2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（文科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（文科）

1.  某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(    )

A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生

2.  以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为(    )

A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8

3.  已知直线l过点，且倾斜角为，则直线l的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  双曲线的渐近线方程是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知直线：，：，若，则实数a的值为(    )

A. 3
B. 0或3
C. 1
D. 或1

6.  圆M：与圆N：的位置关系为(    )

A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切

7.  为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据用m代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则m的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.  过圆C：上一点作切线l，直线m：与切线l平行，则a的值为(    )

A.  B. 2 C. 4 D.

10.  已知实数x，y满足上，且，若不等式恒成立，则实数t的最大值为(    )

A. 9 B. 25 C. 16 D. 12

11.  设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为(    )

A.  B. 5 C.  D. 10

12.  已知点F为椭圆C：的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，若，，则C的离心率(    )

A.  B.  C.  D.

13.  某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取______名学生．

14.  设不等式组，表示的平面区域为D，若指数函数的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是______.

15.  在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.

16.  已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，则该双曲线离心率为______时，为等边三角形．

17.  已知函数
当时，函数在上单调，求b的取值范围；
若的解集为，求关于x的不等式的解集．

18.  微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．
若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？
某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数结果精确到

19.  已知关于x，y的方程C：
若方程C表示圆，求m的取值范围；
当时，曲线C与直线l：相交于M，N两点，求的值．

20.  如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，，，G为AB的中点．，
求证：平面BCE；
求证：平面平面GCE；
求多面体AFEBCD的体积．

21.  已知点在抛物线C：上，F为焦点，且
求抛物线C的方程；
过点的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求的值．

22.  已知椭圆：的离心率为，是椭圆上的点．
求椭圆的方程；
已知点P为椭圆上的任意一点，过点P作的切线与圆：交于A，B两点，设OA，OB的斜率分别为，，证明：为定值，并求该定值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
系统抽样的分段间隔为，
号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为，则，
当时，，即在第62组抽到
故选：
根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．
本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
 

2.【答案】C 

【解析】解：乙组数据平均数；
；
甲组数据可排列成：9，12，，24，所以中位数为：，

故选：
求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．
 

3.【答案】D 

【解析】解：因为直线l的倾斜角为，
所以该直线斜率不存在，与x轴垂直，
又因为直线l过点，
所以直线l的方程为
故选：
根据直线l的倾斜角为判定该直线斜率不存在，再根据直线经过点写出直线方程．
本题考查了直线的倾斜角为时的直线方程，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：双曲线的渐近线方程是，整理可得
故选：
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为，
所以，解得或
故选：
直接利用两条直线垂直的充要条件，列出关于a的方程，求解即可．
本题考查了两条直线垂直关系的应用，解题的关键是掌握两条直线垂直的等价转化，即已知直线，的方程分别是：：不同时为，：不同时为，则
 

6.【答案】B 

【解析】解：根据题意，圆M：，其圆心M为，半径，
圆N：，其圆心M为，半径，
圆心距，有，
两圆外切，
故选：
根据题意，由两个圆的方程分析圆的圆心与半径，求出圆心距，据此分析可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：由题意可知：，，
所以，解得
故选：
利用回归直线，经过样本中心，转化求解即可．
本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查，基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，
画出可行域如图：

当时，的值最大，且最大值为
故选：
算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．
本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
 

9.【答案】C 

【解析】解：根据题意，圆C：的圆心为，
则，
若过圆C上一点作切线l，则切线l的斜率，
又由直线m：即与切线l平行，则有，
解可得；
故选：
根据题意，求出直线CP的斜率，由切线的性质可得直线l的斜率，进而有直线平行的性质可得，解可得a的值，即可得答案．
本题考查圆的切线方程，涉及直线平行的判断，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：因为，
所以，
又因为，
所以，，
又因为恒成立，
即恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以，
所以t的最大值为：
故选：
由题意可得且，，由基本不等式求出的最小值即可．
本题考查了基本不等式的应用，关键点是判断出，，属于中档题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，
设，以MF为直径的圆过点，

，
，
，
解得，
，；

故选：
根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径对直角得出，求出点M的坐标，再计算的值．
本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．
 

12.【答案】A 

【解析】解：设椭圆的右焦点为，焦距为连接，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，
所以，，则，
由余弦定理可得：，
所以，
所以椭圆的离心率
故选：
画出图形，利用已知条件，结合余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的性质，离心率的求法，是中档题．
 

13.【答案】15 

【解析】解：高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，
高二在总体中所占的比例是，
用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，
要从高二抽取，
故答案为：15
根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．
本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，
当图象经过区域的边界点时，a可以取到最大值3，
而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．
则a的取值范围是
故答案为：
先依据不等式组，结合二元一次不等式组与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．
这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，
设点到平面的距离为h，
则

故答案为：
如图所示，设点到平面的距离为h，利用即可得出．
本题考查了正方体的性质、三棱锥的体积计算公式、三角形面积计算公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连结，
是圆O的直径，
，即，
又是等边三角形，，
，
因此，在中，，，

根据双曲线的定义，得，
解得，
双曲线的离心率为
故答案为：
连结，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，得到是含有角的直角三角形，由此得到且再利用双曲线的定义，得到，即可算出该双曲线的离心率．
本题给出以双曲线焦距为直径的圆交双曲线于A、B两点，在是等边三角形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，的对称轴为，
由于函数在上单调，
所以或，
解得或，
所以b的取值范围是
由于的解集为，
所以，所以，
所以不等式，即，
所以，，
解得或，
所以不等式的解集为 

【解析】根据在区间上的单调性列不等式，由此求得b的取值范围．
根据的解集求得a，b，c的关系式，从而求得不等式的解集．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了韦达定理的应用，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意得好友中男性有72人，女性有48人，
选取30人的样本，则应选取女性人；
由解得，
则运动平均步数万步，
运动步数在的频率为，在的频率为，
则位数位于间，小王的运动步数为万步 

【解析】由分层抽样的概念求解，
由频率分布直方图数据求解，
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
 

19.【答案】解：方程C可化为  ，
显然，时，方程C表示圆．
圆C的圆心，圆心到直线l：的距离为，
圆C的半径，
又 ， 

【解析】把圆的方程化为标准形式，可得结论．
由题意利用点到直线的距离公式、弦长公式，求得弦长MN的值．
本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．
 

20.【答案】本小题满分14分
证明：因为，且，
所以 四边形CDFE为平行四边形，
所以……分
因为平面BCE，……分
所以平面……分
连接
因为 平面平面ABEF，平面平面，，
所以 平面ABEF，
所以 ………………分
因为G为AB的中点，
所以，且；，且，
所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．
所以 ，所以 ………………分
因为，
所以 四边形BEFG为菱形，
所以 ………………分
所以 平面………………分
所以 平面平面………………分
设
由得，所以平面GCE，
由得，所以平面GCE，
所以平面平面GCE，
所以几何体是三棱柱．………………分
由得平面
所以多面体AFEBCD的体积………………分
………………分 

【解析】证明四边形CDFE为平行四边形，推出然后证明平面
连接说明平面ABEF，推出 ，即可证明平面GCE，推出平面平面
设几何体是三棱柱，然后通过多面体AFEBCD的体积求解即可．
本题考查空间几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平行的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．
 

21.【答案】解：抛物线C：，
焦点
由抛物线定义得：，
解得，
抛物线C的方程为
①当l的斜率不存在时，
此时直线方程为：，
，，
则
②当l的斜率存在时，设
，，
由，可得
，
设，，
则，
，



，
 

【解析】首先，确定参数P，然后，求解其方程；
首先，对直线的斜率分为不存在和存在进行讨论，然后，确定的取值情况．
本题综合考查了抛物线的标准方程的求解、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题设，，则，而，则，
设椭圆的方程为，又点在椭圆上，
所以，可得：，故椭圆的方程为
①当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为或
若，则，，则，，
若，则，，则，，
②当直线AB斜率存在时，设直线AB：，，，
直线与椭圆联立，得，
由直线与椭圆相切，则，化简得：
直线与圆联立：，得：，
，，，而OA，OB的斜率分别为，，
所以，
将式代入：，
将代入：
综上：为定值，该定值为 

【解析】由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程．
讨论AB斜率，并设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理及斜率两点式得到关于参数的表达式，进而化简即可证结论．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题．