配方为，
可得圆心，半径
圆：，可得圆心，
，
，
圆C和圆相交．
由点，可知切线的斜率存在，
设切线方程为，即，
则，解得或，
要求的切线方程为或 【解析】圆C：，配方为，可得圆心C，半径圆：，可得圆心，求出圆心距离，与半径的和差比较即可得出位置关系．
由点，可知切线的斜率存在，设切线方程为，根据直线与圆相切的性质即可得出
本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：因为椭圆的离心率为，上顶点为，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以，
所以椭圆E的方程为
由题意易知，斜率不存在时不符合要求．
当直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l：，
由，整理得，
因为，
则，
由，得，
化简得，
解得或舍，
所以点B的坐标为 【解析】根据椭圆中a，b，c的关系求解即可；
易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l：，联立直线与椭圆的方程，求出B点坐标，由，化简可得k的方程，解方程求出的值即可求出B点坐标．
本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 23.【答案】解：无穷数列满足公式，
，，
，
当时，，，
此时，若，则，，
若，则，，.
当时，，，
此时，若，则，
若，则，
综上，，1，
存在这样的
，，由可知，，
当时，，，
当时，，，
依次类推，，，，，，
数列的通项公式为，，2，3，， 【解析】由，能求出和
，当时，，求出，若，推导出，若，推导出；当时，求出，若，推导出若，推导出
存在这样的由可知，，当时，求出，当时，求出，依次类推，，，，，，由此能求出数列的通项公式．
本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．