2022-2023学年西藏拉萨中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年西藏拉萨中学高二（上）期末数学试卷

1.  已知命题p：，，那么命题为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  下列选项中正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则

3.  的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，若，则角C的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等差数列满足，则的值为(    )

A.  B. 3 C.  D. 12

5.  “”是关于x的不等式的解集为的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  双曲线C：上的点P到上焦点的距离为12，则P到下焦点的距离为(    )

A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24

7.  若关于x的不等式的解集是或，则(    )

A.  B.  C.  D. 1

8.  若x，y满足约束条件则的最大值是(    )

A.  B. 4 C. 8 D. 12

9.  下列说法正确的是(    )
已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题是假命题；
“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件；
命题“已知A，B为一个三角形的两内角，若，则”的否命题为真命题；
命题“若，则”的逆否命题是真命题．

A.  B.  C.  D.

10.  数列满足，则(    )

A.  B.  C.  D. 3

11.  国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为、在水平面上测得且C、D的距离为10米，则旗杆的高度为(    )

A. 5 B.  C. 10 D.

12.  已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为(    )

A. 6 B.  C.  D.

13.  若抛物线经过点，则其准线方程是______.

14.  在正项等比数列中，若，则______.

15.  已知，则的最小值为______.

16.  已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，设直线MA，MB的斜率分别为，，则______

17.  在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
求角A的大小：
若，的面积为，求的周长．

18.  已知等差数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和

19.  已知抛物线C：
若直线经过抛物线C的焦点，求抛物线C的准线方程；
若斜率为的直线经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，当时，求抛物线C的方程．

20.  已知命题p：实数m满足，其中；命题q：方程表示经过第二、三象限的抛物线．
当时，若命题p为假，且命题q为真，求实数m的取值范围；
若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

21.  记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
证明：…

22.  已知双曲线的离心率是，实轴长是
求双曲线C的方程；
过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：全称命题的否定是特称命题，
命题为：，
故选：
利用全称命题的否定解答即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：A：只有当时，才能由推出，故本选项不正确；
B：只有当，时，才能由，推出，故本选项不正确；
C：当，时，显然成立，但是显然不成立，因此本选项不正确；
D：因为，所以，因此本选项正确．
故选：
利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可．
本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：，，，
，即，
，
由余弦定理可得，，解得，
，

故选：
结合向量平行的公式，以及余弦定理，即可求解．
本题主要考查向量平行的公式，以及余弦定理，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，
，解得
设等差数列的公差为d，
则
故选：
利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：当时，无解，即该不等式的解集为，充分性成立，
的解集为，
当时，解集为不为，不符合题意，
当时，解集为，符合题意，必要性成立，
故“”是关于x的不等式的解集为的充要条件．
故选：
根据已知条件，分别判断充分性、必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：设C的上、下焦点分别为，，由题意可得，
由双曲线的方程可得，，
所以，所以P在上支上，
由双曲线的定义可得：，
所以，
故选：
由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再由的值及双曲线的定义可得P在上半支上，进而可得的值．
本题考查双曲线的定义的应用及性质的应用，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：依题意，关于x的不等式的解集是或，
所以关于x的方程的根为或，
所以，
所以
故选：
利用根与系数关系求得a，b，进而求得
本题考查一元二次不等式的相关知识，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：作出可行域如图阴影部分所示，

由图可知，当取点时，目标函数取得最大值，且最大为
故选：
作出可行域，根据图象即可得解．
本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：原命题的逆命题为“在区间内至少有一个零点，则”这是假命题，
比如，在区间上的图象是连续不断的，在区间内有两个零点，满足至少有一个零点的条件，
但是，不满足，故原命题的逆命题为假命题，故正确；
直线和直线互相垂直的充要条件是：，即，由于““是““的充分不必要条件，
故““是“直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故错误；
解法一：设三角形ABC中角A，B，C的对边分别用a，b，c表示，R为三角形的外接圆的半径，由三角形
中等腰三角形的判定定理和性质定理可得是的充要条件，
由正弦定理得到，，所以是的充要条件．故是的充要条件，
故“若，“的原命题，逆命题，否命题，逆否命题都是真命题，故必然正确．
解法二：原命题的逆命题为“已知A，B为一个三角形的两内角，若，则“，
是正确的，事实上，若，由于A，，
所以或，但是根据三角形内角和定理，，
又因为，所以，即不可能成立，
所以必然成立，所以原命题的逆命题为真命题，由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故原命题的否命题也是真命题，故正确；
当，时，，但是，故原命题“若，则”不正确，
由于一个命题和它的逆否命题同真同假，故其逆否命题也不正确，故错误．
综上，只有是正确的．
故选：
先写出原命题的逆命题，然后不难举出反例否定；
利用两直线垂直时其系数的关系求得两直线垂直的充分必要条件，进而判定；
解法一：可以利用正弦定理得到在三角形中“”，是“”的充分必要条件，进而做出判定，解法二：可以考察原命题的逆命题，利用三角函数的性质和三角形内角性质不难判定其真假性，进而根据命题的真假关系作出判定：
不难举反例否定原命题，进而根据四命题的真假关系作出判定．
本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，考查推理能力，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：，
，
数列是以3为周期的周期数列，
，
故选：
根据递推公式，求出数列中的项，可得数列是周期数列，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和周期数列，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：设旗杆的高度为h，
则，
在中，由余弦定理得，即，
，解得或舍去，
故选：
设旗杆的高度为h，在中利用余弦定理，求解即可得出答案．
本题考查余弦定理的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：由题可得，其中，且
又由椭圆对称性可知，在F正上方且位于椭圆上的点到F距离为，
即此点坐标为
所以，
因为，所以；
设，，因过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，且P恰好是AB的中点，
则
又A，B两点在椭圆上，则
两式相减得：，
又，得
又，则，又，且，则
故椭圆方程为：，设，其中
则因，
有，当且仅当，即M为椭圆右顶点时取等号．
则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为
故选：
由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得；由过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，且P恰好是AB的中点，可得综上可得a，b，后可得答案．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由抛物线经过点，
则，即，
所以抛物线的方程为，故准线方程为
故答案为：
把已知点坐标代入求得a后可得准线方程．
本题考查了抛物线的方程的求解以及抛物线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】3 

【解析】解：在等比数列中，，
又因为，所以
故答案为：
根据等比数列的性质即可直接求出答案．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
 

15.【答案】4 

【解析】解：，

令，解得，
当时，即时，函数递增，
当时，即时，函数递减，
故当时函数有最小值，最小值为，
故答案为：
根据导数求出函数的最值，问题得以解决．
本题主要考查了导数和最值的关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
，，
抛物线方程为，其准线方程为
设，设过点的直线方程为，
与抛物线联立，消去x得，
令，可得，
则直线MA，MB的斜率为的两个根，有韦达定理得
故答案为：
首先求出抛物线方程，再设出M点坐标，设出直线方程，利用切线求出关于k的方程，再结合韦达定理即可．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的切线问题，属中档题．
 

17.【答案】解：
由正弦定理得，
，，
又A为锐角，则；
的面积为，，
又，则，
在中，由余弦定理得，
，，
，
，即的周长为 

【解析】由正弦定理边化角，可得的值，即可得出答案；
由的面积及角A的值，可得bc，由余弦定理可得，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列公差为d，
，，
，解得
故；
由得，则，
故 

【解析】设等差数列的公差为d，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，d，求解即可得出答案；
根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：直线经过抛物线C的焦点，
抛物线C的焦点坐标为，
抛物线C的准线方程为
设过抛物线C的焦点且斜率为的直线方程为，且直线与C交于，，
联立方程，消去y得：，
，
，解得，
抛物线C的方程为 

【解析】由直线方程求出抛物线C的焦点坐标，从而得到抛物线C的准线方程；
设过抛物线C的焦点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合焦点弦长公式求解即可．
本题主要考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意，命题p中，由，可得，
因为，所以，即命题p：，
命题q中，由方程表示经过第二、三象限的抛物线，
可得，，解得，
即命题q：，
若，可得命题p：，
因为命题p为假且q为真命题，所以，解得，
所以的m的取值范围为
由p是q的必要不充分条件，即，，
由可得，解得，经检验和满足条件，
所以实数a的取值范围是 

【解析】由，结合命题p为假，命题q为真，建立m的不等式求解；
根据充分与必要条件概念，建立m的不等式求解．
本题考查命题的真假的概念，充分与必要条件的概念，属基础题．
 

21.【答案】解：已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①-②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故首项符合通项
所以
证明：由于，
所以，
所以 

【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：依题意得，，解得，
解所以双曲线C的方程是
证明：设，，，直线l的方程为
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，
则，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足即解得
由，得，故，
所以
又，
所以点D的纵坐标为定值 

【解析】根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．