2022-2023学年广东省广州九十七中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省广州九十七中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共13页。试卷主要包含了 古代《九章算术》记载， 已知圆C1， 过点P作圆O， 已知直线l1， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 16B. 15C. 14D. 13
2. 已知空间向量n=(1,2,a),m=(a,2,3)，且n⊥m，则|n−m|=( )
A. 26B. 6C. 20D. 25
3. 古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”．由此可知第一人分得的钱数是( )
A. 43B. 1C. 23D. 13
4. 已知圆C1：(x−5)2+(y−3)2=9，圆C2：x2+y2−4x+2y−9=0，则两圆的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5. 设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( )
A. 12B. 24C. 30D. 32
6. 过点P(2,1)作圆O：x2+y2=1的切线l，则切线l的方程为( )
A. 3x−4y−5=0B. 4x−3y−5=0
C. y=1或4x−3y−5=0D. y=1或3x−4y−5=0
7. 已知直线l1：x−ay+2=0与直线l2：(a+2)x+(a−4)y+a=0平行，则a的值是( )
A. −4B. 1C. −4或1D. 4或−1
8. 已知F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆上，(OP+OF2)⋅PF2=0，且|OP+OF2|=2b，则椭圆的离心率为( )
A. 53B. 35C. 54D. 25
9. 下列说法正确的是( )
A. 过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
B. 直线y=3x−2在y轴上的截距为−2
C. 直线3x+y+1=0的倾斜角为60∘
D. 过点(−1,2)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为2x+y=0
10. 已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2018S2020，则( )
A. 在数列{an}中，a1最大B. 在数列{an}中，a2019最大
C. a2020>0D. 当n≥2020时，anb>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|=a+m，|PF2|=a−mB. 若θ=60∘，则1e12+3e22=4
C. 若θ=90∘，则e12+e22的最小值为2D. tanθ2=nb
13. 双曲线x29−y216=1的渐近线方程是______.
14. 以点A(−1,1)，B(3,3)为直径的圆的一般式方程为______.
15. 斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=______.
16. 如图，二面角α−AB−β的大小为60∘，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若PM=2，MN=3，NQ=4，则PQ=______.
17. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=1n(an+7)，求{bn}的前n项和Sn.
18. 已知圆C：x2+y2−2y−4=0，直线l：mx−y+1−m=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|=32，求直线l的方程．
19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=CD=4，AD=2.
(Ⅰ)求证：PA⊥CD；
(Ⅱ)求AP与平面CMB所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角M−CB−P的余弦值．
20. 如图，焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)过点Q(1,m)(m>0)，且|QF|=2.
(Ⅰ)求p的值；
(Ⅱ)过点Q作两条直线l1，l2分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线l1，l2分别交x轴于C，D两点，若∠QCD=∠QDC，证明：y1+y2为定值．
21. 已知数列{an}中，a1=2且an=2an−1−n+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2，a3，并证明{an−n}是等比数列；
(2)设bn=an2n−1，求数列{bn}的前n项和Sn.
22. 已知定点M(−1,0)，圆N：(x−1)2+y2=16，点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为S5=5(a1+a5)2=5a3=25，
所以a3=5，
设等差数列{an}的公差为d，则d=a3−a2=2，
所以a7=a2+5d=3+5×2=13.
故选：D.
由已知结合等差数列的求和公式及性质可求a3，再求得等差数列{an}的公差，从而求得a7.
本题主要考查了等差数列的求和公式，等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由于n⊥m，
所以n⋅m=a+4+3a=4a+4=0,a=−1，
所以|n−m|=|(1,2,−1)−(−1,2,3)|=|(2,0,−4)|=22+42=25.
故选：D.
根据向量垂直列方程，求得a，进而求得|n−m|.
本题考查两向量垂直的条件以及向量的模长求解，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可设，5人的钱数分别为a−2d，a−d，a，a+d，a+2d，
则a−2d+a−d=a+a+d+a+2da−2d+a−d+a+a+d+a+2d=5a=5，解得a=1，d=−16，
故第一人分得的钱数是a−2d=1−2×(−16)=43.
故选：A.
由题意可设，5人的钱数分别为a−2d，a−d，a，a+d，a+2d，再结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：⊙O1：(x−5)2+(y−3)2=9的圆心为C1(5,3)，半径r=3，
C2：x2+y2−4x+2y−9=0的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=14，圆心为O2(2,−1)，半径R=14，
两圆的圆心距|O1O2|=(5−2)2+(3+1)2=5，14−3