2022-2023学年河南省驻马店市确山第一高级中学高二（上）期末数学试卷（A卷）(含答案解析)

2022-2023学年河南省驻马店市确山第一高级中学高二（上）期末数学试卷（A卷）

1.  5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(    )

A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种

2.  若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是(    )

A.  B.  C. 、相交不垂直 D. 不能确定

3.  已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为(    )

A.  B. 4 C.  D. 2

4.  现有分别来自三个地区的10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若椭圆C：的左、右焦点为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是(    )

A. 当点P不在x轴上时，的周长是6
B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C. 存在点P，使
D. 的取值范围是

6.  的展开式中的常数项为(    )

A. 13 B. 17 C.  D.

7.  已知，分别为双曲线C：的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线C的离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D.

8.  过点且与直线平行的直线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  展开式中，的系数为(    )

A. 51 B. 8 C. 9 D. 10

10.  甲、乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图所示，已知抛物线过点，圆过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为(    )

A. 23
B. 42
C. 12
D. 13

12.  已知双曲线C：的左，右顶点分别是，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若是等腰三角形，且的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为(    )

A. 2
B.
C.
D.

13.  若，则______.

14.  若，则x的可能的值是______.

15.  已知，是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则的面积是______.

16.  已知曲线C的方程是，给出下列四个结论：
①曲线C与两坐标轴有公共点；
②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是；
④曲线C围成图形的面积大小在区间内．
所有正确结论的序号是______.

17.  已知，当k为何值时：
方程表示双曲线；
表示焦点在x轴上的双曲线；
表示焦点在y轴上的双曲线．

18.  如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且
求证：；
求EF与所成角的余弦值．

19.  为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动．现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目．规则如下：
①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题．
②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分．
③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分．
已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立．
求乙同学最终得10分的概率；
记X为甲同学的最终得分，求的概率．

20.  已知过坐标原点O的一条直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．
证明：点C，D，O在同一条直线上；
当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标．

21.  如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．
证明：；
若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

22.  抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切．
求C，的方程；
设，，是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种．
故选：
每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．
本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别．
 

2.【答案】A 

【解析】解：直线、的方向向量分别为，，
，
与的位置关系是
故选：
求出直线、的方向向量乘积为0，由此得到与的位置关系．
本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为，
，B是焦点弦的两个端点，，，
又，，可得，
则，，可得，
，，
得，则，可得F到AM的距离为，

故选：
由题意画出图形，利用抛物线的定义及相似三角形对应边成比例求得与F到AM的距离，代入三角形面积公式求解．
本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：设“所取到的是女生报名表”，“取到第i个地区的报名表”，，2，3，
则有
故所取到的是女生报名表的概率为
故选：
利用全概率公式，求解即可．
本题考查全概率公式，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：由椭圆方程可知，，
A.根据椭圆定义，，又，的周长是，故选项A正确；
B.设点，，，故选项B正确；
C.由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，则为正三角形，，
不存在点P，使，故选项C错误；
D.由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，取最大值，此时；当点P为椭圆C的左顶点时，取最小值，此时，，故选项D正确．
故选：
A.根据椭圆定义，，，可得的周长，即可判断出正误；
B.设点，，即可判断出正误；
C.由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，为最大，判断出为正三角形，即可判断出正误；
D.由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的顶点时，取得最值，即可得出的范围，即可判断出正误．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：由的展开式通项公式为可得：
的展开式中的常数项为，
故选：
由二项式定理，结合二项式展开式通项公式求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：依题意，，
设，则，
，又，
，故，即
故选：
设，应用斜率两点式得到，根据P为双曲线C上一点即可得双曲线参数关系，进而求其离心率．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：设直线方程为，又经过，

故，
所求方程为；
故选：
因为所求直线与直线平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值
本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．
 

9.【答案】A 

【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，
而的展开式的通项公式为，
，故有，或，或
故的系数为
故选：
先求得的展开式的通项公式，再求出的展开式的通项公式，可得的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：甲队获得冠军包含下面两种情况，
①第一场比赛甲赢，概率为，
②第一场乙赢，第二场甲赢，概率为，
甲队获得冠军的概率为
故选：
根据比赛规则，可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，分别求出两种情况的概率，相加即可．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先要分析这个事件是分类还是分步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．
 

11.【答案】D 

【解析】解：由题设，，则，
故抛物线的标准方程：，则焦点，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆圆心为，半径1，

，
当且仅当时等号成立，故的最小值为
故选：
由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件．
本题考查了抛物线的焦半径的性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】B 

【解析】解：联立且M在第一象限，可得，而，，所以，
由题设，，故是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与y轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以
故选：
由题设可得，应用两点距离公式求，，再由已知条件知，应用二倍角正切公式求得，结合构造齐次方程，即可求离心率．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
 

13.【答案】1或2 

【解析】解：，
或，解得或
故答案为：1或
根据已知条件，结合组合及组合数公式，即可求解．
本题主要考查组合及组合数公式，属于基础题．
 

14.【答案】1，2，3 

【解析】解：，可得，或，
解得，或，
所以，2，
故答案为：1，2，
直接利用组合数性质求解即可．
本题考查组合数公式的应用，是基础题．
 

15.【答案】2 

【解析】解：设P在左支上，则，又因为，
所以，，
因为，由余弦定理可得，，
所以，故，
的面积是
故答案为：
设P在左支上，则，又，可得，，利用余弦定理求得，利用面积公式求解即可．
本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
 

16.【答案】②③ 

【解析】解：根据题意，曲线C的方程是，必有且，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
作出图象：
依次分析4个结论：
对于①，由于，，曲线C与坐标轴没有交点，故①错误；
对于②，由图可知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；
对于③，若点P，Q在曲线C上，则当且仅当P、Q与圆弧所在的圆心共结时取得最大值，
故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；
对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，，
则第一象限面积为，
故总的面积，故④错误．
故答案为：②③．
根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即可得答案．
本题考查考查曲线方程的图象及性质、涉及绝对值的含义、圆的性质等，是中档题．
 

17.【答案】解：方程表示双曲线，则，可得或；
焦点在x轴上的双曲线，则，；
焦点在y轴上的双曲线，则， 

【解析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
本题考查双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
 

18.【答案】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则，
，

由知…分
，…分
…分
…分

故EF与所成角的余弦值为…分 

【解析】建立空间直角坐标系，可求出，，再利用向量数量积的坐标计算可得即可证得
由知，，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求EF与所成角的余弦值；
本题以正方体为载体，主要考查线线垂直的证明和线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．
 

19.【答案】解：根据题意，不妨设乙同学最终得10分为事件A，
则事件A可能情况：①甲回答两题且错两题，②甲、乙各答一题且各对一题，③乙回答两题且对一题错一题，
则，
故乙同学最终得10分的概率为
记X为甲同学的最终得分，设“”为事件B，
，
，

故 

【解析】按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可；
甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分，分别计算概率再相加即可．
本题考查利用概率的加法公式计算古典概型的概率，独立事件的乘法公式，属于中档题．
 

20.【答案】证明：如图，设点，，则，，

由A，O，B三点共线，知，
所以，即，
所以，即，
所以点C，D，O在同一条直线上．
当直线BC的斜率为0时，轴，
则，即，所以，
由知，所以，解得，
所以点A的坐标为 

【解析】设点，，则，，由A，O，B三点共线，知，即有，将等式化成以3为底的对数，即可得，从而得证；
由题意可得轴，即有，化简得，再代入中，即可求出A点坐标．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为，O为BD的中点，所以，
又平面平面BCD，平面平面，平面ABD，
所以平面BCD，又平面BCD，
所以；
方法一：
取OD的中点F，因为为正三角形，所以，
过O作与BC交于点M，则，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，
设平面BCE的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故
方法二：
过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，
由题意可知，，又平面BCD
所以平面BCD，又平面BCD，
所以，又，，FG、平面EFG，
所以平面EFG，又平面EFG，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以 

【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
利用等腰三角形中线就是高，得到，然后利用面面垂直的性质，得到平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明；
方法一：建立合适的空间直角坐标系，设，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．
方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，求出，，然后利用锥体的体积公式求解即可．
 

22.【答案】解：因为与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：，
令，则，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故，
因为，故，
抛物线C的方程为：，
因为与l相切，故其半径为1，故：
另解：根据抛物线的对称性，由题意可得，
因此点P，Q的坐标为，
由题意可设抛物线C的方程为：，
可得，
因此抛物线C的方程为
而圆M的半径为圆心M到直线l的距离为1，
可得的方程为
很明显，对于或者斜率不存在的情况以及斜率为0的情况满足题意．否则：
设，，
当，，其中某一个为坐标原点时假设为坐标原点时，
设直线方程为，根据点到直线距离为1可得，解得，
联立直线与抛物线方程可得，
此时直线与的位置关系为相切，
当，，都不是坐标原点时，即，直线的方程为，
此时有，，即，
同理，由对称性可得，，
所以，是方程的两根，
则，
依题意有，直线的方程为，
令M到直线的距离为d，则有，
此时直线与的位置关系也为相切，
综上，直线与相切．
另解：设，，2，3，
由直线的两点式可知，直线的方程为，
化简可得，
因为直线与圆M相切，所以，
整理得，
同理有，
所以，是关于y的方程的两个根，
则，
依题意有，直线的方程为，
令M到直线的距离为d，则有，
此时直线与的位置关系也为相切，
综上，直线与相切． 

【解析】由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；
分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．
本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．