2022-2023学年四川省泸州市泸县一中高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省泸州市泸县一中高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  若直线：与直线：平行，则a的值为(    )

A.  B. 3 C. 3或 D. 或6

2.  某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”．某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知O为坐标原点，，则以OA为直径的圆方程为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  圆M：与圆N：的位置关系为(    )

A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交

5.  已知p：，q：，则p是q的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  曲线(    )

A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 不具有对称性

7.  已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若下面的程序框图输出的S是30，则条件①可为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

10.  如图，长方体中，，，，点E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的外接球表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①异面直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线不可能平行．
其中真命题有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

12.  已知，是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为(    )

A. 2 B.  C.  D.

13.  两个CB对讲机持有者，小王和小张都在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午2：00时小王在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而小张在下午2：00时正在基地正北距基地30公里以内的某处向基地行驶，则在下午2：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率为______.

14.  若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为______.

15.  设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为______.

16.  已知正实数a，b满足，则的最小值是______.

17.  某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计已知这50人身高介于155cm到195cm之间，现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组第二组…，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：
补全频率分布直方图；
根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；
用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率．

18.  已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，
求圆A的标准方程；
求直线l的方程．

19.  已知函数，a为常数．
若，解关于x的不等式；
若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

20.  已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为
求抛物线C的标准方程；
过焦点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值．

21.  如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．
证明：；
若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

22.  已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且
求椭圆的方程；
过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：直线：与直线：平行，
则，解得或，
当时，直线与不重合，符合题意，
当时，直线与重合，不符合题意，
综上所述，a的值为
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：从5个板块中任选2个版块作答共有种选法，
“创新发展能力”版块被该队选中共有种选法，
所以所求事件的概率为，
故选：
分别求出总的选取个数以及所求事件的选取个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：设OA中点为M，则由题可得，以OA为直径的圆圆心为，半径为，
故以OA为直径的圆方程为：
故选：
根据OA为直径可求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程即可．
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：圆M：的圆心为，半径为，
圆N：即的圆心为，半径为，
故，，
所以圆M与圆N内切．
故选：
根据两圆的圆心距以及圆的半径和和半径差的大小关系确定两圆的位置关系．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为p：；
q：，
所以，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件．
故选：
分别求出命题p，q，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：对于A，将点代入曲线方程得：，
所以曲线不关于x轴对称，故A错误；
对于B，将点代入曲线方程得：，
所以曲线不关于y轴对称，故B错误；
对于C，将点代入曲线方程得：，
所以曲线关于原点对称，C正确，D错误．
故选：
将点，，分别代入方程，即可检验对称性．
本题主要考查了曲线的对称性，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：因为圆，所以圆心为，半径为，如图，

所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值
故选：
先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：循环前，，，
第1次判断后循环，，，
第2次判断并循环，，，
第3次判断并循环，，，
第4次判断并循环，，，
第5次判断不满足条件①并退出循环，
输出条件①应该是或
故选：
用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，当时，此时，退出循环，从而可得判断框的条件．
本题考查循环结构，判断框中退出循环是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线l的方程为，
如图，过P作于M，

由抛物线的定义可知，所以
则当Q，P，M三点共线时，最小为
所以的最小值为
故选：
抛物线的准线l的方程为，过P作于M，根据抛物线的定义可知，则当Q，P，M三点共线时，可求得最小值，答案可得．
本题考查抛物线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：取CD的中点H，连接EH，
由题意可得的外接圆圆心M在EH上，
又，
则，
又，
设的外接圆半径为r，
则，
则，
即，
设三棱锥的外接球球心为O，半径为R，
则，
则，
则三棱锥的外接球表面积为，
故选：
先确定球的球心的位置，然后求出球的半径，然后结合球的表面积的求法求解即可．
本题考查了球的表面积的求法，重点考查了运算能力，属基础题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过C点做，，，此时，的值最小．
由题可知，，，
，
则，，
故，又，
故的最小值为，故③正确．

对于④，在正方体中易证平面，
设，则即为二面角的平面角，
又正方体棱长为1，故，则，
由余弦定理得，
故，同理，
故在上必然存在一点E，使得二面角为，
即平面平面，平面EBD与平面的交线为ED，
则，过P点作BD的垂线此时平面，
又平面，故故④错误．

故选：
利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误．
本题主要考查异面直线所成的角，二面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
，，又O为的中点，
，
又，为等边三角形，
，，
由双曲线定义可知：，
，

故选：
由，可得，从而，再结合，求出，从而可得，最后利用双曲线定义得到方程，从而可求出离心率．
本题考查平面向量的数量积的运算，双曲线的几何性质，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设小王距离基地x公里，小张距离基地y公里，
则所有可能的数对满足，
他们能够通过对讲机交谈，则包含的数对满足，作图如下：

故在下午2：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率
故答案为：
求得所有基本事件对应的集合，以及所求事件对应的集合，利用几何概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：命题“，”为真命题，
即当时恒成立，则，解得或，
故实数x的取值范围为
故答案为：
由题意可得：命题“，”为真命题，根据恒成立问题结合二次函数运算求解．
本题考查恒成立问题以及二次函数相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：椭圆C：，，，，
在椭圆上，，
在第一象限，故，
为等腰三角形，则，
，
由余弦定理可得，
过M作轴于A，则，
，即M的横坐标为，，
的坐标为
故答案为：
根据M位置可知，根据椭圆定义可求出，，利用余弦定理解，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，三角形的解法，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，
任取，，且，则
因为，所以，，
所以，即，于是，
所以在上单调递增．
因为，所以，即，
所以
因为，所以，，
所以，
当且仅当，且，即，等号成立，
所以当时，取得的最小值为
故答案为：
根据已知条件及函数单调性的定义，再利用基本不等式即可求解．
本题考查函数的综合运用以及基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．解决此题的关键就是构造函数，利用函数单调性的定义及单调性的性质，结合基本不等式即可．
 

17.【答案】解：第6组和第7组的频率和为
，
且第6组和第7组人数的比为5：2，
第6组的频率为，纵坐标为；
第7组的频率为，纵坐标为；
补全频率分布直方图如图所示；
设身高的中位数是x，则

，
解得，
估计这50位男生身高的中位数为；
由第4、5组的频率之比为2：3，
按分层抽样用方法，
第4组应抽取2人，记为A、B；
第5组应抽取3人，记为c、d、e，
则所有可能的情况有：
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；
满足2位男生身高都在内的基本事件为cd、ce、de共3种，
故所求的概率为 

【解析】计算第6组和第7组的频率，求出，
补全频率分布直方图即可；
利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；
按分层抽样方法求出第4、5组应抽取的人数，
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数列举法求概率的问题，是基础题．
 

18.【答案】解：设圆A的半径为R，因为圆A与直线：相切，
，圆A的方程为
①当直线l与x轴垂直时，易知符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为，即
连接AQ，则，，，
则由得，直线l为：，
故直线l的方程为或 

【解析】利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程
本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
当时，，的解集为；
当时，，的解集为；
当时，，的解集为
综上所述，当时的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为
对任意，，

令，则，，，
当且仅当，即，时取“=”，
，
故实数a的取值范围为 

【解析】化简不等式，结合二次函数与二次不等式的关系即可求解该不等式；
将参变分离，将问题转化为求解即可．
本题考查含参不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由抛物线C：的焦点为，准线方程为，
点到焦点F距离为4，
，解得，
故抛物线C的方程为；
证明：由得抛物线C的方程为，则焦点，
由题意设直线l方程为，
联立抛物线C和直线l的方程得，整理得，则，
设，，
，
又，，
，
故为定值 

【解析】根据抛物线的定义即可求得，即可得出答案；
由得抛物线C的方程为，则焦点，设直线l的方程为，联立抛物线方程，设，，则，又，化简即可证明结论．
本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为，O为BD的中点，所以，
又平面平面BCD，平面平面，平面ABD，
所以平面BCD，又平面BCD，
所以；
方法一：
取OD的中点F，因为为正三角形，所以，
过O作与BC交于点M，则，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，
设平面BCE的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故
方法二：
过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，
由题意可知，，又平面BCD
所以平面BCD，又平面BCD，
所以，又，，FG、平面EFG，
所以平面EFG，又平面EFG，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以 

【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
利用等腰三角形中线就是高，得到，然后利用面面垂直的性质，得到平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明；
方法一：建立合适的空间直角坐标系，设，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．
方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，求出，，然后利用锥体的体积公式求解即可．
 

22.【答案】解：抛物线焦点坐标为，故
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为
，由余弦定理，得
整理，得，解得或舍去
由椭圆定义，得，
，
椭圆的方程为；
证明：设：，，
联立，可得，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点 

【解析】根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；
直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．