2022-2023学年北京市密云区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年北京市密云区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共15页。试卷主要包含了 已知直线l， 若直线l1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市密云区高二（上）期末数学试卷1.  抛物线的准线方程是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知数列，首项，，则(    )A. 5 B. 8 C. 11 D. 153.  设m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则4.  已知直线l：则下列结论正确的是(    )A. 点在直线l上 B. 直线l的倾斜角为
C. 直线l在y轴上的截距为8 D. 直线l的一个方向向量为5.  如图所示，在四面体中，设，，，M，N分别是棱OA，BC的中点，则可用向量，，表示为(    )A.
B.
C.
D. 6.  若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为(    )A.
B.
C.
D. 2
 7.  若直线：与直线：互相平行，则a的值是(    )A.
B. 2
C. 或2
D. 3或
 8.  已知，，且，则(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 9.  已知直线l：和圆C：，则直线l与圆C的位置关系为(    )A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
 10.  在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足点P满足，其中，，则下列说法不正确的是(    )A. 当时，的面积S的最大值为
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点P，使得
D. 当时，存在点P，使得平面
 11.  已知直线和直线互相垂直，则a的值是______.
 12.  圆心为且和x轴相切的圆的方程是______.
 13.  已知数列的前n项和，，则______，的最小值为______.
 14.  已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为______.
 15.  关于曲线C：，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点对称，也关于x轴、y轴对称；
②曲线C围成的面积是；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于；
④曲线C上的点到原点的距离的最小值为
其中，所有正确结论的序号是______.
 16.  已知数列为等差数列，且，
求数列的通项公式；
若等比数列满足，，求数列的前n项和公式．
17.  已知圆：，圆：，直线l：
求圆心到直线l的距离；
已知直线l与圆交于M，N两点，求弦的长；
判断圆与圆的位置关系．18.  如图所示，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，
求证：平面CDE；
求证：平面CDF；
若点H在线段DE上，且，求异面直线AH与BE所成角的余弦值．
19.  已知椭圆C：的长轴长是焦距的2倍，点F是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线l：与椭圆C交于A，B两点．
求椭圆C的方程；
当时，求的面积；
对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由．20.  已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知．
求证：平面ABCD；
求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．
条件①：平面PAD；
条件②：；
条件③：平面平面
21.  已知椭圆C：的一个顶点为，离心率为，M，N分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于A，B两点，满足，过点M作，垂足为
求椭圆C的标准方程；
判断直线AB是否过定点，如果是，则求出此定点的坐标，如果不是，则说明理由；
写出面积的最大值．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：由抛物线，可得准线方程，
即
故选：
利用抛物线的准线方程是即可得出．
本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题．
 2.【答案】B 【解析】解：首项，，
则数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
故，
所以
故选：
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：m，n是两条不同的直线，是一个平面，
对于A，若，，则由线面垂直的性质得，故A正确；
对于B，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，则n与平行、相交或，故D错误．
故选：
对于A，由线面垂直的性质得；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，或；对于D，n与平行、相交或
本题考查线面垂直的判定与性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 4.【答案】B 【解析】解：对于A：将点代入，可得，故A错误；
对于B：直线l：，则直线的斜率为1，其倾斜角为，故B正确；
对于C：令，可得，即直线l在y轴上的截距为，故C错误；
对于D：直线l的一个方向向量为，故D错误．
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线方程的有关概念，属于基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：在四面体中，设，，，M，N分别是棱OA，BC的中点，
所以
故选：
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 6.【答案】D 【解析】解：由已知可得双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线经过点，
则，
即，
即，
即，
即双曲线的离心率，
故选：
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
 7.【答案】A 【解析】解：直线：与：互相平行，
则，解得或，
当时，直线，重合，不符合题意，
当时，直线，平行，符合题意．
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 8.【答案】B 【解析】解：，，且，
则，，
，
，即，解得
故选：
根据已知条件，结合空间向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题．
 9.【答案】A 【解析】解：由直线l：，得，
可知直线l过定点，
化圆C：为，知圆心，半径为2，
，则P在圆C内，
直线l与圆C的位置关系为相交．
故选：
由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆C内，可得直线与圆的位置关系．
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，是基础题．
 10.【答案】D 【解析】解：对于A选项：当时，点P与重合时，的面积S取最大值为，
故A正确；
对于B选项：当时，P在棱上，
，平面，平面，平面，
到平面的距离为定值，
的面积为定值，当时，三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
对于C选项：时，，故，解得，
时，，故C正确；
对于D选项：时，得，，，
，即不成立，故不存在点P，使得平面，故D错误．
故选：
对于A，B选项，直接利用几何法判断即可；
对于C，D，可建立空间直角坐标系，然后将问题转化为坐标运算判断．
本题考查空间位置关系的判断，坐标法在判断空间线面位置关系时的应用，属于中档题．
 11.【答案】2 【解析】解：因为直线和直线互相垂直，
所以，
即
故答案为：
由已知结合直线垂直的条件即可求解．
本题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：圆心为且和x轴相切的圆的半径为1，
故圆的方程是，
故答案为：
先求出圆的半径，从而得到它的标准方程．
本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．
 13.【答案】3 3 【解析】解：①，，
当时，，
当时，②，
由①-②得，
当时，，
数列的通项公式为，
，
当时，，数列是递增数列，即，
的最小值为3，
故答案为：3；
利用与的关系，求出数列的通项公式，即可得出答案．
本题考查与的关系，考查作差法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：根据抛物线的定义可得，
又，所以，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为，
故答案为：
根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
 15.【答案】①②④ 【解析】解：设为曲线上的任意一点，以代x，以代y，方程不变，曲线，关于x轴，y轴及原点对称，①正确；
当，时，方程可化为：，
即，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，曲线围成的面积为，②正确．
由题意可得，曲线上任意两点之间的距离的最大值为，③错误；
根据图象可知，曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，④正确．
故答案为：①②④．
由已知结合曲线的对称性检验①，结合圆的性质检验②③④即可判断．
本题主要考查了曲线的对称性，圆的性质的综合应用，属于中档题．
 16.【答案】解：设等差数列数列的公差为d，
由，，可得，，
解得，，
所以；
设等比数列的公比为q，
由，，可得，
则，
数列的前n项和为 【解析】由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由等比数列和等差数列的通项公式可得公比，再由等比数列的求和公式可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 17.【答案】解：圆：，
可得圆心到直线l的距离
结合可得弦
圆：，即，
可得圆心，半径，
，
圆与圆的半径之和，
圆与圆的位置是外切． 【解析】圆：，利用点到直线距离公式可得圆心到直线l的距离．
结合利用弦长公式即可得出可得弦
圆：，即，可得圆心，半径，求出及其两圆的半径之和即可判断出位置关系．
本题考查了直线与圆及其两圆的位置关系、点到直线距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：证明：在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，
，
，，，
平面平面DCE，
平面ABF，平面CDE；
证明：梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，平面平面，
，，
，平面ABCD，
以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

，，
，，，，
，，，
，，，，
，平面CDF；
点H在线段DE上，且，，
，，，，
设异面直线AH与BE所成角为，
则异面直线AH与BE所成角的余弦值为：
 【解析】由，，得平面平面DCE，由此能证明平面CDE；
推导出，平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDF；
求出，，利用向量法能求出异面直线AH与BE所成角的余弦值．
本题考查面面平行、线面平行、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 19.【答案】解：椭圆C：的长轴长是焦距的2倍，
，进而可得，椭圆方程为，
点在椭圆上，，解得，
故椭圆C的方程为；
由知椭圆的焦点坐标为，
当时，直线l：过左焦点，右焦点，设，，
由，得，，，，，
，
；
的周长是为定值．
理由如下：直线l：过定点，又为椭圆的左焦点，
又F为椭圆的若焦点，
的周长为为定值． 【解析】由已知可得，进而可得，利用点在椭圆上，可求c，进而可得椭圆C的方程；
直线l：过左焦点，右焦点，设，，联立方程可得，可得，进而可求的面积；
直线l：过定点，又为椭圆的左焦点，可得的周长为
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
 20.【答案】解：证明：若选条件①：平面PAD，又平面PAD，
，又是正三角形，O为AD中点，
，又，且CD，平面ABCD，
平面ABCD；
若选条件②：，又根据题意易知，，
，，
又易知，，且OC，平面ABCD，
平面ABCD；
若选条件③：平面平面ABCD，
又根据题意易知，且平面PAD，平面平面，
平面ABCD；
根据建系如图，则根据题意可得：
，，，，
，，，
，，
设平面EFG的法向量为，
则，取，
又易知平面ABCD的法向量为，
，
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为；
设，，

，
又由可知平面EFG的法向量为，
直线GM与平面EFG所成角的正弦值为：
，，
，，该方程无解，
不存在满足条件的点 【解析】选①或选②根据线面线面垂直的判定定理，即可证明；选③根据面面垂直的性质定理即可证明；
根据建系，利用向量法即可求解；
根据建系，利用向量法，方程思想，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理的应用，向量法求解面面角问题，向量法求解线面角问题，方程思想，属中档题．
 21.【答案】解：由椭圆C：的一个顶点为，
得，又离心率为，，又，
，
椭圆C的标准方程为；
由题意知AB斜率存在，设直线AB的方程为，
由，得，
设，，则，，
，
，
，
即，
，
解得，则直线过定点，且定点在椭圆内，与椭圆有两个交点，
面积的最大值为 【解析】由已知可得，进而利用离心率可求得a，进而可得椭圆C的标准方程；
设直线AB的方程为，，，联立方程组以及，得，进而可得直线AB是否过定点；
由H的轨迹为圆可得面积的最大值．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．