2022-2023学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）

1.  某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是(    )

A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法 B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法
C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法 D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法

2.  下面命题正确的是(    )

A. “若，则”的否命题为真命题
B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”
C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件

3.  直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

4.  执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的(    )

A. 1
B.
C.
D.

5.  已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(    )

A. 至少有一个白球与都是红球
B. 恰好有一个白球与都是红球
C. 至少有一个白球与都是白球
D. 至少有一个白球与至少一个红球

7.  已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  变量x与y的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y关于x的线性回归方程为，则缺少的数值为(    )

A. 24
B. 25
C.
D. 26

9.  已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上，于B，若，则(    )

A. 4
B. 12
C.
D.

10.  现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A，B，若，则的周长为(    )

A. 6
B.
C.
D.

12.  已知、分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C过和两点，点P在线段AB上，则的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  抛物线的焦点到其准线的距离为______.

14.  已知“，都有不等式成立”是假命题，则实数m的取值范围为______.

15.  在区间上随机取两个数x、y，则满足的概率为______.

16.  已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______.
①椭圆C的离心率为；②；③；④以AE为直径的圆过点

17.  已知圆C上有两个点，，且AB为直径．
求圆C的方程；
已知，求过点P且与圆C相切的直线方程．

18.  某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为
求频率分布直方图中a的值；
求这50名问卷评分数据的中位数；
从评分在的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

19.  已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为
求C的标准方程；
若直线与双曲线C交于A，B两点，求

20.  某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：

由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．
求y关于x的回归直线方程；附：，
预计以后的销售中，销量与单价服从中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？

21.  已知椭圆C：，的离心率为，点与椭圆C的左、右顶点构成等腰直角三角形．
求椭圆C的方程；
若直线MN与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

22.  如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记，的面积分别为，
求p的值及抛物线的准线方程；
求的最小值及此时点G的坐标．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响
而社区中各个家庭收入差别明显
①用分层抽样法，
而某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中
个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，
②用随机抽样法
故选：
由于①中，某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户，其收入差别较大，故要用分层抽样，而②中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．
本题考查的知识点是收集数据的方法，其中分别个体之间是否有明显的差别，及样本及总体容量的大小以确定抽样方法是解答本题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：对于A，若，则的否命题为若，则，故A为假命题，
对于B，若，则的否定是“存在，则”，故B为假命题，
对于C，令，，满足“”，不能推出且，必要性不成立，故C错误，
对于D，若，
则且，
故“”是“”的必要不充分条件，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合否命题的定义，以及充分条件，必要条件的定义，即可依次求解．
本题主要考查否命题的定义，以及充分条件，必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由题意可得圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离，而圆心到直线的距离，解得：，
所以直线的倾斜角为：或，
故选：
求出弦长，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
考查直线与圆的位置关系，属于基础题
 

4.【答案】C 

【解析】解：由程序框图知：输入时，，，，
第一次循环，，；
第二次循环，，；
第三次循环，，；
满足条件，跳出循环，输出，
故选：
根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件，跳出循环，计算输出S的值．
本题考查根据循环结构框图计算输出结果，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：根据题意，双曲线的离心率为2，
其焦点在x轴上，其渐近线方程为，
又由其离心率，则，
则，即，
则其渐近线方程；
故选：
根据题意，由双曲线的离心率可得，由双曲线的几何性质可得，由此求解双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
对于A，至少有一个白球与都是红球是对立事件，故A错误；
对于B，恰好有一个白球与都是红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故B正确；
对于C，至少有一个白球与都是白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，至少有一个白球与至少一个红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：
利用互斥事件、对立事件的定义直接判断．
本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由约束条件的平面区域作出可行域如图，
目标函数的几何意义是可行域内的动点
与定点连线的斜率，；
，，
目标函数的取值范围是；
故选：
由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率的范围得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了数学转化思想方法，是中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：设缺少的数为x，则，，
把代入，得，解得
故选：
设缺少的数为x，利用回归直线过样本中心点列方程求解．
本题考查回归直线过样本中心点，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：由题知抛物线C：，图象开口向右，，
记准线l与x轴交于点D，如图所示：

因为，根据抛物线定义有，
因为，
所以为正三角形，
所以，
所以，
因为焦点到准线的距离为，
所以，
所以，
故选：
结合抛物线定义，为正三角形，即可解决．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：
故选：
列举出在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的基本事件，由此能求出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
 

11.【答案】B 

【解析】解：设AB与x轴交于点D，
由双曲线的对称性可得轴，，，
又，
则，
即，
又点A在以OF为直径的圆上，
则，
则，
即，，，
则的周长为，
故选：
由双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：椭圆过点和，
，，可得，
，，
设，由题意直线AB的方程为，即，
点P在线段AB上，
满足，，
则，，
当时，，当时，，
的取值范围为
故选：
根据椭圆过点求出a，b，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由可得，根据抛物线的性质可知焦点到其准线的距离为，
故答案为：
根据抛物线的性质求解即可．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：“，都有不等式成立”是假命题，
其否定“，使得不等式成立”是真命题，
即，使得不等式成立，
，
，，
，
即实数m的取值范围为
故答案为：
由题意可知，“，使得不等式成立”是真命题，即，再利用二次函数的性质求出在上的最大值即可．
本题主要考查命题的真假应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图：总的基本事件为，其面积，
事件P包含的基本事件为，其面积；
故满足的概率；
故答案为：
由题意可得总的基本事件为，事件P包含的基本事件为，再由测度比是面积比得答案．
本题考查几何概型的计算，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
 

16.【答案】②③④ 

【解析】解：由椭圆方程：可知：，，
因此离心率，故①错误；
设，因为弦BC平行y轴，交x轴于D，
则，，
由斜率公式可得，
，即，故②正确；
设，则直线AE的方程为，所以，
故，
联立直线与椭圆的方程，，消去y可得，
由韦达定理可得，
代入中，
又，
故，
所以，
所以，所以以AE为直径的圆过点B，故④正确，
，故③正确，
故答案为：②③④．
根据a，b，c的关系可求离心率，即可判断①；根据两点斜率公式可判断②；联立方程，根据斜率公式以及韦达定理即可判断③④．
本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得AB的中点，
圆C的半径，
所以圆C的方程为：；
因为，
所以点P在圆上，所以，
所以过P点的切线的斜率为，
所以过P点的切线方程为 

【解析】由A，B的坐标可得中点C的坐标，进而求出以AB为直径的圆的半径，求出圆的方程；
将点P的坐标代入圆的方程，可得点P在圆上，求出直线PC的斜率，进而求出过P点的切线的斜率，进而求出过P点的切线的方程．
本题考查求圆的方程及过一个点与圆相切的直线的方程的求法，属于基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图，可得，
解得
由频率分布直方图，可设中位数为m，
则有，
解得中位数
由频率分布直方图，可知在内的人数：，
在内的人数：
设在内的2人分别为，，在内的3人分别为，，，
则从的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：
，，，，，
，，，，，
其中2人评分都在内的基本事件有，，共3种，
故此2人评分都在的概率为 

【解析】由频率分布直方图，能求出
由频率分布直方图，可设中位数为m，则，由此能求出中位数．
由频率分布直方图，可知在内的人数：，在内的人数：设在内的2人分别为，，在内的3人分别为，，，从的问卷者中随机抽取2人，利用列举法能求出此2人评分都在的概率．
本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

19.【答案】解：因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线C的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为；
设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即 

【解析】焦点在x轴上，设方程为根据题意求出a，b即可；
设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
，，
，
，
y关于x的回归直线方程为；
获得的利润，
即，
二次函数的图象开口向下，
当时，z取最大值，
故当单价定为元时，可获得最大利润． 

【解析】根据公式计算可得结果；
获得的利润，再根据二次函数知识可求得结果．
本题考查了利用回归方程进行回归分析，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意可得，①
因为点与椭圆C的左、右顶点构成等腰直角三角形，
所以原点为该直角三角形斜边的中点，
所以，
代入①，解得，
又，
所以椭圆的方程为
设，，直线MN的方程为，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以原点O到直线l的距离，
所以为定值． 

【解析】根据题意可得，，解得c，又，解得，即可得出答案．
设，，直线MN的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，计算，推出，计算弦长，原点O到直线l的距离d，再计算面积，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由抛物线的性质可得：，
，
抛物线的准线方程为；
设，，，重心，
令，，则，
由于直线AB过F，故直线AB的方程为，
代入，得：，
，即，，
又，，重心在x轴上，
，
，，
直线AC的方程为，得，
在焦点F的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时 

【解析】由抛物线的性质可得：，由此能求出抛物线的准线方程；
设，，，重心，令，，则，从而直线AB的方程为，代入，得：，求出，由重心在x轴上，得到，从而，，进而直线AC的方程为，得，由此结合已知条件能求出结果．
本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．