2022-2023学年重庆市云阳县凤鸣中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年重庆市云阳县凤鸣中学高二（上）期末数学试卷

1.  在等差数列中，若，，则(    )

A. 14 B. 15 C. 16 D. 8

2.  过两点和的直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  抛物线的准线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是(    )

A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 平行或线在面内

5.  已知圆关于直线对称，则ab的最大值为(    )

A. 2 B. 1 C.  D.

6.  我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知数列的前n项和为，，则下列说法不正确的是(    )

A. 为等差数列 B.
C. 最小值为 D. 为单调递增数列

10.  已知曲线C：，m、n为实数，则下列说法错误的是(    )

A. 曲线C可能表示两条直线
B. 若，则C是椭圆，长轴长为
C. 若，则C是圆，半径为
D. 若，则C是双曲线，渐近线方程为

11.  如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点包括端点则以下结论正确的为(    )

A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线，成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为

12.  古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(    )

A. C的方程为
B. 在C上存在点M到点的距离为4
C. C上的点到直线的最大距离为6
D. 过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为

13.  已知直线：，：，若，则a的值为______.

14.  已知数列的前n项和为，，则______.

15.  如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为4，，平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为，若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为______.

16.  第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______.
 

17.  已知圆C：，直线l：
求圆C的圆心坐标和半径；
若直线l与圆C相切，求实数k的值．

18.  已知为等差数列，前n项和为，是首项为3且公比q大于0的等比数列，，，
求和的通项公式；
求数列的前n项和

19.  如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，底面ABCD是正方形，
求证：直线平面PAC；
求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值．

20.  已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为
求椭圆C的标准方程；
设B为椭圆C的上顶点，直线l：与椭圆C相交于不同的两点M，N，若，求直线l的方程．

21.  如图1，A，D分别是矩形上的点，，，把四边形沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接，得到几何体

当点E在棱AB上移动时，证明：；
在棱AB上是否存在点E，使二面角的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

22.  已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为
求双曲线C的标准方程与离心率；
已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由题意可知，在等差数列 中，由等差数列性质可知，
故选：
根据等差数列性质可知，若 ，则，即可计算出结果．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：两点和，
斜率，又倾斜角
故选：
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，，
所以抛物线的准线方程是：
故选：
利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：因为，
所以与共线，直线l与平面垂直．
故选：
根据得到与共线，即可得到直线l与平面垂直．
本题主要考查了向量在直线与平面位置关系判断中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由题意，在圆中，，
圆心为，半径为1，
在直线中，圆关于该直线对称，
直线过圆心，
，即：，
，
解得：，当且仅当时等号成立，
的最大值为
故选：
由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出ab的最大值．
本题考查直线与圆，基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：根据向量的线性运算，
，
所以
故选：
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
设，所成的角为，
则
故选：
建立空间直角坐标系，求出和，根据向量的夹角公式求解即可．
本题考查了异面直线所成的角，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：设，因为，所以，
由双曲线定义知，则，
由双曲线定义知，则，
设，，因为，
在中，①；
在中，
解得：，代入①式，得
点M为线段的中点，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
故选：
设，由已知得，利用双曲线定义知，，在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：对于A，当时，，时满足上式，所以，
所以，
所以为等差数列，故A正确；
对于B，由上述过程可知，，，，故B错误；
对于C，因为，对称轴为，
又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；
对于D，由上述过程可知的公差等于2，
所以为单调递增数列，故D正确．
故选：
根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n项和分析求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，以及数列的函数特征，属于中档题．
 

10.【答案】BD 

【解析】解：当，时，曲线C：即为，表示两条直线，选项A正确；
当，曲线C：可化为，此时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；
若，曲线C：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；
若，则C是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．
故选：
根据曲线C的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．
本题考查曲线与方程，考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又P为线段上动点，
到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，
当点P与重合时，，故A正确；
，与所成角等价于与BD所成角，
又为等边三角形，异面直线，成角为，故B项错误；
以DA方向为x轴，DC方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点P为中点时，，易得，平面，又平面，
，又，，平面，
平面，即平面BDP，又，，
，，
的外接圆半径为，
故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，
设三棱锥的外接球半径为R，
则，
故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确．
故选：
易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面BDP，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项．
本题考查线面平行的判定定理，线线角的求解问题，向量法求解线面角问题，三棱锥的外接球问题，属难题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：设，则，
化简得，，则选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，
则圆上的点到点的最小距离为，
则在圆C上不存在点M到点的距离为4，则选项B错误；
C上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，
即，则选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，
只需圆心到该直线的距离为2，即，
解得，则选项D正确．
故选：
设，根据直接求出方程即可判断选项A；求出圆上的点到点的距离的最小值，即可判断选项B；C上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径；设直线l的方程为，要满足恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到直线l的距离为2，由此可求得k的值．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：若，
则，解得
故答案为：
根据两直线垂直列方程，解方程即可．
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知条件知，当时，；
当时，；
当时不满足上式，
，
故答案为：
直接利用即可求的通项公式．
本题主要考查数列递推式，考查通项公式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】3 

【解析】解：连接BE，以向量，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建系如图，
又，是等边三角形，点O在直线AB上的射影F在边AB上靠近A的四等分点，
又平面ABCD，平面ABCD，
，又，，OF，平面POF，
平面POF，又平面POF，
，为锐角，
，为异面直线PB与CD所成角，即，
又在菱形ABCD中，，，
，，设，
则，，，
，，
，
，
，，，，，
点E到直线BP的距离为
故答案为：
建系，利用向量法，向量的数量积的夹角公式，勾股定理，即可求解．
本题考查向量法求解点面距问题．属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设内层椭圆方程为，
由于内外椭圆离心率相同，
由题意可设外层椭圆方程为，
所以A点坐标为，B点坐标为，
设切线AC的方程为，
切线BD的方程为，
联立直线AC的方程与内层椭圆方程，，
直线AC与椭圆相切，
，化简整理可得，，
同理，联立直线BD的方程与内层椭圆方程，可推出，
，
，即，
，解得
故答案为：
分别设出内外椭圆的方程，求出A，B点的坐标，得到直线AC与BD的方程，分别与内椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率的值．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：圆C：，
圆C的标准方程为
圆C的圆心C的坐标为，半径为
直线l与圆C相切，
圆心C到直线l的距离，解得
实数k的值为 

【解析】通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；
通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可．
本题考查圆的一般方程以及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则
则由可得，，解得或舍去，
所以，则，
由可得，由可得，，
又，所以
所以，，所以，
所以
由知，，，
所以
所以，，，
两式作差得，，
所以， 

【解析】根据等比数列的通项公式可计算得到公比q的值，再根据等差数列的通项公式及其性质和求和公式，即可解出首项和公差d的值，即可求得和的通项公式；
先根据第题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前n项和
本题考查等差数列与等比数列的综合运用以及错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：底面ABCD，平面ABCD，
，
在正方形ABCD中，，
又，平面PAC，平面PAC，
平面PAC；
由题意可建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，，，，
，，，
设平面PBD的一个法向量为，
则，取，则，，
平面PBD的一个法向量为，
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，，
故直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为 

【解析】根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
由题意可建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，设，则，，，，，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得，，，，
，，
椭圆C的标准方程为
依题意，知，设，
联立，消去y，可得，
，即，，
且，
，

，
，
整理得，
解得或舍去
直线l的方程为 

【解析】由条件写出关于a，b，c的方程组，即可求椭圆方程；
首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：由图1易知图2中，有，，
又因为面面ABCD，面面，面ABCD，
所以面，又面，故，
故以D为原点，边DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，
不妨设，，则，
故，
所以，故
假设存在使二面角的平面角为，其中，
因为平面DCE，所以可作为平面DCE的一个法向量，
因为，
设平面的一条法向量为，则，即，则可取，
因为二面角的平面角为，
所以，即，
整理得，解得或舍去，
所以，
故在棱AB上存在点E，使二面角的平面角为，且 

【解析】利用题设条件及面面垂直的性质定理证得DA，DC，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，由此可证得；
利用中结论，求出平面DCE与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于的方程，解之即可．
本题考查利用空间向量研究直线与直线的位置关系以及二面角问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设双曲线C的焦点，则F到直线的距离为1，
则，则，
双曲线渐近线的斜率，又，
所以，，
所以双曲线C的方程：；
双曲线的离心率；
设直线l：，，，
联立，消去y，整理得，
则，所以，，
所以，
解得或舍去，
所以，，
由直线l的方程：，令，，
所以，
所以，
所以的面积 

【解析】根据焦点到渐近线的距离可得c的值，根据，即可求得a和b的值，求得双曲线方程；
设直线l的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，可得t的值，再利用三角形的面积公式，即可求得的面积．
本题考查双曲线的标准方程及性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．