2022-2023学年广东省广州十三中高二（上）期末试卷(含答案解析)

2022-2023学年广东省广州十三中高二（上）期末试卷

1.  与向量平行，且经过点的直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在平行六面体中，(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

6.  过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

7.  已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知函数的图象关于直线对称，则(    )

A. 函数为偶函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象

10.  下列说法正确的是(    )

A. 设，是两个空间向量，则，一定共面
B. 设，，是三个空间向量，则，，一定不共面
C. 设，是两个空间向量，则
D. 设，，是三个空间向量，则

11.  已知双曲线C：，则(    )

A. 双曲线C与圆有3个公共点
B. 双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1
C. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线
D. 双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同

12.  已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是(    )

A. 四边形MAPB面积的最小值为4
B. 四边形MAPB面积的最大值为8
C. 当最大时，
D. 当最大时，直线AB的方程为

13.  命题，的否定为______.

14.  设向量，，，则实数______.

15.  若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为______.

16.  一个动圆与圆：外切，与圆：内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.

17.  已知圆D经过点，，
求圆D的标准方程；
若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度．

18.  已知抛物线C：上的点到焦点F的距离为
求抛物线C的方程
过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程．

19.  如图，平面平面ABC，，，，
求证：平面ABC；
求证：

20.  已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，_____.在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为
求椭圆的标准方程；
求的面积．

21.  如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，
求证：平面ACF；
在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．

22.  已知点，圆：，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点
求动点P的轨迹的方程C；
过点的动直线l交曲线C于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：直线和平行，
直线的斜率，
故所求直线方程为：，
即，
故选：
求出直线的斜率，代入点斜式方程，求出直线方程即可．
本题考查了求直线方程问题，考查转化思想，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，
可得：，
所以，
可得，
所以椭圆的离心率为：
故选：
利用已知条件推出b、c关系，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：为平行四面体，

故选：
根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：在上是减函数，
，
又，
，
，
故选：
应用对数函数，指数函数、幂函数的单调性及特殊值1比较大小即可．
本题考查了对数函数，指数函数、幂函数的单调性应用，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，

则



故选：
利用向量加法法则能求出结果．
本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：当要求的直线和AB平行时，由于AB的斜率为，
又直线过点，故要求的直线方程为，即
当要求的直线经过线段AB的中点时，直线的方程为，即
综上可得，这条直线的方程是或，
故选：
当直线和AB平行时，用点斜式求直线的方程；当直线经过线段AB的中点时，用两点式求直线的方程．
本题主要考查用点斜式、两点式，求直线的方程，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程方程为，又由其过点，
则有，
解可得，
则其方程为：，
其标准方程为：，
故选：
根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由已知椭圆的方程可得：，，则，
由椭圆的定义可得，
又因为，所以，
所以，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点Q的轨迹方程为：，
故选：
由椭圆的方程求出a，b，c的值，由此可得，再由已知可得，进而可以求解．
本题考查了椭圆的性质以及圆的定义，涉及到椭圆的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：由题意知，，，即，，
因为，所以，
故，
选项A，，为奇函数，即A错误；
选项B，令，，则，，
所以的增区间为，，
因为，所以B正确；
选项C，因为的最大值为1，最小值为，且，
所以的最小值为，即C正确；
选项D，将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，可得到的图象，即D错误．
故选：
根据正弦函数的对称性可得，从而知，
选项A，化简得，为奇函数；
选项B，结合正弦函数的单调性，可得解；
选项C，根据正弦函数的最值，推出的最小值为，得解；
选项D，根据函数图象的伸缩变换法则，可知得到的函数为
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的单调性、奇偶性、最值问题，以及函数图象的伸缩变换原则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：选项A和B，空间向量可以平移，故A正确，B错误；
选项C，空间向量的数量积满足交换律，即C正确；
选项D，空间向量的数量积不满足结合律，即D错误．
故选：
根据向量能平移，可判断选项A和B，根据向量的数量积满足交换律，不满足结合律，可判断选项C和
本题考查空间向量的概念与数量积的运算法则，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：双曲线C：的顶点的坐标，圆的圆心，半径为1，
所以双曲线C与圆有2个公共点，所以A不正确；
双曲线C：的离心率为：2，椭圆的离心率为，所以乘积为1，所以B正确；
双曲线C与双曲线有相同的渐近线，所以C正确；
双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同，所以D正确；
故选：
判断双曲线与圆的位置关系即可判断A；求出离心率即可判断B；求出渐近线方程判断C；求出焦点坐标判断
本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，所以，，
所以，，
因为，当时，取最小值，
且，所以，四边形MAPB的面积的最小值为，A对；
因为无最大值，即无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B错；
因为为锐角，，且，
故当最小时，最大，此时最大，此时，C错；
由上可知，当最大时，且，
故四边形MAPB为正方形，且有，则MP的方程为，
联立，可得，即点，
由正方形的几何性质可知，直线AB过线段MP的中点，此时直线AB的方程为，D对．
故选：
分析可知当时，四边形MAPB面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断AB选项，分析出四边形MAPB为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD选项．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的计算，圆中四边形面积的最值问题等知识，属于中等题．
 

13.【答案】， 

【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，
命题，的否定是：，
故答案是，
根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．
本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题．
 

14.【答案】 

【解析】解：向量，，，
，解得，
故答案为：
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，
圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为r，则，解得，
圆锥的表面积为，
故答案为：
根据圆锥的结构特征，设圆锥的母线长为l，半径为r，求出l，r，即可得出答案．
本题考查圆锥的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和直观想象，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设动圆圆心，动圆M的半径为，
则由题意知，，
于是，即动点M到两个定点、的距离之和为
又因为 ，
所以点M在以两定点、为焦点，10为长轴长的椭圆上．
设此椭圆的标准方程为，这里，，
则 
故动圆圆心M所在的曲线方程为
故答案为：
由于圆：，圆：，动圆M分别与圆相外切，与圆相内切．故可知动点M到两个定点、的距离之和为6，从而轨迹是椭圆，故可求方程；
本题以圆与圆的位置关系为依托，考查轨迹方程，轨迹是利用圆与圆的位置关系，得出轨迹是椭圆，从而得解．
 

17.【答案】解：设圆D的标准方程，由题意可得，解得，
所以圆D的标准方程为
由可知圆，，
所以圆心到直线l：的距离，
所以 

【解析】设圆D的标准方程，将A，B，C三点坐标代入上式方程，即可求解．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题设，抛物线准线方程为，抛物线定义知：，可得，
：……分
由题设，直线l的斜率存在且不为0，
设：，
联立方程，得，整理得，
则，又P是线段AB的中点，，可得，即，
故：…分 

【解析】结合抛物线的定义，求解p，得到抛物线方程．
设出直线方程，利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理，求解直线的斜率，得到直线方程．
本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
 

19.【答案】证明：在BC上取点P，使，连接DP，
因为，所以，
又因为，，
所以，
所以四边形AFDP为平行四边形，
所以
又平面ABC，平面ABC，
所以平面
因为平面平面ABC，，平面平面，
所以平面
又平面ABC，所以
由知，，
所以 

【解析】在BC上取点P，使，连接DP，AP，推导出，即可证得平面ABC；
由面面垂直的性质定理可得平面ABC，从而得到，再由，，即可证得
本题主要考查了线面平行与线线垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设椭圆C的方程为，，
则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则
选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为
选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为
选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为
由椭圆的定义知，①
又因为，所以，②
由①②可得，
解得，
因此 

【解析】设椭圆C的方程为，，由题意可得
选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；
根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

21.【答案】证明：连接BD交AC于M，，
，，，
，，
又平面ACF，平面ACF，
平面ACF；
设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为，设，
取AD中点O，连接OC，OP，，，侧面底面ABCD，
底面ABCD，，，，，
以O为坐标原点，OC，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面ACF的一个法向量为，
则，令，则，，
平面ACF的一个法向量为，
又，，又，
，
设CH与平面ACF所成角，
则，，解得或，
当时，，
当时，，
故线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为，或 

【解析】本题考查空间中线与面的平行关系、线面角的求法，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，属于中档题．
由，可证，可得，可证平面ACF；
取AD中点O，连接OC，OP，，侧面底面ABCD，可证底面ABCD，以O为坐标原点，OC，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面ACF的一个法向量，设，求CH的方向向量，用向量法表示CH与平面ACF所成角的正弦值得的方程，求解即可．
 

22.【答案】解：由垂直平分线性质知
则，
由椭圆定义知P的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，
所以，，
点P的轨迹方程为；
设，AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，
则，
，
联立，化为，易知恒成立，
代入式可得：，
化为，，解得，
在y轴上存在定点，
当AB的斜率不存在时，可得以AB为直径的圆为，过点，
使以AB为直径的圆恒过这个点 

【解析】如图所示，由，可得动点P的轨迹为椭圆，，，即可得出动点P的轨迹的方程C；
假设在y轴上存在定点，使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为，，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入上式，解出即可．
本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．