七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略（解析版）

专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略

类型一、平方根的非负性

例1．如果实数a、b满足，求的平方根．

【答案】±2

【详解】解：∵实数a、b满足，

∴a－1=0，b－3=0，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，

∴a+b的平方根为±2．故答案为：±2．

例2．（2020·河北省初二期中）若与互为相反数，则=_____．

【答案】

【解析】与互为相反数

整理得：则

故答案为：．

【变式训练1】若（2x﹣5）2+＝0，则2x+4y的平方根是_____．

【答案】±2

【详解】解：∵（2x﹣5）2+＝0，∴2x﹣5＝0，4y+1＝0，

∴2x＝5，4y＝﹣1，∴2x+4y＝5﹣1＝4，

∴2x+4y的平方根为±＝±2，

故答案为：±2．

【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．

【答案】±4

【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，

则（x+y）2＝（3+1）2＝16，

所以（x+y）2的平方根为±4．

故填：±4．

【变式训练3】已知，求的值．

【答案】2022

【详解】解：∵，∴．∴，

∴原式化简为，∴，

∴，

故．

【变式训练4】已知与互为相反数，求的平方根．

【答案】的平方根为±3．

【详解】∵与互为相反数，∴+=0，

∴a=27，b=36，∴=3+6=9，

∴的平方根为±3．

类型二、探究性规律问题

例1．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　）

A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536

【答案】A

【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；

故选：A．

例2．（2019·全国初二课时练习）(1)已知 , ，

，则____；

 (2)已知 , ，

，则 ____；

 (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；

 (4)如果，则___，____．

【答案】（1）300；（2）0.04；（3）左(或右)，1；（4）10a，

【解析】解：（1）已知，，，则300；

（2）已知， ，，则 0.04；

（3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位；（4）如果，则10a，，

故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a；．

【变式训练1】已知，若，则______；________；_________；若，则_______．

【答案】     214000               214

【详解】解：∵，且，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∵且，∴，

故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．

【变式训练2】根据下表回答问题：

（1）265.69的平方根是______；

（2）______，______，______；

（3）设的整数部分为，求的立方根．

【答案】（1）±16.3；（2）16.2；168，1.61；（2）-4

【详解】解：（1）由表格中数据可得：265.69的平方根是：±16.3；故答案为：±16.3；

（2）16.2，

，

故答案为：16.2；168；1.61

（3）∵，∴16＜＜17，

∴a=16，-4a=-64，∴-4a的立方根为-4．

【变式训练3】根据如表回答下列问题

（1）566.44的平方根是　　；

（2）﹣≈　　；（保留一位小数）

（3）满足23.6＜＜23.7的整数n有　　个．

【答案】（1）；（2）-23.7；（3）5

【详解】（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8；故答案为：±23.8；

（2）∵23.72＝561.69，∴≈23.7，∴﹣≈﹣23.7，故答案为：﹣23.7；

（3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69，556.96＜n＜561.69，

n=557，558，559，560，561，

∴满足23.6＜＜23.7的整数n有5个，故答案为：5．

类型三、平方根与立方根的综合应用

例1．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值；

（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．

【答案】(1)9；(2) 或.

【解析】解：(1)∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，

∵3a+b-1的算术平方根是4，∴3a+b-1=16，∴3×5+b-1=16，∴b=2，∴a+2b=5+2×2=9；

(2)分类讨论：①当与不相等时，由一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可知：

+=0 解得：

②当与相等时 = 解得

故答案为：或.

【变式训练1】（1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；

（2）一个正数的平方根是与，求的值．

【答案】（1）－2；（2）

【解析】（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a

；

（2）一个正数的平方根是与，

．

【变式训练2】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．

【答案】±3

【解析】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；

∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，

∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．

【变式训练3】已知一个数的算术平方根为的平方根为求这个数

【答案】441或49

【解析】∵x的平方根是±（2a－15），算术平方根为a+3，∴2a－15= a+3或2a－15= -（a+3），解得：a=18或a=4，∴a+3=21或7，∴这个数为441或49．

类型四、平方根与立方根的实际应用

例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．

【答案】不能．理由见解析

【详解】不能．理由如下：

正方形纸片的边长为：＝30（cm），

设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，

则：5a•4a＝800，解得：a＝2，

∴5a＝10＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．

【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，

（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）

（2）求图中阴影部分的面积．

（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．

【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4

【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，

∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．

（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，

∴阴影部分的面积＝．

（3）∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，

∴原式＝，＝4.

【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．

（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；      

（2）迁移应用：

 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．

①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．

②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．

【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，

【详解】解：设正方形边长为a，

 ∵a2=2， ∴a=，

 故答案为：，；

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=±，

 在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，

∴比较大小：．

【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．

（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）

（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）

【答案】（1）0.5h；（2）9.65km

【详解】（1）．

这场雷雨大约能持续0.5h．

（2）

课后作业

1．已知a，b，c为三角形的三边，则=___．

【答案】2b

【详解】解析：∵a、b、c为三角形的三边，

∴a-b-c＜0，a-c+b＞0

∴

2．（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数；

（2）已知x为实数，且，求x2+x﹣3的平方根．

【答案】（1）16；（2）±3

【详解】（1）由题意可得：

2a+2+3a﹣7＝0

a＝1

∵2a+2＝4

3a﹣7＝﹣4

∴（±4）2＝16

∴这个数是16；

（2）由题意可得：

，

∴x﹣3＝2x+1，

∴x＝﹣4，

∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，

∴x2+x﹣3的平方根是±3．

3．已知与互为相反数，求的平方根．

【答案】

【解析】

【详解】

解：∵与互为相反数，

∴+=0，

∴2x+y=2，x-y=-3，

解方程组，得，

∴，∴的平方根是．

4．若实数、满足，求的平方根．

【答案】

【详解】解：，

，解得，

则．

5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．

（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；

（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；

②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．

【答案】（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为；②

【详解】解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，

（1）∵43＝64，∴，

所以这个魔方的棱长为4cm；

（2）①因为魔方的棱长为4cm；

所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），

所以阴影部分正方形ABCD的边长为（cm），

S正方形ABCD＝＝8（cm2），答：阴影部分正方形ABCD的边长为；

②点D到原点的距离为：，

又因为点D在原点的左侧，所以点D所表示的数为，

故答案为：．