2022-2023学年天津实验中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津实验中学高二（上）期末数学试卷

1.  传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为(    )

A. 14，20 B. 15，25 C. 15，20 D. 14，25

2.  已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3.  准线方程为的抛物线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在数列中，，，则(    )

A.  B. 1 C.  D. 2

5.  在等比数列中，已知，，则公比(    )

A.  B.  C. 2 D.

6.  已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为若，则该双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列求导运算正确的个数是个(    )
①若，则；
②若，则
③若，则
④若，则

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9.  已知，是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为9a，则该双曲线的离心率为(    )

A. 2 B.  C. 3 D.

10.  已知等差数列满足：，，则______.

11.  双曲线的离心率为______.

12.  设是公比不为1的等比数列，且，，则的通项公式______.

13.  若函数，则______.

14.  函数的图象在点处的切线方程为______.

15.  已知数列的前n项和为，则取得最小值时n的值为______；…______.

16.  已知数列的前n项和为，满足，
证明：是等比数列；
求数列的通项公式．

17.  已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点．
求双曲线的离心率和渐近线方程；
求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
若点P到抛物线的焦点的距离是5，求的值．

18.  已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
求和的通项公式；
已知，数列满足，求数列的前2n项和

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：三角形数：
第一个数1，第二个数，第三个数：，
第四个数，第五个数，
正方形数：
第一个数，第二个数，第三个数：，
第四个数，第五个数，
故选：
找到规律后代入计算能求出结果．
本题考查简单的归纳推理、三角形数和正方形数的规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
该函数在区间上的平均变化率为

故选：
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率．
本题考查函数在某区间上的平均变化率公式：平均变化率
 

3.【答案】D 

【解析】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y轴正半轴上的抛物线，
设其方程为，
则其准线方程为，得
该抛物线的标准方程是
故选：
由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴正半轴上的抛物线，并求得p值，则答案可求．
本题考查抛物线的标准方程，是基础的计算题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：，
，
，
可得数列是以3为周期的周期数列，
，
故选：
利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值．
本题考查数列的递推公式、数列的周期性，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由是等比数列，得，
又，所以，即，
所以
故选：
根据是等比数列可得，结合即可求出q值．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：由为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P可得，
因为，由双曲线的定义可得，
所以，
由离心率可得，
所以，即，解得，
所以，
所以双曲线的方程为：
故选：
由题意可得，再由双曲线的定义可得的表达式，再由勾股定理可得a，c的关系，再由离心率的值求出a，c的值，进而求出b的值，求出双曲线的方程．
本题考查双曲线的性质及圆的性质及双曲线的求法，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD，
又C选项，递减区间斜率不变，故排除．
故选：
根据导函数的正负即可判断．
本题考查了利用导数的正负判断函数的单调性，属于易做题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：①若，则，故①正确；
②若，则，故②正确；
③若，则，故③错误；
④若，则，故④正确．
正确的个数是3个．
故选：
由基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐一分析四个命题得答案．
本题考查导数的运算，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：由题意知，，，
解得，，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以，即，
，
化简，得，即
解得
故选：
通过求解三角形列出a、b、c的关系，转化求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化首项以及计算能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为等差数列满足，，
所以，解得，，
则
故答案为：
由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由双曲线的方程可知，，
则，
则，，
即双曲线的离心率，
故答案为：
根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．
 

12.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公式为，
因为，，
所以，即，
解得或舍去，
所以，
故答案为：
根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以
故答案为：
先对函数求导，然后把代入即可求解．
本题主要考查导数求导公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，又因为，
所以的图象在点处的切线方程为，即
故答案为：
先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
当时，，递增；
当时，，递减．
又，，而，
所以取得最小值时n的值为9；
…
故答案为：9，
由题意可得，分别讨论当时，当时，的单调性，计算可得所求最小值；再由…，计算可得所求值．
本题考查数列前n项和的最小值问题解法，考查分类讨论思想和推理能力，属于基础题．
 

16.【答案】解：证明：，，即，
，即，
又，则数列是首项为，公比为4的等比数列；
由得数列是首项为，公比为4的等比数列，则，
 

【解析】根据数列的递推式可得，即，利用等比数列的定义，即可证明结论；
由得数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由双曲线，可得，，，，渐近线方程为
由题意可得，解得，
抛物线的方程为，准线方程为
点P到抛物线的焦点的距离是5，
，解得 

【解析】由双曲线，可得，，，即可得出e及其渐近线方程．
由题意可得，解得p，即可得出抛物线的方程与准线方程．
由点P到抛物线的焦点的距离是5，利用抛物线的定义可得，解得
本题考查了双曲线与抛物线的定义与标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意得，即，解得或不合题意，舍去
，
又，设等差数列的公差为d，则，解得，
；
当时，，
；
当时，，
①，
②，
由①-②可得，
，
 

【解析】由题意得，求出，q，则，设等差数列的公差为d，即可得出答案；
，令，得到，利用裂项相消求得，令，得，利用错位相减法求得，即可得出答案．
本题考查等差数列与等比数列的综合应用、错位相减法与裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．