2022-2023学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷

1.  下列直线中，斜率为1的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为，乙中靶概率为，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若直线与直线的交点为，则实数a的值为(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

4.  已知圆C：，则圆C的圆心和半径为(    )

A. 圆心，半径 B. 圆心，半径
C. 圆心，半径 D. 圆心，半径

5.  农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下单位：：
甲：9，10，10，11，12，20；
乙：8，10，12，13，14，
根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是(    )

A. 甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差
B. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值
C. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
D. 甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差

6.  抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 2

8.  在空间直角坐标系Oxyz中，点关于yOz平面对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知椭圆C的焦点为，过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，下列说法正确的是(    )

A. 线段AP长度最大值为，无最小值
B. 线段AP长度最小值为，无最大值
C. 线段AP长度最大值为，最小值为
D. 线段AP长度无最大值，无最小值

11.  某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为______.

12.  已知圆与圆相外切，则______.

13.  如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，若，其中x，y，，则______，______，______.

14.  已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线FM交x轴于点N，若M为线段FN的中点，则焦点F坐标是______，______.

15.  现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于减去该点处所有面角之和多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角，一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，所以正方体在各顶点处的曲率为按照以上约定，四棱锥的总曲率为______；若正十二面体图和正二十面体图的总曲率分别为和，则______填“>”，“<”或者“=”
 

16.  从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．

求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；
从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．

17.  如图，在三棱柱中，，且，㡳面ABC，E为AB中点．
求证：；
求证：平面

18.  已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点
求r的值；
若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长

19.  如图，在长方体，，，点E在AB上，且
求直线与直线所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点A到平面的距离．

20.  已知椭圆C：的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为
求椭圆C的离心率和的面积；
已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为判断直线AG是否于y轴交于定点？请说明理由．

21.  对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
判断集合是否为平衡集，并说明理由；
若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：直线即，其斜率为；
直线即，其斜率不存在；
直线即，其斜率为1；
直线即，其斜率为
斜率为1的是
故选：
把直线方程变形，求得直线的斜率得答案．
本题考查直线的方程，考查直线斜率的求法，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：因为甲中靶概率为，乙中靶概率为，且两人是否中靶相互独立，
所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为
故选：
根据相互独立事件的乘法公式求解即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：直线与直线的交点为，
，解得：
故选：
把两直线的交点坐标分别代入两直线方程，求解得答案．
本题考查两直线交点的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：根据题意，圆C：，即，即圆心为，半径；
故选：
根据题意，将圆的方程变为标准方程，分析可得答案．
本题考查圆的一般方程，注意一般方程的形式，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：对于A，甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，
则甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差，故A错误；
对于B，，，
故甲种麦苗样本株高的平均值小于乙种麦苗样本株高的平均值，故B错误；
对于C，甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，
则甲种麦苗样本株高的中位数小于乙种麦苗样本株高的中位数，故C错误；
对于D，甲种麦苗株高的方差，
乙种麦苗株高的方差，
所以甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合平均数，中位数，极差，方差公式，即可求解．
本题主要考查中位数，平均数，极差和方差的求解，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：根据题意，事件表示“两个点数之和等于8或至少有一颗骰子的点数为5”，
又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为36种，
事件包含的基本事件为：，，，，，，，，，，，，共14种，
则事件的概率为，
故选：
根据和事件的概率的求法可解．
本题考查和事件的概率的求法，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：双曲线的一条渐近线为，
，

故选：
根据双曲线的几何性质，化归转化思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz中，
点关于yOz平面对称的点的坐标为
故选：
根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．
本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：因为椭圆C的焦点为，，
设椭圆的标准方程为，
依题意，解得，
所以椭圆C的标准方程为，
故选：
根据已知条件求得a，b，由此求得椭圆C的标准方程．
本题考查了椭圆的方程，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：分别取，的中点M，N，

，平面BEF，平面BEF，
平面BEF，同理可得平面BEF，
，MN，平面BEF，
点P的轨迹为线段MN，
正方体的棱长为2，，，
当P与点M或N重合时，，
当P为线段NM的中点时，，
线段AP长度最大值为，最小值为
故选：
分别取，的中点M，N，根据面面平的判定定理可得平面平面BEF，故点P的轨迹为线段MN，当P与点M或N重合时，线段AP最长，当P为线段NM的中点时，线段AP长度最小，求解即可．
本题考查线段长的最值问题，属中档题．
 

11.【答案】90 

【解析】解：某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人，
则高三年级有，
采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，
则
故答案为：
根据已知条件，先求出高三年级的人数，再结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样方法，属于基础题．
 

12.【答案】4 

【解析】解：圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径
，
圆与圆相外切，
，
，
故答案为：
根据两圆外切的性质：圆心距与半径的和的关系即可得出结论．
本题考查了两圆外切的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】   

【解析】解：为BC的中点，E为AD的中点，
，
，
，
，，，
故答案为：，，
利用空间向量的线性运算求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，
抛物线的焦点，焦点到准线的距离，
又直线FM交x轴于点N，且M为线段FN的中点，
，
，又M为线段FN的中点，

故答案为：；
根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求解．
本题考抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：四棱锥有4个三角形、一个四边形，5个顶点，

四棱锥的总曲率为：；
正十二面体有12个正5边形，20个顶点，
每个面的内角和为，
所以，
正二十面体有20个正三角形，12个顶点，
每个面的内角和为，
所以
所以，
故答案为：；
根据曲率、总曲率的知识求得正确答案．
本题主要考查几何体的体积，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意可得，，；
由题意可得：从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，2人恰好在同一个数据分组的概率为 

【解析】由频率分布直方图，结合频数分布表求解即可；
由频数分布表，结合古典概型及概率计算公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图，重点考查了古典概型及概率计算公式，属基础题．
 

17.【答案】证明：由，底面ABC，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
所以，，
所以，所以，即；
，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，则，
因为，所以，又平面，
所以平面 

【解析】由题意建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积即可；
求出平面的一个法向量，利用法向量与垂直，即可证明平面
本题主要考查了线线、线面平行的证明问题，也考查了空间向量及其应用问题，是中等题．
 

18.【答案】解：直线l：与x轴的交点为，
圆O：经过点A，

点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，
，
直线l的方程为：，即，
圆心O到直线l的距离，
弦长 

【解析】直线l：与x轴的交点为，代入圆O：，即可得出
由点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，可得，可得直线l的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离d，即可得出弦长
本题考查了直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
所以，，
故直线与直线所成角的余弦值为
因为，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，于是，
设与平面所成角为，
则，，
所以与平面所成角的正弦值为
又，，
点A到平面的距离 

【解析】以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出，，利用空间向量的数量积求解直线与所成角的余弦值即可；
求出平面的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．
利用向量法可求点A到平面的距离．
本题主要考查直线与直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查点到面和距离的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：因为经过点，
所以，解得
所以椭圆，
所以；
因为左顶点为D，右焦点为F，
所以，
所以
已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为G，
设，，则，
则AG的方程为，
令，则，①
联立，可得，
因为过定点，在椭圆内，所以与椭圆恒有两个交点，
故，
所以
代入①，可得，
故直线AG与y轴交于定点 

【解析】根据椭圆经过点可求出，从而可求离心率，求出D，F的坐标，从而可求的面积；
设，，则，联立，可得的方程为，令，得，代入化简即可求解．
本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

21.【答案】解：对于正整数集合，
如果去掉其中任意一个元素之后，
剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
根据“平衡集”的定义知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的平衡集，
所以集合不是平衡集．
证明：设集合…，，所有元素之和为
由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数．
当 M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以 n为奇数．
当 M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，
因为为“平衡集”，
所以也为“平衡集”．
重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“平衡集”，
且对应新集合之和也为奇数，由可知此时 n也为奇数．
综上所述，集合 A中元素个数为奇数．
证明：由知集合…，中元素个数为奇数，不妨假设：
当时，显然任意集合都不是“平衡集”；
当时，设集合，其中，
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有①或②；
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有③或④，
由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾．
因此当时，不存在“平衡集”；
当时，设集合，
去掉元素1，；去掉元素3，，
去掉元素5，；去掉元素7，，
去掉元素9，；去掉元素11，，
去掉元素13，，所以集合是“平衡集”．
因此集合 A中元素个数 n的最小值是
故集合A中元素个数 

【解析】利用平衡集的定义直接判断求解．
设集合…，，所有元素之和为 M，推导出同为奇数或同为偶数．当 M为奇数时，则也均为奇数，从而 n为奇数；当 M为偶数时，则也均为偶数，设，推导出为“平衡集”，由此能证明集合 A中元素个数为奇数．
集合…，中元素个数为奇数，当时，任意集合都不是“平衡集”；当时，推导出不存在“平衡集”；当时，推导出集合是“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数
本题考查平衡集的定义、元素与集合的关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．