2022-2023学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷

1.  在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为(    )

A. 16 B. 32 C. 1 D.

2.  设随机变量X服从正态分布，若，则实数(    )

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

3.  随机变量X的分布列如下表所示，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中如下图，记第2行的第3个数字为、第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为，则(    )

A. 220 B. 186 C. 120 D. 96

5.  已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则(    )

A. 2
B. 1
C.
D.

6.  某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(    )

A. 18种
B. 36种
C. 54种
D. 60种

7.  设A，B为两个事件，已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某企业为了研究某种产品的销售价格元与销售量千件之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：

其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据※是(    )

A. 33
B. 35
C. 34
D.

9.  已知样本数据，，⋯，的平均数是2，方差为16，则样本数据，，⋯，的(    )

A. 平均数是
B. 平均数是1
C. 方差是4
D. 方差是5

10.  在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占，仅第一次得优的占，仅第二次得优的占则(    )

A. 已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为
B. 已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为
C. 某同学两次均未得优的概率为
D. 某同学两次均未得优的概率为
 

11.  已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则(    )

A. 抛物线C的准线方程为
B. 线段AB的中点在直线上
C. 若，则的面积为
D. 以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
 

12.  一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则(    )

A. 若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为
B. 若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为
C. 若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为
D. 若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为
 

13.  的展开式中的系数为______.

14.  2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，B，C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率______.

15.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A为双曲线右支上一点，线段交左支于点B，若，且，则该双曲线的离心率为______.

16.  游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X，若开始时指针停在红色区域，则______.

17.  已知点 M 在圆上运动，，点 P 为线段 MN 的中点
求点 P 的轨迹方程；
求点 P 到直线的距离的最大值和最小值．

18.  高三班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为
请将上面的列联表补充完整；
是否有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；
参考公式及数据：，其中

19.  在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABCD，，且，N为BE的中点，M为CD的中点．
求证：平面ABCD；
求二面角的余弦值；
求点A到平面MNF的距离．

20.  中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费亿元和沙漠治理面积万亩的相关数据如表所示：

通过散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；结果保留3位小数
求y关于x的回归方程；
若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．
参考数据：
参考公式：相关系数，，

21.  一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，
求一个试用组为“甲类组”的概率；
观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．

22.  已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆E上．
求椭圆E的方程；
过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线与y轴相交于点T，求为原点的最小值，并求此时直线l的方程．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，
所以，令得展开式中各项系数的和为
故选：
先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案．
本题考查二项式定理及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：，，
，即
故选：
根据正态分布的性质求解即可．
本题考查正态分布的性质，是基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，，解得，
故
故选：
根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：根据题意，可得，，，…，，
则…
故选：
根据题意，由杨辉三角可得，，，…，，由组合数的性质计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及组合数的性质，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线与直线平行充要条件，熟练掌握此性质是解本题的关键．
设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由切线与平行，可得答案．

【解答】

解：已知过点的直线与圆相切，
将点代入圆恒成立，
则点P在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条，
令过点的切线的方程为，即，
由此切线与平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，
可得且；
由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得，
，即；
故选

6.【答案】C 

【解析】解：若只有甲乙其中一人参加，有种情况，
若甲乙两人都参加，有种情况，
则不同的发言顺序种数种，
故选：
根据题意，分只有甲乙其中一人参加、甲乙两人都参加2种情况讨论可得答案．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类乘法计数原理和分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设A，B为两个事件，由已知，，得，
所以，
故选：
根据条件概率的定义进行求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设丢失的数据为m，
则，，
线性回归方程为：，
，解得
故选：
根据已知条件，先求出x，y的平均数，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：样本数据，，⋯，的平均数是2，方差为16，
，，
，，
样本数据，，⋯，的平均数为，故A正确，B错误；
，，
样本数据，，⋯，的方差为4，故C正确，D错误．
故选：
利用平均数、方差的运算性质直接求解．
本题考查样本数据的平均数、方差的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：设A表示“第一次数学成绩得优”，B表示“第二次数学成绩得优”，
则，，，
则，
，
，
，

故选：
根据已知条件，结合互斥事件的概率和公式，以及条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：对于A选项，抛物线C的准线方程为，所以A错；对于B选项，设点、，设线段AB的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，故，所以B对；
对于C选项，设直线AB的方程为，
联立，可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
，解得，
点O到直线l的距离为，
故，所以C对；
对于D选项，设线段AF的中点为，则，
由抛物线的定义可得，
即等于点N到y轴距离的两倍，
所以，以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，所以D对．
故选：
根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；
利用点差法可判断B选项的正误；
利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；
利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误．
本题考查了抛物线的性质，理解抛物线的定义是解答本题的关键，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，
取到球颜色相同的概率为，故A正确；
从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，
取到的球颜色不同有种，
颜色不同的概率为，故B正确；
从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为，
其中有白球的概率为，故C错误；
从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件E，
另一个也是白球为事件F，
则，故D正确．
故选：
从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断AC；由古典概型可判断B；由条件概率可判断
本题考查命题真假的判断，考查古典概型、条件概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】84 

【解析】解：，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：
把和分别利用二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：总的分配方案总数为种，
先求甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法，甲、乙捆绑在一起，
所以甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法有种，
则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的分法有种，
所以所求概率为
故答案为：
先求出总的分配方案，再利用捆绑法求出甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法数，根据古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了捆绑法的应用，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，则，
A、B两点都在双曲线上，则，，
则
在中，由勾股定理得，即，
整理得：，解得，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
即，
则；
故答案为：
根据题意，设，则，由双曲线的定义可得，，在中，由勾股定理得，即，整理得：，解得，即可得、、、的值，在中，由余弦定理可得c与a的关系，由离心率计算公式分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义，关键是分析a、t的关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：该游客转动指针的结果的树形图如下：

，
，
，
，
的分布列为：

由题意得X的可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列，进而能求出
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：点是MN的中点，
，，
将用x，y表示的，代入到中得
此式即为所求轨迹方程．
由知点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆．
点Q到直线的距离
故点P到直线的距离的最大值为，最小值为 

【解析】用x和y表示出M的坐标代入圆的方程即可求得P的轨迹方程．
利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．
本题主要考查了直线与圆的方程的应用．解决直线与圆的方程问题，一般是看圆心到直线的距离，利用数形结合的思想来解决．
 

18.【答案】解：由题意知，喜欢中国古典文学的学生有人，故列联表如下：

，
有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关． 

【解析】由题意知，喜欢中国古典文学的学生有人，从而完成列联表，由公式求，即可知有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关．
本题考查了概率的意义及列联表的定义，同时考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

19.【答案】证明：如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，
所以，显然平面ABCD的法向量可以为，
所以，即，
又平面ABCD，所以平面ABCD；
解：因为，
设平面MNF的法向量为，则，
令，则，所以，
显然平面MFD的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
解：由知平面MNF的法向量为，
又，设点A到平面MNF的距离为d，
则，
所以点A到平面MNF的距离 

【解析】建立空间直角坐标系，得到，显然平面ABCD的法向量可以为，所以，即，即可得证；
平面MNF的法向量为，平面MFD的法向量可以为，代入公式即可求解；
由知平面MNF的法向量为，又，代入公式即可求解．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，，
所以，
，
，
所以
因为y与x的相关系数非常接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
由可得：，
所以y关于x的回归方程为
当时，，
当时，，
所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩． 

【解析】求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解相关系数即可．
通过求解，然后推出回归直线方程即可．
利用回归直线方程，验证，时的预报值，即可得到结果．
本题考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力，是基础题．
 

21.【答案】解：设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，，1，2，
表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，，1，2，
依题意有，，
，，
一个试用组为“甲类组”的概率：



的可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
，
，
的分布列为：

， 

【解析】设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i人”，，1，2，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，，1，2，一个试用组为“甲类组”的概率，由此能求出结果．
的可能取值为0，1，2，3，且，由此能求出的分布列和数学期望．
本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．
 

22.【答案】解：根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆E的方程为
由知，，设直线l的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
线段MN的中点，
则线段MN的垂直平分线的方程为，
令，得，即点，
所以，
当且仅当，即时，取“=”，
所以当时，取得最小值24，
此时直线l的方程为或 

【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
由知，，设直线l的方程为，，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，进而可得弦长，写出线段MN的垂直平分线的方程为，进而可得T点的坐标，再计算，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．