2022-2023学年陕西省汉中市南郑区龙岗学校高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年陕西省汉中市南郑区龙岗学校高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  设，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  “”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知等比数列满足，，则(    )

A. 21 B. 42 C. 63 D. 84

4.  焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是(    )

A. 4 B.  C. 1 D.

5.  设函数，则(    )

A.  B.  C. 3 D. 6

6.  已知函数，则对任意实数x，有(    )

A.  B.
C.  D.

7.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为(    )

A. 8 B.  C.  D.

10.  节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知是双曲线C：上的一点，，是C的左、右两个焦点，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  定义在R上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列不等式一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  根据定积分的几何意义，计算______.

14.  已知双曲线的渐近线方程为，则______.

15.  我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.

16.  O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则的面积为______.

17.  在中，
求；
若，且的面积为，求的周长．

18.  已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
记，求数列的前n项和

19.  已知函数
求曲线在处的切线方程；
求在上的最小值和最大值．

20.  如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且
求BC；
求二面角的正弦值．

21.  已知椭圆C：过点，，为椭圆的左、右顶点，且直线，的斜率的乘积为
求椭圆C的方程；
过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线l的垂直平分线交直线l于点P，交直线于点Q，求的最小值．

22.  已知函数
求曲线在点处的切线方程；
证明：当时，

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，
，
在复平面内对应的点为，在第三象限．
故选：
求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．
本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：因为“”“”，而“”推不出“”，所以“”是“”充分不必要条件．
故选：
直接利用充要条件的判断方法判断即可．
本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．
 

3.【答案】B 

【解析】解：，，
，
，
，
，

故选：
由已知，，，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：焦点在x轴上的椭圆，可知，，，
椭圆的离心率是，
可得，解得
故选：
利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出m的值．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．
 

5.【答案】C 

【解析】解：根据题意，，
又由函数，则，则；
故；
故选：
根据题意，由导数的定义可得，由函数的解析式求出函数的导数，计算可得的值，即可得答案．
本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：因为函数，所以，
所以
故选：
根据题意计算的值即可．
本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即
故选：
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，再由直线方程点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为
故选：
根据余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质即可求解．
本题考查余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质，属基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：长方体中，，
与平面所成的角为，
即，可得
可得
所以该长方体的体积为：
故选：
画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
 

10.【答案】C 

【解析】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得，，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，

由图可知所求的概率为：
故选：
设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得，，要满足条件须，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．
 

11.【答案】A 

【解析】解：由题意，，
所以
故选：
利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定的取值范围．
本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
 

12.【答案】B 

【解析】解：令，
则，
而当时，，
故在递增，
故，
，
，
，
，
即，
故选：
令，根据函数的单调性求出，再根据替换即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
 

13.【答案】 

【解析】解：表示以原点为圆心以3半径的圆的面积的四分之一，
，
故答案为：
由定积分的几何意义知：表示以原点为圆心以3半径的圆的面积的四分之一，求解即可．
本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：双曲线化为标准方程可得，
所以，双曲线的渐近线方程，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得
故答案为：
化双曲线方程为标准方程，从而可得，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．
本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，
有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，
经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

故答案为：
利用加权平均数公式直接求解．
本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线C的方程为
，可得，得焦点
设
根据抛物线的定义，得，
即，解得
点P在抛物线C上，得


的面积为
故答案为：
根据抛物线方程，算出焦点F坐标，设，由抛物线的定义结合算出m，从而得到n，得到的边OF上的高等于，最后根据三角形面积公式即可算出的面积．
本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
又，，
，，
；
的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为 

【解析】根据二倍角公式化简可得，进一步计算可得角C；根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．
本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，成等差数列，
，解得：



数列的前n项和…… 

【解析】由，，成等差数列，可得利用通项公式可得：进而得出
利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，，
故，，
故切线方程为：，即；
由知，
易知时，，单调递减，，，单调递增，
故，又，，故 

【解析】对原函数求导数，求出时的函数值、导数值，利用点斜式求出切线方程；
求出在上的极值，再求出，，即可得到在上的最大值、最小值．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值的方法，属于中档题．
 

20.【答案】解：连结BD，因为底面ABCD，且平面ABCD，
则，又，，PB，平面PBD，
所以平面PBD，又平面PBD，则，
所以，又，
则有，所以∽，
则，所以，解得；
因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
所以，，
设平面AMP的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面BMP的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为 

【解析】连结BD，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面PBD，得到，证明∽，即可得到BC的长度；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

21.【答案】解：依题意有，，，
解得，
椭圆的方程为
由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为
设点，，
联立方程，
得到，
由弦长公式，整理得，
又，，

令，，上式，
，即时，取得最小值 

【解析】利用已知条件，点的坐标代入椭圆方程，结合，的斜率的乘积为，解得，，得到椭圆方程．
有题意知直线l的斜率不为0，设其方程为，设点，，联立方程，利用韦达定理以及弦长公式，推出利用基本不等式转化求解最小值即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：
，即曲线在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线方程为
即为所求．
证明：函数的定义域为：R，
可得
令，可得，
当时，，时，，时，
在，递减，在递增，
注意到时，函数在单调递增，且，
故在上恒大于零，即在上恒大于零．
函数的图象如下：

，则，
，
当时， 

【解析】
由，可得切线斜率，即可得到切线方程．
可得可得在，递减，在递增，注意到时，函数在单调递增，且
只需，即可．
本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．