2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷

1.  方程表示的图形是(    )

A. 两条直线 B. 双曲线
C. 一个点 D. 一条直线和一条射线

2.  已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是.(    )

A.  B.  C.  D.

3.  方程表示的曲线关于成轴对称图形，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知点，，则的最小值为(    )

A.  B. 27 C.  D. 12

5.  设直线与圆O：交于点A，B，以线段AB上一点C为圆心作一个圆与圆O相切，若切点在劣弧上，则圆C的半径最大值为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.  若抛物线图象上一点到直线距离的最小值为，则(    )

A. 7 B. 8 C. 8或 D.

7.  已知双曲线，过其右焦点F作圆的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知圆C方程为，将直线l：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数(    )

A. 始终为0 B. 是0或1 C. 是1或2 D. 是0或1或2

9.  下列结论正确的是(    )

A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B. 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等
C. 直线的斜率为，则其倾斜角为
D. 经过任意两个不同的点，的直线方程可以表示为：

10.  已知曲线C：则下列命题正确的是(    )

A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线

11.  如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 平面
C.  D.

12.  已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点其中A在B的上方，O为坐标原点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l点P，Q，N，点A、B在准线l上的投影分别为点H和点D，则(    )

A. 若，则直线AB的斜率为
B.
C.
D. 若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为

13.  已知直线的系数a、b、c中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第______象限．

14.  设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数______.

15.  过点引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线l的斜率等于______.

16.  已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的右顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为______.

17.  已知直线：，
当直线在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数m的值；
若，实数m的值．

18.  已知以点P为圆心的圆经过点和，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且
求直线CD的方程；
求圆P的方程．

19.  如图1，四边形ABCD为等腰梯形，，，将沿AC折起，E为AB的中点，连接DE，如图2中，
求线段BD的长；
求直线BD与平面CDE所成的角的正弦值．

20.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，侧面底面若
若E，F分别为PC，PD的中点，求直线BE与CF所成的角；
为线段AC上一点，若平面APD与平面GPD所成角的余弦值，求的值．

21.  已知抛物线C：，
经过点作直线l，若l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l的方程；
设抛物线C的准线与x轴的交点为N，直线m过点，且与抛物线C交于A、B两点，AB的中点为Q，若，求的面积．

22.  已知双曲线C经过点，两条渐近线的夹角为
求双曲线C的标准方程．
若双曲线C的焦点在x轴上，点M，N为双曲线C上两个动点，直线PM，PN的斜率，满足，求证：直线MN恒过一个定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：由，得或，
故方程表示的图形是两条直线，
故选：
由已知的方程得到或，从而得到方程表示的图形．
本题考查曲线与方程的应用，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：如图，，，，则：

，
设平面的法向量为，则：
，
，取，则，，
平面的一个法向量为：
故选：
可画出图形，得出点，A，C的坐标，进而得出向量，然后设平面的法向量为，从而得出，代入向量坐标进行向量坐标的数量积运算即可求出的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平面法向量的定义，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：曲线关于成轴对称图形，即圆心在上．圆心坐标是，所以
故选：
由圆的方程一般式求出圆心，代入对称轴方程即可．
本题考查圆的一般式方程，求圆心等，是基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：点，，
则，
当时，
故选：
根据已知条件，结合空间两点间的距离公式，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查空间两点间的距离公式，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：如图，直线l：与圆O：相交于AB，
当C点在线段AB上移动时，圆C与圆O相切于劣弧上的某一点，
其半径，设AB的中点为M，则，且，
即当C点移动到M点时，最小，以C为圆心，且与大圆的劣弧AB相切的圆C的半径最大，此时C点与M重合，
而，故圆C半径的最大值为
故选：
作出直线与圆，使它们相交，然后再研究随着C点在线段AB上移动时，小圆半径的变化规律，据此求出圆C半径的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：联立，可得，
又根据题意可知抛物线与直线无交点，
，，
设抛物线上任一点，，
则P到直线距离，
又，，
，且，
当时，d的最小值为，
解得，
故选：
根据题意可得抛物线与直线无交点，从而可得，再设抛物线上任一点，，然后利用点到直线的距离公式及函数思想即可求解．
本题考查直线与抛物线的的位置关系，抛物线上的点到直线距离的最值问题，函数思想，属中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：如图，双曲线，
过其右焦点F作圆的两条切线，切点记作C，D，
双曲线的右顶点为E，，
，，
，，，
，
解得，

故选：
根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到，，，，，
利用勾股定理求出a，c间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：圆C：，圆心，，
故圆心C到直线l：的距离为，
将，代入上式得，
故直线与圆C相离，没有公共点；
将代入直线得，故圆心C在直线的上方，
将直线l：绕逆时针转，所得直线过点，且倾斜角为，
故此时：，即，
此时圆心C到直线的距离为：，故此时直线与圆C相切，有1个公共点，
而代入直线得，故圆心C在直线的下方，
所以将直线l：绕逆时针旋转到的位置的过程中，经历了与圆相离，相切，相交，再相切的过程，
故公共点的个数为0个或1个或2个．
故选：
先利用几何法判断直线与圆C的位置关系，得到公共点的个数，同理再判断与圆C的位置关系，同时判断圆心与直线的位置关系，即可解决问题．
本题考查直线与圆位置关系的判断方法和应用，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：A、直线的倾斜角为，时，不满足直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，故A错误；
B、斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，由倾斜角的范围为函数单调，故B正确；
C、当直线的斜率为，则其倾斜角为，故C错误；
D、经过两个不同点、的直线的方程无论斜率存在不存在，都可表示为，故D正确，
故选：
利用直线的斜率倾斜角的关系、直线的两点式方程逐项判断即可．
本题考查直线的斜率和倾斜角，直线的两点式方程，属基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：对于A，若，则C是椭圆，其焦点在y轴上，因为方程化为：，，焦点坐标在y轴，所以A正确；
对于B，若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以B不正确；
对于，C若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以C不正确；
对于，D若，，方程化为，则C是两条直线．所以D正确；
故选：
通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断A，求出圆的半径判断B；通过求解双曲线的渐近线方程，判断C；利用，，判断曲线是否是两条直线判断
本题考查命题的真假的判断，考查曲线与方程的应用，是中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：设，，，如图，

则，，
，
对于A，，故A正确；
对于B，连接AC，BD，设，连接，，
则由平行六面体可知，，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，故B正确；
对于C，=，，

-+
=-++
=+
=，故C错误；
对于D，，，
-，
，故D正确．
故选：
对于A，设，，，利用向量法求解判断；对于B，连接AC，BD，设，连接，，利用线面平行的判定定理进行判断；
本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：抛物线焦点为，设直线AB方程为，，，，

由得，
由韦达定理可知，，
因为，则可得，
且，
所以，即，
且，，
解得，
得，
所以，且，
所以，故A正确；
因为点A、B在准线l上的投影分别为点H和点D，
所以，，
又AB的中点，
所以，，
所以

，
所以，故B错误；
又因为，
故直线MN方程为，
又因为O，P，A共线，所以，
同理可得，
，
所以，，即，故C正确；
若P，Q是线段MN的三等分点，则，
，
，
又，
，
，
所以，
解得，故D正确．
故选：
设直线方程为，，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得，，从而可以表示出M点坐标，然后求出P，Q，N，H，D坐标，然后依次判断各项即可．
本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】一 

【解析】解：由题意可知，，
直线方程可化为，
若，，，则，，所以直线过第一、二、四象限，
若，，，则，，所以直线过第一、二、三象限，
若，，，，，所以直线过第一、三、四象限，
该直线一定经过第一象限．
故答案为：一．
先把直线方程化为斜截式，再分情况讨论，判断直线所过象限即可．
本题主要考查了直线的一般方程，考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．
 

14.【答案】1 

【解析】解：，B，D三点共线，
向量和共线，故存在实数，使，
由题意可得，
即，
故可得，解得，
故，
故答案为：
由题意可得向量和共线，存在实数，使，可得关于k，的方程组，进行求解即可．
本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
当时，面积最大，
此时O到AB的距离，
设AB方程为，即，
则，解得或舍去，
故直线l的斜率等于
故答案为：
根据已知条件，先求出O到AB的距离，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线上一点到其焦点的距离为5，
，，抛物线方程为：，
将点代入抛物线方程中，可得，
，
又双曲线的右顶点为A为，且双曲线的一条渐近线与直线AM平行，
，

故答案为：
根据抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

17.【答案】解：当直线经过原点时，，显然满足题意，
当直线不过原点时，令得，，令得，
所以，
解得或；
因为，
所以，解得 

【解析】当直线经过原点时，，显然满足题意，当直线不过原点时，分别求出直线在x，y轴上的截距，结合题意可求；
利用两条直线平行的充要条件列式求解即可．
本题考查了直线方程的应用问题、两条直线平行的充要条件的应用，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：直线AB的斜率，AB的中点坐标为…分
直线CD的方程为…分
设圆心，则由点P在CD上，得①
又直径，，②…分
由①②解得或，圆心或…分
圆P的方程为或…分 

【解析】先求得直线AB的斜率和AB的中点，进而求得CD斜率，利用点斜式得直线CD 方程．
设出圆心P的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a和b的等式综合求得a和b，则圆的方程可得．
本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．
 

19.【答案】解：证明：在图1中作，交AB于H，
则，，，，

，，
在图2中，，，，
平面ACD，
取AC中点F，连接DF，FE，则FA，FE，FD两两垂直，
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

，，
线段BD的长为
，
，，
，，
设平面CDE的法向量为，
则，取，得，
设直线BD与平面CDE所成的角为，
则直线BD与平面CDE所成的角的正弦值为：
 

【解析】推导出，从而平面ACD，取AC中点F，连接DF，FE，则FA，FE，FD两两垂直，以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BD的长．
求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出直线BD与平面CDE所成的角的正弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，
侧面底面ABCD，
平面ABCD，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

设，E，F分别为PC，PD的中点，
则，，，
，，，
，，
设直线BE与CF所成的角为，
则，
直线BE与CF所成的角为；
为线段AC上一点，设，，
则，，
，，，
，，
设平面PDG的法向量，
则，取，得，
平面APD的法向量，
平面APD与平面GPD所成角的余弦值，
，
由，解得，
 

【解析】推导出平面ABCD，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与CF所成的角；
为线段AC上一点，设，，则，求出，求出平面PDG的法向量和平面APD的法向量，利用向量法能求出的值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：直线l的斜率时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得，解得，此时l与抛物线C有且仅有一个公共点；
直线l的斜率时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得，令，化为，解得或1，
此时直线l的方程为或，即或，此时l与抛物线C有且仅有一个公共点．
综上可得直线l的方程为：，或
抛物线C：的准线方程为，
抛物线C的准线与x轴的交点为
设，，线段AB的中点，
设直线m的方程为：，代入抛物线方程可得：，
，
则，，
解得，，
，，
化为，
解得，
的面积 

【解析】直线l的斜率时，直线l的方程为，满足题意；直线l的斜率时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得，令，解得k，即可得出直线l的方程．
抛物线C：的准线方程为，可得抛物线C的准线与x轴的交点设，，线段AB的中点，设直线m的方程为：，代入抛物线方程可得：，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式可得m，代入的面积，即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、抛物线中的弦长公式、面积问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、直线与抛物线相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线为或，
①若渐近线为，
设双曲线方程为，将代入可得，
即双曲线方程为，
②若渐近线为，
设双曲线方程为，将代入可得，
即双曲线方程为，
综上：双曲线C的标准方程为或；
证明：双曲线焦点在x轴上，由可得方程为，
以为坐标原点，重建坐标系，
此时曲线C的方程为，可化为，
设MN的方程为，代入上式得，
因为M，N横坐标不会为不与P重合，
所以上式除以，可得，
记，有，
整理得，
所以，可得，
可得在新坐标系下，直线MN经过定点，
还原到原始坐标系，定点坐标为 

【解析】因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线为或，分情况讨论即可；
由可得方程为，以为坐标原点，重建坐标系，此时曲线C的方程为，化简整理，记，整理得，利用韦达定理得到，可得，进而可得在新坐标系下直线MN经过定点，还原到原始坐标系即可．
本题考查双曲线的标准方程，双曲线中的定点问题，属于中档题．