2022-2023学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷

1.  若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知空间向量，，且，则(    )

A. 9 B.  C. 1 D.

3.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为A，B，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知圆M的圆心在直线上，若圆M与x轴交于A，B两点，圆M与y轴交于C，D两点，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面ABCD的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知F为抛物线C：的焦点，直线l：与C交于A，B两点在B的左边，则的最小值是(    )

A. 10
B. 9
C. 8
D. 5

9.  已知向量，，，则(    )

A.
B.
C.
D. 向量，，共面

10.  如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知圆C：，直线l：，则(    )

A. 圆C的圆心为
B. 点在l上
C. l与圆C相交
D. l被圆C截得的最短弦长为4

12.  在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则(    )

A. 当时，的最小值为
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，存在两个点P，使得
D. 当时，有且仅有一个点P，使得平面
 

13.  已知平行六面体，，则m的值为______.

14.  已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______.

15.  已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面积为，则此圆台的母线与下底面所成角的余弦值为______.

16.  抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为______.

17.  已知双曲线请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
求C的方程；
直线l：与C交于A，B两点，求的值．

18.  如图，四棱锥，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为线段PB的中点．
证明：；
若，求直线DE与平面PCD所成角的正弦值．

19.  已知点在抛物线C：上，直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且
求抛物线C的焦点到准线的距离；
求面积的最小值．

20.  在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地如图，AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
判断点A是否为失败点不用说明理由；
求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．

21.  如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点．以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别到达，，且平面平面设P为线段CE上一点，且，，P，F四点共面．
证明：平面；
求CP的长；
求平面与平面CDE所成角的余弦值．

22.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，且过的一条斜率存在且不为零的直线交C于M，N两点，的周长为
求C的方程；
设M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q，过Q作C的一条切线，切点为T，证明：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：由直线l的方向向量是得直线l的斜率为，
设直线的倾斜角是
故选：
由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：因为空间向量，，且，
所以，解得：，
故选：
根据空间向量共线的充要条件即可求解．
本题考查空间向量共线的相关知识，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据椭圆的性质可得，，
因为四边形为正方形，
所以，即，
所以
故选：
根据椭圆的几何性质得到，，然后根据四边形为正方形得到，化简即可得到椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：根据题意，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，
则
故选：
利用空间向量线性运算计算即可．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：设圆M的圆心，，半径为
过点M作轴，轴．

所以
由垂径定理得：
同理：
因为，所以，，
所以
故选：
过点M作轴，轴．分别利用垂径定理表示出，，即可得到答案．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：设动圆P半径为r，
由于动圆P与两圆和都外切，
且圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，
所以，，
即，
可知动圆P圆心的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的左支，
即，，，
所以动圆P圆心的轨迹方程为，
故选：
根据题意可得动圆P圆心的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的左支，进而得解．
本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图，设AC与BD交于O点，连接，
，，
，，又O为BD的中点，
，又四边形ABCD为菱形，
，又，
平面，
在平面中，过作，垂足为H，则，
又，平面ABCD，即到平面ABCD的距离为，
又，为等边三角形，，
且和均为等边三角形，
，，
在中，由余弦定理可得，
又，，
在中，
故选：
设AC与BD交于O点，连接，结合题意可证明平面，再过作，垂足为H，则，进而得到平面ABCD，则到平面ABCD的距离为，再根据题意求解即可．
本题考查点面距的求解，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由题知C的焦点，，准线为，如图，作准线，准线，l：过定点，
设，，联立，
得，即，
，
又，，
，
当且仅当时取等，
故选：
直线方程与抛物线方程联立，求得，利用定义可得，再根据基本不等式得结果．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】ABD 

【解析】解：因为，，
所以，，所以A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
由，所以，故选项D正确．
故选：
空间向量模的坐标计算可以验证选项A，
向量坐标减法运算验证选项B，
两向量数量积为0验证选项C，
利用向量共面条件验证选项
本题考查空间向量的运算，属于基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：对于A：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
故，
所以，
所以，故A正确；

对于B：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
故，
所以，
所以，故B错误；

对于D：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
故，
所以，
所以，故D正确；

对于C：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
故，
所以，
所以，故C错误；

故选：
建立空间直角坐标系，利用向量法逐个判断即可求解．
本题考查空间向量的数量积的运算，属于中档题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：由，所以圆C的圆心为，半径，A不正确；
因为时，，所以点在l上，B正确；
因为圆心到的距离为，所以点在圆内，又点在l上，故l与圆C相交，C正确；
与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短，最短弦长为，D正确．
故选：
一般方程化成标准方程可判断A；点代入直线方程可判断B；根据点在圆内判断C；根据与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短判断
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：根据题意可知：点P在矩形内部含边界
对于A选项，当时，，
即此时线段，将矩形展开与在同一平面如图，
的最小值为，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
此时P点轨迹为线段，又P到平面的距离不为定值，其体积不为定值，故B选项错误；
对于C选项，当时，，取BC，中点分别为Q，H，则，
点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
则，，，
，，
，或，，Q均满足，故C选项正确；
对于D选项，当时，，取，中点为M，N，
，点轨迹为线段MN，
设，，
，，
，此时P与N重合，故D选项正确．
故选：
对于A，将矩形展开与在同一平面，再根据两点间线段最短判断即可；
对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．
本题考查化化空间为平面思想，向量法的应用，方程思想，属中档题．
 

13.【答案】1 

【解析】
解：，所以
故答案为：
根据平行六面体的性质和空间向量的线性运算求m即可．
本题考查向量的线性运算，属于基础题．
 

14.【答案】2 

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
由题意可得，
即为，
，
可得
故答案为：
求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：作出圆台的轴截面，如图所示：

设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为l，
由题意可知：，，因为它的侧面积为，
所以，解得：，
设圆台的母线与下底面所成角为，由图可知：，
则，
故答案为：
根据圆台的侧面积可求出圆台的母线长，然后利用直角三角形即可求解．
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了直线与平面所成角的求法，属于中档题．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设，易知抛物线C：焦点为，
Q为直线l：上的动点，
设，
，，
，
，
，
，，即代入，
，
，
①当时，，
由得，
此时方程只有一个解，满足题意，
，
②当时，，，
解得，代入可得，
求得，可得，
综上所述，的值为或
故答案为：或
设，易知抛物线C：焦点为，Q为直线l：上的动点，设，根据结合距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于难题．
 

17.【答案】解：选①②，可得，，解得，所以C的方程为；
选①③，可得，，解得，所以C的方程为；
选②③，可得，，解得，，所以C的方程为；
设，，
联立，消掉y，整理得，
所以，
因为，
所以 

【解析】选①②，可得，解得即可；选①③，可得，解得即可；选②③，可得，解得，即可；
联立，消掉y，整理得，利用韦达定理、弦长公式可得答案．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，如图所示：

因为ABCD为正方形，所以，
因为平面ABCD，所以，因为，BD，PB含于面PBD，
所以平面PBD，所以；
因为底面ABCD为正方形，且平面ABCD，
所以BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系，如图所示：

所以，，，，所以，，，
设平面PCD的一个法向量为，则，即，
令，则，设直线DE与平面PCD所成角为，由图可知为锐角，
则，
即直线DE与平面PCD所成角的正弦值为 

【解析】连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，根据ABCD为正方形得到，再利用线面垂直得到，然后利用线面垂直的判定得出平面PBD，进而得到线线垂直；
根据ABCD为正方形和平面ABCD可知：BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
 

19.【答案】解：将点代入方程，解得：
所以抛物线C的焦点到准线的距离为4；
设，，直线l的方程为，
联立，消去y，整理得，所以，
因为，所以，即，即，
代入可得：，即或不符合题意，舍去
所以
所以当时，面积有最小值 

【解析】将点代入，直接求解；
利用“设而不求法”表示出，得到，表示出的面积，进而求出最小值．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由于，，，即机器人和电子狗同时到达点A，
故A是失败点．
建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，，

设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点，
可得，即，，
即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部，
所以电子狗失败的区域面积米
当线段FP与中圆相切时，即，所以，
因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以
又因为，所以的取值范围是 

【解析】直接根据失败点的概念即可判断；
建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积；
根据临界位置为当线段FP与中圆相切时，即可得结果．
本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】证明：因为，所以折起后，
因为平面，平面，所以平面
解：延长AB，DE交于点G，沿DE为折痕将四边形ABED折起的过程中，，，G三点共线，
如图，连接FG，交CE于点P，则，，P，F四点共面．
因为E为BC的中点，所以B为AG的中点，即，
设，则，由∽，可得，即，
解得，所以
解：以C为坐标原点，分别以CD，CE所在直线为x轴，y轴，
以垂直于平面CDE且向上的方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
如图，在平面ABCD的直角坐标系中，，平面平面CDE，
平面平面，平面，所以平面CDE，
再作，，垂足分别为R，S，，，
所以，所以，中，，即，，
所以，所以点M的坐标是，，
所以在空间直角坐标系中点的坐标是，，所以，，
平面与平面CDE的法向量分别为，，
则，不妨取，则平面的一个法向量为，
又平面CDE的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面CDE所成角的余弦值为 

【解析】根据翻折前后的位置关系可知，，再结合线面平行的判断定理，即可证明；
首先利用确定平面的依据，先作出点P，再利用三角形相似，求CP的长；
首先以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面CDE的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值．
本题主要考查直线与平面平行的判定，平面与平面所成角的求法，空间向量法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知的周长为：，
所以，即，
设C的半焦距为c，
因为，即，
所以，即，
所以C的方程为；
证明：由知椭圆C的方程为，右焦点，
设MN的方程为，
代入C的方程有：，，
设，，则有，，
是M点关于x轴的对称点，且，
，
则直线PN的方程可表示为：，
令，得，
所以，
设直线QT的方程为，
代入C的方程有：，
当QT与C相切时，，得，
将代入方程：，解得，
所以切点T的横坐标等于右焦点的横坐标，
故轴，
所以，
又由M关于x轴的对称点为P，所以，
所以，所以，得证． 

【解析】根据椭圆定义及的周长为，可得a的值，根据即可得c的值，进而可得椭圆C的方程；
设出M，N两点坐标，得出P点坐标，设出直线MN的方程与椭圆联立，求出M，N两点横坐标之间的关系，得出直线PN的方程，令，即可得Q点坐标，设出QT的直线方程，与椭圆联立，令即可得QT的直线方程，进而得Q点坐标，发现Q点横坐标与的横坐标相同，根据角度关系即可得到答案．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．