2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)，共15页。试卷主要包含了 已知直线l1， 圆M，76x+0，60B等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）1.  某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(    )A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生2.  以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为(    )
 A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，83.  已知直线l过点，且倾斜角为，则直线l的方程为(    )A.
B.
C.
D. 4.  双曲线的渐近线方程是(    )A.
B.
C.
D. 5.  已知直线：，：，若，则实数a的值为(    )A. 3
B. 0或3
C. 1
D. 或16.  圆M：与圆N：的位置关系为(    )A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切7.  为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万元12支出万元m但是统计员不小心丢失了一个数据用m代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则m的值等于(    )A.  B.  C.  D. 8.  执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.  已知实数x，y满足上，且，若不等式恒成立，则实数t的最大值为(    )A. 9 B. 25 C. 16 D. 1210.  设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为(    )A.  B. 5 C.  D. 1011.  已知在菱形ABCD中，，，把沿BD折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知点F为椭圆C：的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，若，，则C的离心率(    )A.  B.  C.  D. 13.  某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取______名学生．14.  设p：；q：若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______.15.  在上随机取一个实数x，则“”发生的概率为______.16.  已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，则该双曲线离心率为______时，为等边三角形．17.  已知函数
当时，函数在上单调，求b的取值范围；
若的解集为，求关于x的不等式的解集．18.  微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．
若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？
某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数结果精确到
19.  已知关于x，y的方程C：
若方程C表示圆，求m的取值范围；
当时，曲线C与直线l：相交于M，N两点，求的值．20.  如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点F是的重心，M为BC的中点．
求抛物线的方程和F的坐标；
求M的坐标及BC所在的直线方程．
21.  图1是由正方形ABCD，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图
设平面平面，证明：；
若二面角的余弦值为，求AE长．
 22.  已知椭圆C：的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．
求椭圆C的方程；
若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
证明：为定值？并求的最大值．

答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
系统抽样的分段间隔为，
号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为，则，
当时，，即在第62组抽到
故选：
根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．
本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
 2.【答案】C 【解析】解：乙组数据平均数；
；
甲组数据可排列成：9，12，，24，所以中位数为：，

故选：
求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．
 3.【答案】D 【解析】解：因为直线l的倾斜角为，
所以该直线斜率不存在，与x轴垂直，
又因为直线l过点，
所以直线l的方程为
故选：
根据直线l的倾斜角为判定该直线斜率不存在，再根据直线经过点写出直线方程．
本题考查了直线的倾斜角为时的直线方程，属于基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：双曲线的渐近线方程是，整理可得
故选：
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：因为，
所以，解得或
故选：
直接利用两条直线垂直的充要条件，列出关于a的方程，求解即可．
本题考查了两条直线垂直关系的应用，解题的关键是掌握两条直线垂直的等价转化，即已知直线，的方程分别是：：不同时为，：不同时为，则
 6.【答案】B 【解析】解：根据题意，圆M：，其圆心M为，半径，
圆N：，其圆心M为，半径，
圆心距，有，
两圆外切，
故选：
根据题意，由两个圆的方程分析圆的圆心与半径，求出圆心距，据此分析可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 7.【答案】A 【解析】解：由题意可知：，，
所以，解得
故选：
利用回归直线，经过样本中心，转化求解即可．
本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查，基础题．
 8.【答案】D 【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，
画出可行域如图：

当时，的值最大，且最大值为
故选：
算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．
本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
 9.【答案】B 【解析】解：因为，
所以，
又因为，
所以，，
又因为恒成立，
即恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以，
所以t的最大值为：
故选：
由题意可得且，，由基本不等式求出的最小值即可．
本题考查了基本不等式的应用，关键点是判断出，，属于中档题．
 10.【答案】C 【解析】解：抛物线C：的焦点为，
设，以MF为直径的圆过点，

，
，
，
解得，
，；

故选：
根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径对直角得出，求出点M的坐标，再计算的值．
本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．
 11.【答案】C 【解析】解：过球心O作平面BCD，则为等边三角形BCD的中心，
四边形ABCD是菱形，，是等边三角形，
设AC，BD交于点E，则，
和是全等的正三角形，
；
，，，，，
球的半径
外接球的体积
故选：
设菱形中心为E，则为等边三角形，利用球的对称性可知，利用等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径．
本题考查了棱锥与外接球的关系，找出是解题关键．
 12.【答案】A 【解析】解：设椭圆的右焦点为，焦距为连接，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，
所以，，则，
由余弦定理可得：，
所以，
所以椭圆的离心率
故选：
画出图形，利用已知条件，结合余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的性质，离心率的求法，是中档题．
 13.【答案】15 【解析】解：高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，
高二在总体中所占的比例是，
用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，
要从高二抽取，
故答案为：15
根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．
本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．
 14.【答案】 【解析】解：p：由，两边平方得，解得：
q：，化为：，解得
若非p是非q的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件．
，解得
则实数a的取值范围为
故答案为：
分别解出p与q的不等式．根据若非p是非q的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件．即可得出．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意知，在上满足事件“”的x范围是，
由几何概型的公式得到所求概率为
故答案为：
由题意，本题是几何概型，首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度的比求概率．
本题考查了几何概型的概率求法；关键是正确求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率．
 16.【答案】 【解析】解：连结，
是圆O的直径，
，即，
又是等边三角形，，
，
因此，在中，，，

根据双曲线的定义，得，
解得，
双曲线的离心率为
故答案为：
连结，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，得到是含有角的直角三角形，由此得到且再利用双曲线的定义，得到，即可算出该双曲线的离心率．
本题给出以双曲线焦距为直径的圆交双曲线于A、B两点，在是等边三角形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
 17.【答案】解：当时，的对称轴为，
由于函数在上单调，
所以或，
解得或，
所以b的取值范围是
由于的解集为，
所以，所以，
所以不等式，即，
所以，，
解得或，
所以不等式的解集为 【解析】根据在区间上的单调性列不等式，由此求得b的取值范围．
根据的解集求得a，b，c的关系式，从而求得不等式的解集．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了韦达定理的应用，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
 18.【答案】解：由题意得好友中男性有72人，女性有48人，
选取30人的样本，则应选取女性人；
由解得，
则运动平均步数万步，
运动步数在的频率为，在的频率为，
则位数位于间，小王的运动步数为万步 【解析】由分层抽样的概念求解，
由频率分布直方图数据求解，
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
 19.【答案】解：方程C可化为  ，
显然，时，方程C表示圆．
圆C的圆心，圆心到直线l：的距离为，
圆C的半径，
又 ， 【解析】把圆的方程化为标准形式，可得结论．
由题意利用点到直线的距离公式、弦长公式，求得弦长MN的值．
本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．
 20.【答案】解：由点在抛物线上，
则，
则，
即抛物线的方程为，F的坐标为；
由点，，在抛物线上，且抛物线的焦点F是的重心，
则，
即，
即M的坐标为，
又，
则，
即BC所在的直线方程为，
即 【解析】由抛物线方程的求法，将点A的坐标代入运算即可得解；
由重心坐标公式，结合直线与抛物线的位置关系求解即可．
本题考查了抛物线方程的求法，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
 21.【答案】证明：因为，平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
因为平面平面，平面CDF，
所以，于是
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，
，，，
设平面ABE和平面BDE的法向量分别为和，
，令，，
，令，
所以二面角的余弦值为，
整理得，解得或，
因为二面角是锐角，所以舍去，
故AE长为 【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
先证明CD平行于平面ABE，再证明CD平行于平面ABE与平面CDF的交线l；
用向量数量积计算二面角余弦值，通过方程求解．
 22.【答案】解：由椭圆的离心率，则，
又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，
代入，解得：，则，
椭圆方程：
证明：因为直线OP：，OQ：与圆M相切，
由直线OP：与圆联立，
可得，
同理，
由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，，
因为点在椭圆C上，所以，所以
证明：当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，
因为，所以，
因为，在椭圆C上，所以，整理得，
所以，所以
当直线落在坐标轴上时，显然有，
综上，，所以，
所以的最大值为 【解析】由存在圆M与两坐标轴都相切确定圆心M坐标，由离心率及点M坐标即可列方程组求参数；
分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得，是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点在椭圆C上可得为定值；
当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，由得，结合，在椭圆C上，可得，，即有，当直线OP，OQ落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得的最大值．
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，考查了直线与圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属中档题．