2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  双曲线的虚轴长为(    )

A.  B.  C. 3 D. 6

2.  已知等比数列中，，，则公比(    )

A.  B. 2 C. 4 D.

3.  两抛物线与的焦点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D. 1

6.  下列命题中，真命题是(    )

A. 命题“若，则”
B. 命题“当时，”
C. 命题“若两个三角形有两条边和一个内角对应相等，那么这两个三角形全等”
D. 命题“若，则”

7.  若x，y满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C. 8 D. 4

8.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

10.  已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上且轴，则到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D. 5

12.  设直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，若，其中点M的坐标为，则C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  设变量x，y满足约束条件，则的最小值为______.

14.  习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”，帮扶返乡创业人员．五年内，预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列单位：万元，且第一年投入“创业资金”万元，以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍，则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为______万元．

15.  抛物线C：与直线l交于A，B两点，且AB的中点为，则l的斜率为______.

16.  已知点A，B是椭圆上的两点，且直线AB恰好平分圆，M为椭圆G上与A，B不重合的一点，且直线MA，MB的斜率之积为，则椭圆G的离心率为______.

17.  已知等差数列的公差，，且是与的等比中项．
求的通项公式；
求的前n项和的最大值及对应的n的值．

18.  已知等差数列的前n项和为，，
求的通项公式；
若，求数列的前n项和

19.  设动点与点之间的距离和点P到直线的距离的比值为，记点P的轨迹为曲线
求曲线C的方程；
若O为坐标原点，直线交曲线C于A，B两点，求的面积．

20.  在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且
求角B的大小；
若，，求的面积．

21.  如图，在三棱锥中，底面ABC，，，，，D，E分别是PC上的三等分点，F是PB的中点．
证明：平面PBC；
求平面ADF与平面BDF的夹角的余弦值．

22.  在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点
求C的方程；
若动点P在直线l：上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得，再过P作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为双曲线，
，所以，所以双曲线的虚轴长为
故选：
直接利用双曲线方程求解b，即可得到结果．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：在等比数列中，，，
，
解得公比
故选：
利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比．
本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
 

3.【答案】B 

【解析】解：两抛物线与的焦点间的距离为分别为，，
焦点间的距离为，
故选：
求出抛物线的焦点，利用两点之间的距离公式即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由“”得，
由得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选  

5.【答案】B 

【解析】解：，，
，
平面的一个法向量为，
，，
平面外一点到平面的距离
故选：
根据题意，计算，结合平面的一个法向量为，利用，计算即可．
本题考查点到平面的距离计算，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：对于A，当，，时，满足，但，故错误；
对于B，当时，，故错误；
对于C，若两个三角形有两条边和这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，故错误；
对于D，若，则，故正确．
故选：
对于A，举反例说明即可；
对于B，当时，，即可判断；
对于C，由两三角形全等的判定定理即可判断；
对于D，将等式两边平方即可判断．
本题考查了对命题真假判断，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由题意得，
所以，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：
由已知结合对数运算性质及基本不等式即可求解．
本题主要考查了对数的云南省性质及基本不等式求解最值，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：由余弦定理可得：
，
解得
故选：
由余弦定理可得：，代入计算即可求
本题考查余弦定理，考查运算求解能力，属基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
，
，
的形状为直角三角形．
故选：
根据余弦定理得到，即可求解．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：已知双曲线的焦点为、，
点M在双曲线上且轴，，则，
故，
故到直线的距离为
故选：
根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据轴进而可得M的坐标，则可得，进而根据双曲线的定义可求得
本题主要考查了双曲线的简单性质．要理解好双曲线的定义．
 

11.【答案】A 

【解析】解：根据题意，构造空间向量有，
，
故
故选：
根据题意，构造空间向量，进行平方，结合题中，且，计算，最后开方即可得到
本题考查立体几何与向量分解定理，属于基础题．
 

12.【答案】B 

【解析】解：若，即，
即有，其中点M的坐标为，
设AB的中点为，可得，
由双曲线的渐近线方程为，联立可得
，，
中点，
由，，
可得，
化为，
则
故选：
由向量数量积的性质可得，设AB的中点为，可得，求得双曲线的渐近线方程，联立直线AB的方程，可得A，B的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，化为，再由离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线垂直的条件和向量数量积的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，
如图所示；
化目标函数为，
由图可知，当直线过点A时，
直线在y轴上的截距最小，
由，解得；
的最小值为：
故答案为：
画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值．
本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．
 

14.【答案】93 

【解析】解：由已知条件可得，数列是首项为3，公比为2的等比数列，
故
故答案为：
根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查数列的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，
代入抛物线方程，可得，，
相减可得，
的中点为，，
设直线l的斜率为k，则，解得
故答案为：
设，，代入抛物线方程，可得，，相减化简，结合斜率计算公式、中点坐标公式即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由直线AB恰好平分圆，可得直线AB过原点，
设，则，，
可得，作差可得，
可得，
而，
所以可得，即，
所以椭圆的离心率，
故答案为：
由直线AB平分圆，可得直线AB过圆心，设A，M的坐标，由题意可得B的坐标，将A，M的坐标代入椭圆的方程，作差可得A，M的坐标的关系，求出直线MA，MB的斜率之积，由题意可得a，b的关系，进而求出椭圆的离心率的值．
本题考查直线平分圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：是与的等比中项，
，即，
整理得
，，
故；
，，，
，
当或时，取得最大值．
故当或时，取最大值 

【解析】由是与的等比中项列关于首项与公差的等式，得到，结合，，求得则的通项公式可求；
写出等差数列的前n项和，再由二次函数求最值．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题．
 

18.【答案】解：等差数列的前n项和为，，，
，
解得，，

的通项公式为
，
数列的前n项和为：


 

【解析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程组，求出，，由此能求出的通项公式．
求出，利用裂项求和法能求出数列的前n项和．
本题考查等差数列的性质、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为动点与点之间的距离和点P到直线的距离的比值为，
所以，
整理得，
所以曲线C的方程为；
因为直线交曲线C于A，B两点，
设，，
由，得，
所以，
所以，
点O到直线即的距离，
所以的面积 

【解析】根据已知条件列出关于x，y的方程，整理可得曲线C的方程；
设，，将直线方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，利用弦长公式计算，然后计算O到直线的距离，代入三角形面积公式计算即可．
本题考查了动点的轨迹方程以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
，
，
由正弦定理可得，
、，
，，
，故；
因为，
可设，则，
由余弦定理可得，解得，
故，，
故的面积为 

【解析】利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；
利用余弦定理结合已知条件可求得a、c的值，再利用三角形的面积公式可求得结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：，
根据余弦定理得，
所以²²²，
所以，
以C点为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴，经过C点垂直于CA，CB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
，，，
平面PBC；
，，，
设平面ADF的一个法向量为，
由，令，则，，
可得，
同理可得平面BDF的一个法向量，
，
所以平面ADF与平面BDF夹角的余弦值为 

【解析】用余弦定理求出，从而得到²²²，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；
求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值．
本题主要考查平面与平面所成的角，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意知，
又椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆C的方程为
因为直线l的方程为，设，，
当时，设、，显然，
联立，相减可得，即
又，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率，
又，所以直线的方程为，
即，
显然恒过定点，
当时，为x轴亦过点；
综上所述，恒过定点 

【解析】根据椭圆的离心率和过点即可求出椭圆的方程．
直线l的方程为，设，当时，设，，由题意知，利用点差法的方程，从而得到恒过定点．当时，直线MN为，由此推导出恒过定点．
本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用点差法是解题的关键，属于中档题