2022-2023学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷

1.  已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为(    )

A.  B.  C. 0 D. 1

2.  双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为(    )

A. 5 B. 6 C. 9 D. 11

3.  若，，，则的值为(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

4.  在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆的位置关系是(    )

A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内含

6.  已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是(    )

A.
B.
C. ，
D. ，

7.  如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面PBC的一个法向量，则的坐标可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  两条直线和分别与抛物线C：相交于不同于原点的A、B两点，若直线AB经过抛物线的焦点，则(    )

A. 1 B.  C. 2 D. 3

9.  设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率均小于，则椭圆的离心率e的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在直四棱柱中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，点M在该四棱柱表面上运动，且满足平面平面当线段DM的长度取到最大值时，直线DM与底面ABCD所成角的正弦值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  复数的模长______.

12.  正方体的棱长是1，则点到平面的距离为______.

13.  已知直线：，：若，则实数______.

14.  在中，，和则的外接圆方程为______.

15.  在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，点A是圆O：上的一个动点，点B在射线AM上，且，当点A在圆O上运动时点B的轨迹记作曲线对于曲线C，有下列四个结论：
①曲线C是轴对称图形；
②点为曲线C的对称中心；
③曲线C与y轴有2个交点；
④曲线C上的点到点M的距离最大值为
其中所有正确结论的序号是______.

16.  在中，，BC边上的高所在的直线方程为，AC边所在直线方程为求点A和点C的坐标．

17.  如图，在直三棱柱中，，M、N分别是，的中点，，
求证：；
求直线CN与平面BCM所成角的正弦值；
求平面BCM与平面所成角的余弦值．

18.  已知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上．
求椭圆C的方程；
过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

19.  如图1，在中，是直角，，P是斜边AB的中点，M，N分别是PB，PC的中点．沿中线CP将折起，连接AB，点Q是线段AC上的动点，如图2所示．

求证：平面ABC；
从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时，求的值．
条件①：；
条件②：

20.  已知椭圆C：的一个焦点为，且经过点和
求椭圆C的方程；
为坐标原点，设，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线PM与直线交于点A，直线PN与x轴交于点B，求证：和面积相等．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：由已知得
故选：
利用斜率的定义式直接计算即可．
本题考查斜率的定义和计算，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：由双曲线得，，
故，
解得
故选：
先根据标准方程求出实半轴长，然后结合双曲线的定义求解．
本题考查双曲线的定义和标准方程，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由已知得，
故
故选：
直接求出向量的坐标，计算求解．
本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：由图可知，，
则
故选：
根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由圆：即与圆：得：
圆：圆心坐标为，半径；圆：圆心坐标为，半径
两个圆心之间的距离，而，所以两圆的位置关系是外切．
故选：
先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．
本题主要考查学生会根据d与及的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．
 

6.【答案】C 

【解析】解：根据题意，若，则，
又由，，
设，则有，解可得，
故选：
根据题意，由线面垂直的判断方法可得，由此设，则有，解可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线和平面垂直的判断，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：在三棱锥中，平面ABC，，，，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设为平面PBC的一个法向量，
所以，即，当时，，
故
故选：
首先建立空间直角坐标系，进一步利用向量的数量积运算和向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：联立，可得，，即，
同理可得，
由抛物线的方程，可得焦点，
由直线AB经过抛物线的焦点，所以，，
解得，
故选：
联立直线的方程与抛物线的方程，可得A，B的坐标，由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意可得k的值．
本题考查直线与抛物线的综合应用及抛物线的性质的应用，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，
又因为，且渐近线的斜率小于，即，
所以，椭圆的离心率，
即椭圆离心率e的取值范围是
故选：
根据渐近线斜率的取值范围可得出a，b的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e的取值范围．
本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率问题，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：根据几何体特征，四棱柱是直四棱柱，
所以平面ABCD，平面ABCD，所以，
要满足平面平面，作于E，延长DE交BC于G，交AB的延长线于F，
作交于H，连接，如图所示；

又因为，所以平面，即平面，
而平面，所以平面平面，
又因为点 M在该四棱柱表面上运动，所以点 M的轨迹是线段DG，GH，；
又因为底面ABCD为直角梯形，，，，，，，
所以∽，即，得，所以；
又，，所以≌，即G为线段BC，DF的中点，
，所以，
易知，当线段DM的长度取到最大值时，点M于点H重合，
此时，即为直线DM与底面ABCD所成的角，
，，
，
所以，线段DM的长度取到最大值时，直线DM与底面ABCD所成角的正弦值是，
故选：
根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点 M在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段DM的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线DM与底面ABCD所成的角，即可求得其正弦值．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
则
故答案为：
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：建系如图，

则，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
点到平面的距离
故答案为：
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查点到平面距离的求解，向量法的应用，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线：，：，，
则，解得或，
当时，直线，重合，不符合题意，
当时，直线，平行，符合题意．
故答案为：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可设圆的方程为，
代人三个点的坐标可得，解得，
所以的外接圆方程为，
故答案为：
由题意设出圆的一般方程，代人点的坐标求解即可．
本题考查了圆的一般方程，是基础题．
 

15.【答案】①③④ 

【解析】解：根据题意可知，A，M两点的最大距离为3，又，
所以A，B在M点的两侧，所以，
设，，则，
所以，即，
即曲线C满足方程，
显然，点和都在该曲线上，所以曲线C关于y轴对称，是轴对称图形，即①正确；
由题意可知只有当A在y轴上时，B才和y轴有交点；
A在y轴上有两个可能的点，所以曲线C与y轴有2个交点，即③正确；
当A为时，曲线C和y轴交点坐标为；当A为时，曲线C和y轴交点坐标为，
显然，和不关于点中心对称，所以②错误；
根据曲线C的方程可知，
当时，曲线C上的点到点M的距离最大，其最大值为，即④正确．
故答案为：①③④．
根据题意可知，A，B，M三点共线，且，根据曲线与方程的求法，可得曲线C满足方程，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查轨迹方程问题，图形的对称性，轨迹中的最值问题等知识，属于中等题．
 

16.【答案】解：因为BC边上的高所在的直线方程为，AC边所在直线方程为，
可得，解得，
易知，
设，则，解得，，故 

【解析】将BC边的高线与AC边的方程联立，解出A的坐标，再设，利用C在AC上，边的高线，列出C的坐标的方程组求解．
本题考查直线方程、以及直线间平行、垂直关系的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：证明：根据题意建系如图，则：
，，，，，
，，
，
；
由知，，，
设平面BCM的法向量为，
则，取，
直线CN与平面BCM所成角的正弦值为：
；
由知平面BCM的法向量为，
又易知平面的法向量为，
平面BCM与平面所成角的余弦值为：
 

【解析】建系，根据向量法即可证明；
根据向量法即可求解；
根据向量法即可求解．
本题考查向量法证明线线垂直，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题．
 

18.【答案】解：由题意知，焦点在x轴上，且，
，故，
所以，
故椭圆的标准方程为：；
由已知得l的斜率为，
故l的方程为：，代入椭圆标准方程整理后得：，
显然，设，，
则，，
故 

【解析】根据定义和a，b，c的关系，解出a，b的值即可；
写出直线l的方程，与椭圆的方程联立，然后利用弦长公式求解．
本题考查椭圆标准方程的求法，解析法研究直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：，N分别是PB，PC的中点，
，又平面ABC，平面ABC，
平面ABC；
若选条件①：，又由题意易知，且，
平面APC，，又易知，
，PB，PC两两相互垂直，
如图，分别以直线PA，PB，PC为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则根据题意可得：

，，，，，
，，设，，
，
设平面MNQ的法向量为，
则，取，
又易知平面MNC的法向量为，
二面角的余弦值为：
，，
解得，，
；
若选条件②：，则根据题意易得≌，
又，，又，
，PB，PC两两相互垂直，
接下来同选条件①的解答． 

【解析】根据线面平行的判定定理即可证明；
选条件①或条件②都可得：PA，PB，PC两两相互垂直，再建系，利用向量法，方程思想即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，向量法求解面面角问题，方程思想，属中档题．
 

20.【答案】解：由已知得，，故，
所以椭圆C的标准方程为：
证明：由椭圆C的标准方程为：，
设，且，，又和，
故，轴，，
故PM的方程为，
同理可得PN的方程为，
将代入直线PM的方程得，
将代入PN的方程得，
故，
，
故 

【解析】根据已知条件求出，，再求出b即可；
利用椭圆的参数方程给出P的坐标，然后表示出直线PM，PN的方程，解出A，B的坐标，即可求出和面积，结论可证．
本题考查椭圆标准方程的求法，解析法研究直线与椭圆的位置关系，属于中档题．