2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

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2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷1.  已知，则数列的图象是(    )A. 一条直线 B. 一条抛物线 C. 一个圆 D. 一群孤立的点2.  若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  已知集合为实数，且，，y为实数，且，则的元素个数为(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.  在等比数列中，如果，，那么等于(    )A. 135 B. 100 C. 95 D. 806.  函数的图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 7.  设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(    )A.  B.  C.  D. 8.  青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿、用器等，青铜是红铜与其它化学元素锡、锦、铅、磷等的合金．其铜锈呈青绿色，故名青铜．青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平．图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面．已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为寸．最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 9.  在棱长为1的正方体中，M是线段上一个动点，则结论正确的是(    )A. 直线垂直于直线AC
B. 存在点M使得二面角为的二面角
C. 存在点M使得异面直线BM与AC所成角为
D. 三棱锥的体积为
 
 10.  已知无穷等差数列的前n项和为，，，则(    )A. 数列单调递减
B. 数列没有最小项
C. 数列单调递减
D. 数列有最大项
 11.  下列不等式中正确的是(    )A.
B.
C.
D.
 12.  在平面直角坐标系中，A，B是圆C：上的两个动点，P点坐标为，则下列判断正确的有(    )A. 面积的最大值为1
B. 的取值范围为
C. 若AB为直径，则
D. 若直线l过点则点A到直线l距离的最大值为
 
 13.  在长方体中，，，，则点到平面的距离______.
 14.  已知数列的前n项和为，且，则______.
 15.  已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且，若球O的表面积为______.
 16.  ，若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是______.
 17.  已知圆C：，直线l：
求证：直线l恒过定点；
求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值．
18.  设数列的前n项和为，，
求证：数列是等差数列；
设，求数列的前n项和19.  如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．
求证：平面ABC；
求二面角的余弦值．
20.  某地出现了虫軎，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．
设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？
设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？21.  已知椭圆过点，点A为其左顶点，且MA的斜率为
求C的方程；
，Q为椭圆C上两个动点，且直线AP，AQ的斜率之积为，求证直线PQ过定点．22.  已知函数
已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．
当时，求证
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：，变量，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点，
故选：
由于自变量，即可判断出．
本题考查了数列的函数特点性质，属于基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，
对于选项A：，故，，共面，故A错误，
对于选项B：，故，，共面，故B错误，
对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，
对于选项D：由选项A得：，故，，共面，故D错误，
故选：
向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可
本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标，属简单题
 3.【答案】B 【解析】解：M与A、B、C共面的条件是，且，
故B选项正确，
故选：
根据共面条件可知，，即可得出答案．
本题考查了四点共面的条件，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：联立两集合中的关系式得：
，
由②得：，代入②得：即，解得或，
把代入②解得，把代入②解得，
所以方程组的解为或，有两解，
则的元素个数为2个．
故选：
观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两关系式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．
此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．
 5.【答案】A 【解析】解：利用等比数列的性质有，，，成等比数列，
，，则，
故
故选：
根据等比数列的性质可知，，，，成等比数列，进而根据和的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得的值．
本题主要考查了等比数列的性质．等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比．
 6.【答案】D 【解析】解：当时，函数，可得函数的极值点为：，
当时，函数是减函数，时，函数是增函数，并且，
选项A、D满足题意，排除BC，
当时，函数，选项A不正确，选项D正确．
故选：
根据函数值在，上的正负以及单调性可确定选项．
本题考査由函数解析式确定函数的图像，定义域，值域，对称性，单调性是常用的判断方法，本题属于中档题．
 7.【答案】C 【解析】解：依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理知
可知
根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，求得
双曲线渐近线方程为，即
故选：
利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，
本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题
 8.【答案】B 【解析】解：把该青铜器近似看成双曲线，建立直角坐标系，
并作出双曲线如下，设AM，BN均和y轴垂直，则，，，，
设双曲线方程为：，
根据，双曲线经过，可知，设A，B的纵坐标分别为m，n，
结合图形可得，，
由，，，，
，，由，
，解得，
故选：
将实际问题转化成坐标系中的双曲线方程，可求解．
本题考查求双曲线的离心率问题，考查方程思想，属中档题．
 9.【答案】ABC 【解析】解：由题意可知，，，，A正确；

当M为中点时，二面角的平面角为，所以B正确；

异面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与所成角，

为正三角形，当M为中点时，，C正确；
三棱锥的体积为，D错误．
故选：
由，，即可判断A；当M与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断B；为正三角形，当M为中点时，，可判断C；根据三棱锥体积公式计算即可判断
本题考查异面直线所成的角、二面角、三棱锥的体积的计算，是中档题．
 10.【答案】ABD 【解析】解：数列的前n项和为，，
由于，故数列为单调递减数列，
且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，
则，符合二次函数的特点和性质，数列的性质是先增后减，
故数列有最大项，没有最小项．
故选：
直接利用等差数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式和数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 11.【答案】AC 【解析】解：选项A，令，，时，，
即在上单调递增，，
，即，即，即，故A正确；
选项B，令，，时，，
即在上单调递增，又，，即，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，令，，时，，
即在上单调递减，，，即，即，故D错误；
故选：
利用函数的性质，对选项进行逐个分析，即可解出．
本题考查了函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 12.【答案】ABD 【解析】解：由题意得圆C：的圆心，半径，
对于A：，
当且仅当时，等号成立，面积的最大值为1，故A正确；
对于B：作出圆C，如图所示：

                          图①图②
由图象①可得当P，A，B三点共线时，此时最小，且为，
由图象②可得当PA，PB分别与圆C相切时，此时最大，
由题意得，，
在中，，则，
由圆的性质可得，
的取值范围为，故B正确；
对于C：若AB为直径，且C是AB的中点，
由平行四边形法则得，，
，故C错误；
对于D：作图，如图所示：

由图象可得当，垂足为P时，此时点A到直线l的距离最大，设最大距离为d，
则，故D正确，
故选：
由题意得圆C：的圆心，半径，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系和圆的基本性质，考查直观想象和逻辑推理能力、运算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：根据长方体的几何性质可得：
平面平面，且平面平面，
点到平面的距离为到的距离，
易知到的距离为
故答案为：
根据长方体的几何性质即可求解．
本题考查长方体的几何性质，点面距的求解，属基础题．
 14.【答案】 【解析】解：已知数列的前n项和为，且，
则，，
即，
又，
即，
即数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
则，
故答案为：
由已知可得，，即，又，即，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解即可．
本题考查了由数列递推式求数列的通项公式，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，将三棱锥补全成如图的长方体，
则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，
设球的半径为R，又，
，
球O的表面积为
故答案为：
将三棱锥补全成如图的长方体，从而得三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，从而可得球的半径，最后代入球的表面积公式即可求解．
本题考查三棱锥的外接球问题，分割补形法，属基础题．
 16.【答案】 【解析】解：若关于x的方程在上有根，即在上有根，
令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，，
所以，
若使在上有根，
 则
故答案为：
根据题意，若关于x的方程在上有根，即在上有根，令，求导，利用导数判断单调性，求出值域，求解即可．
本题考查函数零点与方程根的关系的应用，属于中档题．
 17.【答案】证明：直线l：可化为
令，解得
直线l恒过定点
解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时
圆C：，圆心，半径为5
的斜率为，
的斜率为2
直线l：的斜率为



直线l被圆C截得的弦长的最小值为 【解析】直线l：可化为，解方程组，可得直线l恒过定点；
直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求m的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．
本题考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．
 18.【答案】解：证明：由，，
可得，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列；
由可得，
则，
所以，
则，
，
上面两式相减可得，
化简可得 【解析】对递推式两边同除以，由等差数列的定义，可得证明；
由等差数列的通项公式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：侧面，侧面，
，
，，，由余弦定理得，
，
，
，AB，平面ABC，
平面
解：由知，BA，BC，两两垂直，以B为原点，，和的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则点，，，，
设平面的一个法向量为，，，
因为，令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，，，
因为，令，则，所以，
设二面角的平面角为，则，，
所以二面角的余弦值为 【解析】根据线面垂直的判定定理即可证明；
以B为原点，，和的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法得出二面角的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的判定定理，考查二面角的计算，是中档题．
 20.【答案】解：由题意可知，使用策略A时，；使用策略B时，，
令，，即当时，使用策略B第二周严重程度更小；当，时，使用两种策哈第二周严重程度一样；
当时，使用策略A第二周严重程度更小．
由可知，最优策略为策略B，即，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
即，，令，，可得，所以虫害最快在第9周解除． 【解析】根据两种策略，分别计算第二周虫害指数，比较它们的大小可得结论；
由可知，最优策略为策B，得，凑配出等比数列，求得通项，再解不等式即可．
本题考查递推数列的实际应用，构造等比数列求通项，属于难题．
 21.【答案】解：因为，所以，可得，
M点在椭圆上，所以，可得，
所以椭圆C的方程为：；
由可得，
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的直线方程为：，，
设，，
联立，整理可得：，
，可得，，，
则，
由题意可得，整理可得：，解得或，
当时，则直线PQ的方程为，直线恒过定点舍；
当时，则直线PQ的方程为，直线恒过定点；
当直线直线PQ的斜率不存在时，设直线，代入椭圆的方程可得，可得，
设，，
则，显然直线也过定点；
可证得直线PQ恒过定点 【解析】由直线MA的斜率可得a的值，再将M点代入椭圆的方程，可得b的值，进而可得椭圆的方程；
分直线PQ的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AQ，AP的斜率之积，将两根之和及两根之积代入整理，由题意使斜率之积为，可得参数的关系，进而可得直线PQ恒过的定点的坐标．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
 22.【答案】解：由解得，
所以，，
所以，，切线方程为，
即所求切线方程为；
证明：得定义域为，，
因为，故是增函数，
当时，，时，，
所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，
故②，由①式得③，
将①③两式代入②式，结合得：，
当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，
故恒成立． 【解析】先利用已知求出m的值，然后求出时的函数值，导数值，最后利用点斜式求出切线方程；
利用导数求出的极小值，也是最小值，然后利用基本不等式证明最小值大于零即可．
本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性、极值与最值，进而解决不等式恒成立的解题思路，属于较难的题目．