2022-2023学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得500粒芝麻内含有10粒白芝麻，则小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为(    )

A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 4kg

2.  某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛．与事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”互斥的事件是(    )

A. 小李两门学科竞赛都没有获一等奖 B. 小李两门学科竞赛都获一等奖
C. 小李至多有一门学科竞赛获一等奖 D. 小李只有一门学科竞赛获一等奖

3.  设k，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列说法正确的是(    )

A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么

4.  执行如图所示的程序框图．如果输入的a为2，输出的S为3，那么(    )
 

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

5.  双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了了解客流量单位：人对纯收入单位：元的影响，对某面馆5天的客流量和纯收入统计如表．已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为参考公式：，那么a的值为(    )

A. 610 B. 620 C. 636 D. 666

7.  若数据，，…，的方差为25，则数据，，…，的标准差为(    )

A. 225 B. 76 C. 75 D. 15

8.  已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  直线上两点A，B到直线的距离分别等于它们到的距离，则(    )

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

10.  如图，三棱柱的所有棱长都相等，平面ABC，M为AB的中点，N为的中点．则MN与平面所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在梯形ABCD中，，在梯形ABCD内包括边界随机取一点M，则点M在内包括边界的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知直线l：上存在点P，使得P到点和为的距离之和为若为正数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  棱长为4的正方体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为______.

14.  如图是某核酸采集点6次核酸采集人数的茎叶图，则这6次核酸采集人数的方差为______.

15.  已知F是双曲线的一个焦点，C的离心率为，M，N是C上关于原点对称的两点，则双曲线C的标准方程为______.

16.  已知P是椭圆上的动点，C的焦点为，，设，，的最小值为，则______.

17.  已知圆C过原点，圆心C在射线上，圆心C到y轴距离为
求圆C的标准方程；
直线与圆C交于A，B两点，求

18.  在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：得到如图所示的频率分布直方图．在的成绩为不达标，在的成绩为达标．
根据样本频率分布直方图求a的值，并估计样本的众数和中位数中位数精确到个位；
以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？

19.  在等比数列中，，，的前n项和为
求和；
，…，求

20.  如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，点E，F分别为PA，PD的中点，，
证明：直线平面PBC；
求二面角的余弦值．

21.  已知过圆O：上一点的直线l与该圆另一交点为B，O为原点，记，
当时，求的值和l的方程；
当时，，求的单调递增区间．

22.  古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积．已知椭圆的中心为原点O，焦点，均在x轴上，离心率等于，面积为
求的标准方程；
若直线l与圆M：相切，且直线l与交于C，D两点，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：根据题意，设100kg芝麻中含有白芝麻约为xkg，
又由从中随机取出一部分，数得500粒芝麻内含有10粒白芝麻，则有，
解可得：，即小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为2kg，
故选：
根据题意，设100kg芝麻中含有白芝麻约为xkg，分析可得，解可得答案．
本题考查概率的计算，注意模拟方法估算概率的方法，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：根据题意，事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”，即“小李有一门学科竞赛获一等奖”或“小李两门学科竞赛获一等奖”，
其互斥事件为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖，
故选：
根据题意，由互斥事件的定义分析可得答案．
本题考查互斥事件的定义，注意事件之间的关系，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由面面垂直的判断方法，，，若，那么，A正确；
对于B，如果，k与可能平行或斜交，B错误；
对于C，如果，则、可能相交，C错误；
对于D，如果，k，l可能异面，D错误；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的证明，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由题意可得，，
当时，满足判断框，即
故选：
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：双曲线的渐近线方程：
故选：
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：，
，
根据线性回归方程必过样本的中心，
，
解得
故选：
计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：数据，，…，的方差为25，
则数据，，…，的方差，标准差为
故选：
根据已知条件，结合方差的线性公式，以及标准差的定义，即可求解．
本题主要考查方差的线性公式，以及标准差的定义，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：由几何体的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥，
则该几何体的表面积为：

故选：
利用圆锥的三视图、表面积公式直接求解．
本题考查圆锥的三视图、表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：A，B两点在直线，
则可设，，
A，B两点到直线的距离分别为，，
，，
则，
同理可得，，
由题意可知，，，解得，或，，
故
故选：
根据已知条件，设出A，B，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：三棱柱的所有棱长都相等，平面ABC，M为AB的中点，N为的中点，
，平面ABC，
平面平面，平面平面，
平面，
以M为坐标原点，MA所在直线为x轴，过M作的平行线为y轴，MC为z轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设MN与平面所成角为，
则MN与平面所成角的正弦值为：

故选：
推导出平面，以M为坐标原点，MA所在直线为x轴，过M作的平行线为y轴，MC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN与平面所成角的正弦值．
本题考查线面角的正弦值、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】D 

【解析】解：根据题意，如图：在梯形ABCD中，若，则，且，
设该梯形ABCD的面积为S，
则，则，
又由，且，则O到AB的距离为，
则，
则，
故要求概率；
故选：
根据题意，分析可得梯形ABCD中，，且，设该梯形ABCD的面积为S，由通项的性质求出，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：因为点P到点和的距离之和为4，
所以点P的轨迹为椭圆，椭圆的方程为，其中，
所以，解得，又，所以，
所以椭圆的方程为
又直线l：与椭圆有交点，所以，
消去y得，
所以，解得，
又，所以m的取值范围是；
又因为为正数，所以，所以
所以，
当且仅当，即时取“=”，
又因为的最小值为，
所以的取值范围是
故选：
根据椭圆的定义得出P的轨迹是椭圆，写出椭圆的方程，求出m的取值范围，再求的取值范围．
本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为4，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：
所以球的半径为：
所求球的体积为：
故答案为：
求出正方体的对角线的长度，得到外接球的直径，利用球的体积公式求解即可．
本题考查球的内接体，球的体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力．
 

14.【答案】3 

【解析】解：，

故答案为：
根据方差公式计算即可求解．
本题考查茎叶图，考查方差的计算，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设为双曲线的另外一个焦点，
由双曲线图象的对称性可得，
又，
则，
则，
则，
又C的离心率为，
则，
即，
则，
则双曲线C的标准方程为，
故答案为：
由双曲线的性质，结合双曲线的标准方程的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的标准方程的求法，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由椭圆方程可得，再由椭圆的定义可得，且，
所以，
因为，即，
又因为，，
所以时，当或时，取到最小值，即，
故答案为：
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再由椭圆的定义转化，再由的范围，可得它的最小值．
本题考查椭圆的性质的应用及由函数的单调性求最值的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由圆心C在射线上，圆心C到y轴距离为2，
设圆C的标准方程为，
又圆C过坐标原点，所以，
所以圆C的标准方程为
由知半径，圆心到直线的距离，
由于直线与圆C交于A，B两点，
故 

【解析】根据已知条件可设圆C的标准方程为，代入原点坐标可得，从而求得圆的标准方程；
计算圆心到直线的距离，进而利用勾股定理可得弦长．
本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，得，
根据频率分布直方图知，样本的众数为65，
设中位数为x，则，得；
用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，
故在的成绩为不达标，抽取2人，记为a，b，在的成绩为达标，抽取3人，记为1，2，3，
从这5人中随机选2人，共有，，，，，，，，，，共10种，
这两人中至少有一人体育成绩达标，，，，，，，，，，共9种，
故这两人中至少有一人体育成绩达标的概率为 

【解析】由频率和为1可求解a，再由频率分布直方图的频率计算众数和中位数即可；
用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，故在的成绩为不达标，抽取2人，记为a，b，在的成绩为达标，抽取3人，记为1，2，3，列举所有情况，利用古典概型的概率公式，求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为等比数列中，，，
所以，，
所以；
由，
所以… 

【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求q，然后结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；
先求出，然后结合等差数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：证明：因为E，F分别为PA，PD的中点，
所以，
因为，
所以，
因为面PBC，面PBC，
所以面
因为，，
所以，
连接AC，由得，
因为，
所以，
所以，
因为面ABCD，
所以，，
因为PA，AC是平面PAC内两相交直线，
所以面PAC，
因为面PAC，
所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为，
所以二面角的余弦值为 

【解析】由E，F分别为PA，PD的中点，得，进而可得，由线面平行的判定定理，即可得出答案．
根据题意可得，，，由线面垂直的判定定理可得面PAC，进而可得，则二面角得平面角为，进而可得，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

21.【答案】解：点在圆O：上，
，
，，
，
，
，
由条件得О到l的距离为，
不与x轴垂直，
设l的方程为，即，
，解得，或，
所以l的方程为，或
当时，，由，
得，
当且仅当，，
即，时，单调递增，
所以的单调递增区间为， 

【解析】由题意可求，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求，利用点到直线的距离可求，设l的方程为，由，解得k的值即可得解．
当时，，可得，进而利用余弦函数的单调性即可求解．
本题考查了余弦定理，点到直线的距离，余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以的标准方程为；
当直线l的斜率不存在时，由题意则直线l的方程为，代入的方程可得，
可得，可得，
这时；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，
因为直线l与圆M相切，所以圆心O到直线l的距离，可得，
联立，整理可得：，
，即，
即，可得，且，，
所以，
所以，
令，则，
，
令，，
则恒成立，
所以，
即的最大值为 

【解析】由离心率的值及椭圆的面积的大小可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程，由直线l与圆相切，可得参数的关系，将直线l的方程与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由弦长公式可得求出的表达式，换元，可得面积的范围，求出面积的最大值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．