2022-2023学年河南省周口市太康县高二（上）期末数学试卷（文科）(含答案解析)

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2022-2023学年河南省周口市太康县高二（上）期末数学试卷（文科）1.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  若直线l的方向向量，平面的法向量，则(    )A.  B.  C.  D. 或4.  若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，则(    )A. 506 B. 1011 C. 2022 D. 40446.  已知点，，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )A. 3 B. 2 C.  D. 7.  点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于(    )A.  B.  C. 3 D. 98.  设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差(    )A. 2 B. 1 C.  D. 9.  设椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上的点，，则C的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 10.  一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有(    )A. 442个 B. 408个 C. 340个 D. 306个11.  已知双曲线C：右焦点为F，圆F的半径为2，双曲线C的一条渐近线与圆F相交于A、B两点．若，则双曲线C的离心率为(    )
A.  B.  C. 2 D. 12.  设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 13.  已知向量，，若，则______.14.  已知点F是抛物线E：的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______.15.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为______.16.  将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第5个数是______.
 17.  已知向量
求；
求夹角的余弦值．
18.  如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且
求证：；
求EF与所成角的余弦值．
19.  已知等差数列，，
求的通项公式；
求数列的前n项和为20.  河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽24m，一条船在水面以上部分高，船顶部宽
试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？精确到
21.  已知椭圆M：的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点
求椭圆M的方程；
若直线与圆E：相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设的面积与的面积分别为，
①求的最大值；
②当取得最大值时，求的值．22.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为
求双曲线C的标准方程；
已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：


，
故选：
根据向量的坐标运算的性质计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是一道基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系，
不，则，，，，

，

与SA所成角的余弦值为
故选：
建立空间直角坐标系，利用，即可得出．
本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 3.【答案】D 【解析】解：直线l的方向向量，
平面的法向量，
，
或
故选：
由，得到
本题考查线面位置关系的判断，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：化为标准方程为
为圆的弦MN的中点，
圆心与点P确定的直线斜率为，
弦MN所在直线的斜率为2，
弦MN所在直线的方程为，即
故选：
由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．
本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直与弦MN所在的直线是解本题的关键．
 5.【答案】D 【解析】解：，
，
，

故选：
根据递推关系式得到，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：点，，，
圆化为，
圆心，半径是
直线AB的方程为，
圆心到直线AB的距离为
直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是
面积的最小值为
故选：
由题意可得，要求的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．
本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．
 7.【答案】C 【解析】解：圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径为，
因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：对称，
所以直线l：经过圆心，
所以，解得
所以圆的方程为：，圆的半径
故选：
根据题意可得：直线l：经过圆心，代入运算解得，再代入求圆的半径．
本题主要考查了圆的方程的求解，主要是确定圆的圆心及半径，属于中档题．
 8.【答案】D 【解析】解：等差数列的前n项和为，，，成等差数列，且，
，
，
解得的公差
故选：
利用等差数列前n项和公式和等差数列性质列方程，能求出公差．
本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 9.【答案】D 【解析】解：如图所示，，
把代入椭圆方程可得：，解得，
取，
在中，，
，
，
化为：，，
，
故选：
如图所示，，把代入椭圆方程可得：，解得y，可得在中，，可得，进而得出结论．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 10.【答案】C 【解析】解：设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列，共n排座位，
故得到首项，公差，，
由可得，
所以座位总数为，
故该礼堂的座位总数共有340个，
故选：
根据题意可知是等差数列，可得，公差，，求出，然后用等差求和公式即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 11.【答案】B 【解析】解：如图，

设双曲线的一条渐近线方程为
H为AB的中点，可得
由F到渐近线的距离，得
可得，
故选：
根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．
本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键，属于中档题．
 12.【答案】D 【解析】解：如图所示：

因为圆的方程为即为，所以圆心，半径，
因为，
所以，
因为，，
所以，
设l：，所以，整理得，
所以，则，当，时取等号，
综上可知最小值为，
故选：
根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标，的特点结合基本不等式求解出的最小值．
本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难．已知抛物线上任意一点以及焦点F，则有；当过焦点的直线l与抛物线相交于，则有
 13.【答案】 【解析】解：，，，
，解得
故答案为：
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
 14.【答案】4 【解析】解：设，，而，，，，
则，①，
由，得，
所以，②，
联立①②得：
故答案为：
根据抛物线的几何性质以及向量的运算性质即可得出结论．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，线段与y轴交于点Q，，P在y轴右侧，则，
，，
为等腰三角形，，
，，
整理可得，
，，
故答案为：
由线段与y轴交于点Q，可得点P的横坐标，代入椭圆方程可得P的纵坐标，由为等腰三角形，得，用a，b，c表示此等式转化为离心率e的方程，解之可得．
本题考查椭圆的几何性质，考查离心率的计算，考查运算求解能力，属中档题．
 16.【答案】583 【解析】解：根据题意，记每一行的第1个数组成数列，
由数表可得：，，，⋅⋅⋅，，
累加得，
所以，即第20行从左到右的第1个数是570；
则第20行从左到右的第5个数是；
故答案为：
根据题意，记每一行的第1个数组成数列，利用累加法分析求出的值，进而分析可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及数列的有关性质，属于基础题．
 17.【答案】解：因为，所以
，，
所以夹角的余弦值为 【解析】利用空间向量的模长公式求模长．利用空间向量的数量积的应用求两个向量的夹角的余弦值．
本题主要考查空间向量的模长公式以及空间向量的数量积的应用．
 18.【答案】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则，
，

由知…分
，…分
…分
…分

故EF与所成角的余弦值为…分 【解析】建立空间直角坐标系，可求出，，再利用向量数量积的坐标计算可得即可证得
由知，，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求EF与所成角的余弦值；
本题以正方体为载体，主要考查线线垂直的证明和线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．
 19.【答案】解：由已知得，
解得，
的通项公式为，
即；
由得数列的前n项和 【解析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解；
结合等差数列的求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
 20.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是
因，故当时，，
故当水位暴涨后，船身至少应降低，
因精确到，故船身应降低
故船身应降低，才能安全通过桥洞． 【解析】设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，设拱桥所在的抛物线方程为，由点在抛物线上，能求出拱桥所在的抛物线方程．
因，故当时，，故当水位暴涨后，船身至少应降低，由此能求出船身应降低，才能安全通过桥洞．
本题考查抛物线标准方程的求法及应用，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
 21.【答案】解：由题意可得，解得，
椭圆M的方程
①直线与圆E：相切于点P，
，即，
设，，
将直线代入椭圆C的方程，得，

，
，，
，
设点O到直线l的距离为，
故的面积为：
，
当，即等号成立，
故的最大值为
②设，由直线与圆E相切于点P，可得，
，可得，，
，
，，
 【解析】由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程；
①根据直线于圆相切可得，设，，根据韦达定理和弦长公式求出，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出面积的最大值，
②设，根据直线与椭圆的关系，即可求出点Q的坐标，表示，即可求出，再根据面积的比就是高的比，即可求出答案．
本题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与圆相切、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2，
由在双曲线C上，得①，
由TP垂直x轴于点P，得，
则由P到双曲线C的渐近线的距离为2，得，
得，
代入①，得，即，从而，
故双曲线C的标准方程为；
已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，
由题意，，可设直线l：，则，
联立得，得，
设，，则，
从而，
则线段AB的中点，
且
由题意设，
易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，
得，即，
连接QP，QA，QM，因此，
由勾股定理可得，，
又，则，
化简得，得舍去，
因此直线l的方程为 【解析】利用点在双曲线上和点到渐近线的距离等于2得到关于a、b的方程组，进而求得标准方程；
设出直线l方程，联立直线和双曲线方程，得到关于y的一元二次方程，利用直线l与双曲线C的右支相交于两点，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形外心的几何性质进行求解．
本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．